高考數(shù)學 17-18版 第7章 第33課 課時分層訓練33

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1、 課時分層訓練(三十三) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式an＝____________. ①；　　　　　　　 ②； ③； ④. ②　[由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項為.] 2．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n，則a3＋a4＝__________. 12　[當n≥2時，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.] 3．在數(shù)列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______項． 10　[令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0， 則(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝1

2、0或n＝(舍去)． ∴a10＝0.08.] 4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－2λn(n∈N＋)，則“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的____________條件． 充分不必要　[當an＋1－an＝(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn ＝1＋2n－2λ>0，即λ<時數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，又n∈N＋，∴λ<. ∴“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．] 5．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項公式an＝__________. 【導學號：62172182】 2n－1　[法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，

3、a3＝7，a4＝15，…，驗證可知an＝2n－1. 法二：由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.] 6．數(shù)列{an}的首項a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，則a3的值為____________． 6　[由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以數(shù)列為常數(shù)列，則＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6.] 7．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)，則an＝____________. 【導學號：62172183】 3n　[當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an－1

4、)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝(a1－1)，得a1＝3，∴＝3，∴數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列， ∴an＝3n.] 8．數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝，其前n項積為Tn，則T2 017＝____________. 2　[由an＝，得an＋1＝，而a1＝2， 則有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2， 故數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，且a1a2a3a4＝1， 所以T2 017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.] 9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，則an＝________

5、__. 　[由已知得，－＝n，所以－＝n－1， －＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝， 所以an＝.] 10．(2017·南京模擬)對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋1－an(n∈N＋)，且bn＋1－bn＝1(n∈N＋)，a3＝1，a4＝－1，則a1＝____________. 【導學號：62172184】 8　[由bn＋1－bn＝1(n∈N＋)可知，數(shù)列{bn}成等差數(shù)列， 又b3＝a4－a3＝－1－1＝－2， ∴b3－b2＝1， ∴b2＝b3－1＝－3. ∴a3－a2＝－3， ∴a2＝3＋a3＝4. ∴b1＝b2－1＝－3－1＝－4

6、. ∴a2－a1＝－4， ∴a1＝a2＋4＝4＋4＝8.] 二、解答題 11．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個數(shù)列的第4項是多少？ (2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？ (3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？ [解]　(1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150， 解得n＝16或n＝－9(舍去)， 即150是這個數(shù)列的第16項． (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)． 所以從第7項起各項都是正數(shù)． 12．已知Sn為正項數(shù)列{an} 的前n項

7、和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N＋)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　(1)由Sn＝a＋an(n∈N＋)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2； 同理，a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an，① 當n≥2時，Sn－1＝a＋an－1，② ①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0， 所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1， 故數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．

8、設數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20＝____________. 　[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因為1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以數(shù)列{nan}是首項為1，公差為5的等差數(shù)列，則20a20＝1＋19×5，解得a20＝.] 2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，則an＝__________. 　[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)， 兩式相減可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(

9、n≥2)， ∴an＋1＝4an(n≥2)． ∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1， ∴數(shù)列{an}是從第二項開始的等比數(shù)列， ∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)． 故an＝] 3．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值； (2)對于n∈N＋，都有an＋1>an，求實數(shù)k的取值范圍． [解]　(1)由n2－5n＋4<0， 解得1

10、n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2. (2)由an＋1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列， 又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N＋，所以－<，即得k>－3. 所以實數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)． 4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． [解]　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由題設知a1＝1. 當n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1. 于是a1＝1， a2＝a1， a3＝a2， …… an－1＝an－2， an＝an－1. 將以上n個等式兩端分別相乘， 整理得an＝. 顯然，當n＝1時也滿足上式． 綜上可知，{an}的通項公式an＝.