高考數(shù)學(xué) 17-18版 第9章 第50課 課時分層訓(xùn)練50

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1、 課時分層訓(xùn)練(五十) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時：30分鐘) 1．(2016·四川高考改編)拋物線y2＝4x的焦點坐標(biāo)是________． (1,0)　[由y2＝4x知p＝2，故拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)．] 2．已知點F是拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在拋物線C上，若AF＝4，則線段AF的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為________． 3　[由題意易知F(1,0)，F(xiàn)到準(zhǔn)線的距離為2，A到準(zhǔn)線的距離為AF＝4，則線段AF的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為＝3.] 3．(2017·南京模擬)拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是________. 【導(dǎo)學(xué)號：

2、62172276】 　[由雙曲線x2－＝1知其漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0， 又y2＝4x的焦點F(1,0)， ∴焦點F到直線的距離d＝＝.] 4．已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是________． y2＝±4x　[因為雙曲線的焦點為(－，0)，(，0)． 設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則＝，p＝2. 所以拋物線方程為y2＝±4x.] 5．過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，則弦長AB為__________． 8　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得拋物線的焦點是F(1,

3、0)，所以直線AB的方程是y＝x－1. 聯(lián)立消去y得x2－6x＋1＝0. 所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.] 6．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為__________． －　[∵點A(－2,3)在拋物線C的準(zhǔn)線上． ∴－＝－2，∴p＝4，焦點F(2,0)． ∴kAF＝＝－.] 7．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為__________． x＝－2　[由橢圓＋＝1，知a＝3，b＝， 所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2. 因此橢圓的右焦點為(2,0)，

4、又拋物線y2＝2px的焦點為. 依題意，得＝2， 于是拋物線的準(zhǔn)線x＝－2.] 8．設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個動點，則點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172277】 　[如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知：點P到直線x＝－1的距離等于點P到F的距離．于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P，使點P到點A(－1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。? 連結(jié)AF交拋物線于點P，此時最小值為 AF＝＝.] 9．如圖50-2，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a

5、，b(a0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點，則＝__________. 圖50-2 ＋1　[由題意可得C，F(xiàn)， 則＝＋1(舍去－1)．] 10．(2017·徐州模擬)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y2－x2＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝__________. 2　[y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－. 由于△ABF為等邊三角形． 因此不妨設(shè)A，B. 又點A，B在雙曲線y2－x2＝1， 從而－＝1，所以p＝2.] 11．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，

6、B(x2，y2)，則的值一定等于________． －4　[①若焦點弦AB⊥x軸， 則x1＝x2＝，所以x1x2＝； ∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2， ∴＝－4. ②若焦點弦AB不垂直于x軸， 可設(shè)AB的直線方程為y＝k， 聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，則x1x2＝.y1y2＝－p2，∴＝－4.] 12．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，MF＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：62172278】 y2＝4x或y2＝16x　[由已知得拋物線的焦點F，設(shè)點A(0,2)，點M(

7、x0，y0)． 則＝，＝. 由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0， 因而y0＝4，M. 由MF＝5，得＝5， 又p>0，解得p＝2或p＝8. 故C的方程為y2＝4x或y2＝16x.] B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則AB＝________. 12　[∵F為拋物線C：y2＝3x的焦點， ∴F， ∴AB的方程為y－0＝tan 30°，即y＝x－. 聯(lián)立得x2－x＋＝0， ∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝. 由于AB＝xA＋xB＋p， ∴AB＝＋＝12.] 2．(201

8、6·全國卷Ⅰ改編)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知AB＝4，DE＝2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為________． 4　[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵AB＝4，DE＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.] 3．(2017·南京模擬)如圖50-3，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線l于點C，若BC＝2BF，且AF＝3，則此拋物線的方程為____

9、____． 圖50-3 y2＝3x　[如圖，分別過A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知： AF＝AA1，BF＝BB1，∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1， ∴∠BCB1＝30°， ∴∠AFx＝60°， 連結(jié)A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點，設(shè)l交x軸于K，則KF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝，∴拋物線方程為y2＝3x.] 4．O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若PF＝4，則△POF的面積為________． 2　[如圖，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)， 由PF＝x0＋＝4

10、，得x0＝3， 代入拋物線方程得，y＝4×3＝24， 所以|y0|＝2， 所以S△POF＝OF|y0|＝××2＝2.] 5．(2017·南通調(diào)研)已知P是拋物線y2＝4x上的一個動點，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個動點，N(1,0)是一個定點，則PQ＋PN的最小值為________． 3　[由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合． 過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則PQ＋PN的最小值等于MH－1＝3.] 6．已知一條過點P(2,1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，且P是弦AB的中點，則直線AB的方程為________． x－y－1＝0　[依題意，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y＝2x1，y＝2x2，兩式相減得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]