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高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)課后習(xí)題答案及解析
第一章
習(xí)題1-1
1. 設(shè)A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 寫出AB, AB, A\B及A\(A\B)的表達(dá)式.
解 AB=(-, 3)(5, +),
AB=[-10, -5),
A\B=(-, -10)(5, +),
A\(A\B)=[-10, -5).
2. 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合, 證明對(duì)偶律: (AB)C=AC BC .
證明 因?yàn)?
x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC,
所以 (AB)C=AC BC .
3. 設(shè)映射f : X Y, AX, BX . 證明
(1)f(AB)=f(A)f(B);
(2)f(AB)f(A)f(B).
證明 因?yàn)?
yf(AB)$xAB, 使f(x)=y
(因?yàn)閤A或xB) yf(A)或yf(B)
yf(A)f(B),
所以 f(AB)=f(A)f(B).
(2)因?yàn)?
yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因?yàn)閤A且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B),
所以 f(AB)f(A)f(B).
4. 設(shè)映射f : XY, 若存在一個(gè)映射g: YX, 使, , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對(duì)于每一個(gè)xX, 有IX x=x; 對(duì)于每一個(gè)yY, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f -1.
證明 因?yàn)閷?duì)于任意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿射.
又因?yàn)閷?duì)于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)g[ f(x1)]=g[f(x2)] x1=x2.
因此f既是單射, 又是滿射, 即f是雙射.
對(duì)于映射g: YX, 因?yàn)閷?duì)每個(gè)yY, 有g(shù)(y)=xX, 且滿足f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射.
5. 設(shè)映射f : XY, AX . 證明:
(1)f -1(f(A))A;
(2)當(dāng)f是單射時(shí), 有f -1(f(A))=A .
證明 (1)因?yàn)閤A f(x)=yf(A) f -1(y)=xf -1(f(A)),
所以 f -1(f(A))A.
(2)由(1)知f -1(f(A))A.
另一方面, 對(duì)于任意的xf -1(f(A))存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因?yàn)閥f(A)且f是單射, 所以xA. 這就證明了f -1(f(A))A. 因此f -1(f(A))=A .
6. 求下列函數(shù)的自然定義域:
(1);
解 由3x+20得. 函數(shù)的定義域?yàn)?
(2);
解 由1-x20得x1. 函數(shù)的定義域?yàn)?-, -1)(-1, 1)(1, +).
(3);
解 由x0且1-x20得函數(shù)的定義域D=[-1, 0)(0, 1].
(4);
解 由4-x2>0得 |x|<2. 函數(shù)的定義域?yàn)?-2, 2).
(5);
解 由x0得函數(shù)的定義D=[0, +).
(6) y=tan(x+1);
解 由(k=0, 1, 2, )得函數(shù)的定義域?yàn)?k=0, 1, 2, ).
(7) y=arcsin(x-3);
解 由|x-3|1得函數(shù)的定義域D=[2, 4].
(8);
解 由3-x0且x0得函數(shù)的定義域D=(-, 0)(0, 3).
(9) y=ln(x+1);
解 由x+1>0得函數(shù)的定義域D=(-1, +).
(10).
解 由x0得函數(shù)的定義域D=(-, 0)(0, +).
7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？
(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;
(2) f(x)=x, g(x)=;
(3),.
(4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x .
解 (1)不同. 因?yàn)槎x域不同.
(2)不同. 因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同, x<0時(shí), g(x)=-x.
(3)相同. 因?yàn)槎x域、對(duì)應(yīng)法則均相相同.
(4)不同. 因?yàn)槎x域不同.
8. 設(shè), 求, , , j(-2), 并作出函數(shù)y=j(x)的圖形.
解 , , , .
9. 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性:
(1), (-, 1);
(2)y=x+ln x, (0, +).
證明 (1)對(duì)于任意的x1, x2(-, 1), 有1-x1>0, 1-x2>0. 因?yàn)楫?dāng)x1
-x2.
因?yàn)閒(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以
f(-x2)f(x1),
這就證明了對(duì)于"x1, x2(-l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加.
11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對(duì)稱區(qū)間(-l, l)上的, 證明:
(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù);
(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).
證明 (1)設(shè)F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則
F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),
所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).
如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),
所以F(x)為奇函數(shù), 即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).
(2)設(shè)F(x)=f(x)g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則
F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x),
所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).
如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則
F(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=F(x),
所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).
如果f(x)是偶函數(shù), 而g(x)是奇函數(shù), 則
F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)g(x)=-F(x),
所以F(x)為奇函數(shù), 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).
12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？
(1)y=x2(1-x2);
(2)y=3x2-x3;
(3);
(4)y=x(x-1)(x+1);
(5)y=sin x-cos x+1;
(6).
解 (1)因?yàn)閒(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù).
(2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可見(jiàn)f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).
(3)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù).
(4)因?yàn)閒(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函數(shù).
(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可見(jiàn)f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).
(6)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù).
13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù), 指出其周期:
(1)y=cos(x-2);
解 是周期函數(shù), 周期為l=2p.
(2)y=cos 4x;
解 是周期函數(shù), 周期為.
(3)y=1+sin px;
解 是周期函數(shù), 周期為l=2.
(4)y=xcos x;
解 不是周期函數(shù).
(5)y=sin2x.
解 是周期函數(shù), 周期為l=p.
14. 求下列函數(shù)的反函數(shù):
(1);
解 由得x=y3-1, 所以的反函數(shù)為y=x3-1.
(2);
解 由得, 所以的反函數(shù)為.
(3)(ad-bc0);
解 由得, 所以的反函數(shù)為.
(4) y=2sin3x;
解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為.
(5) y=1+ln(x+2);
解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex-1-2.
(6).
解 由得, 所以的反函數(shù)為.
15. 設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義, 試證: 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.
證明 先證必要性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界, 則存在正數(shù)M, 使|f(x)|M, 即-Mf(x)M. 這就證明了f(x)在X上有下界-M和上界M.
再證充分性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1f(x) K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 則 -M K1f(x) K2M ,
即 |f(x)|M.
這就證明了f(x)在X上有界.
16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值:
(1) y=u2, u=sin x, , ;
解 y=sin2x, ,.
(2) y=sin u, u=2x, ,;
解 y=sin2x, ,.
(3), u=1+x2, x1=1, x2= 2;
解 , , .
(4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1;
解 , , .
(5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1.
解 y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(-1)=e-2.
17. 設(shè)f(x)的定義域D=[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域:
(1) f(x2);
解 由0x21得|x|1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)閇-1, 1].
(2) f(sinx);
解 由0sin x1得2npx(2n+1)p (n=0, 1, 2 ), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域?yàn)?
[2np, (2n+1)p] (n=0, 1, 2 ) .
(3) f(x+a)(a>0);
解 由0x+a1得-ax1-a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域?yàn)閇-a, 1-a].
(4) f(x+a)+f(x-a)(a>0).
解 由0x+a1且0x-a1得: 當(dāng)時(shí), ax1-a; 當(dāng)時(shí), 無(wú)解. 因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閇a, 1-a], 當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)意義.
18. 設(shè), g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.
解 , 即.
, 即.
19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40(圖1-37). 當(dāng)過(guò)水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時(shí), 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域.
圖1-37
解 , 又從得, 所以
.
自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組
h>0,
確定, 定義域?yàn)?
20. 收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購(gòu), 決定凡是訂購(gòu)量超過(guò)100臺(tái)以上的, 每多訂購(gòu)1臺(tái), 售價(jià)就降低1分, 但最低價(jià)為每臺(tái)75元.
(1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購(gòu)量x的函數(shù);
(2)將廠方所獲的利潤(rùn)P表示成訂購(gòu)量x的函數(shù);
(3)某一商行訂購(gòu)了1000臺(tái), 廠方可獲利潤(rùn)多少？
解 (1)當(dāng)0x100時(shí), p=90.
令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此當(dāng)x1600時(shí), p=75.
當(dāng)100N時(shí), xn與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =0.001時(shí), 求出數(shù)N.
解 .
. "e >0, 要使|x n-0|N, 有|xn-0|0, $, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 所以.
(2);
分析 要使, 只須, 即.
證明 因?yàn)?e>0, $, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 所以.
(3);
分析 要使, 只須.
證明 因?yàn)?e>0, $, 當(dāng)"n>N時(shí), 有, 所以.
(4).
分析 要使|0.99 9-1|, 只須0, $, 當(dāng)"n>N時(shí), 有|0.99 9-1|0, $NN, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 從而
||un|-|a|||un-a|0, $NN, 當(dāng)n>N時(shí), 有. 從而當(dāng)n>N時(shí), 有
,
所以.
6. 對(duì)于數(shù)列{xn}, 若x2k-1a(k), x2k a(k ),
證明: xna(n).
證明 因?yàn)閤2k-1a(k), x2k a(k ), 所以"e>0,
$K1, 當(dāng)2k-1>2K1-1時(shí), 有| x2k-1-a|2K2時(shí), 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|0, $, 當(dāng)0<|x-3|0, $, 當(dāng)0<|x-2|0, $, 當(dāng)0<|x-(-2)|0, $, 當(dāng)時(shí), 有
,
所以.
2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1);
分析 因?yàn)?
,
所以要使, 只須, 即.
證明 因?yàn)?e >0, $, 當(dāng)|x|>X時(shí), 有
,
所以.
(2).
分析 因?yàn)?
.
所以要使, 只須, 即.
證明 因?yàn)?e>0, $, 當(dāng)x>X時(shí), 有
,
所以.
3. 當(dāng)x2時(shí), y=x24. 問(wèn)d等于多少, 使當(dāng)|x-2|X時(shí), |y-1|<0.01?
解 要使, 只要, 故.
5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x0時(shí)極限為零.
證明 因?yàn)?
|f(x)-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|,
所以要使|f(x)-0|0, $d=e, 使當(dāng)0<|x-0|0,
$X1>0, 使當(dāng)x<-X1時(shí), 有|f(x)-A|0, 使當(dāng)x>X2時(shí), 有|f(x)-A|X時(shí), 有|f(x)-A|0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|0,
$d1>0, 使當(dāng)x0-d10, 使當(dāng)x00及M>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), |f(x)|0, 當(dāng)|x|>X時(shí), 有|f(x)-A|0及M>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), |f(x)|0, $d=e , 當(dāng)0<|x-3|0, $d=e , 當(dāng)0<|x-0|104？
證明 分析, 要使|y|>M, 只須, 即.
證明 因?yàn)?M>0, $, 使當(dāng)0<|x-0|104.
4. 求下列極限并說(shuō)明理由:
(1);
(2).
解 (1)因?yàn)? 而當(dāng)x 時(shí)是無(wú)窮小, 所以.
(2)因?yàn)?x1), 而當(dāng)x0時(shí)x為無(wú)窮小, 所以.
5. 根據(jù)函數(shù)極限或無(wú)窮大定義, 填寫下表:
f(x)A
f(x)
f(x)+
f(x)-
xx0
"e>0, $d>0, 使
當(dāng)0<|x-x0|0, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí),
有恒|f(x)|>M.
x+
x-
解
f(x)A
f(x)
f(x)+
f(x)-
xx0
"e>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|M.
"M>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|M.
"M>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|0, $d>0, 使當(dāng)00, $d>0, 使當(dāng)0M.
"M>0, $d>0, 使當(dāng)0M.
"M>0, $d>0, 使當(dāng)00, $d>0, 使當(dāng)00, $d>0, 使當(dāng)0M.
"M>0, $d>0, 使當(dāng)0M.
"M>0, $d>0, 使當(dāng)00, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒|f(x)|>M.
"e>0, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒f(x)>M.
"e>0, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒f(x)<-M.
x+
"e>0, $X>0, 使當(dāng)x>X時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X>0, 使當(dāng)x>X時(shí), 有恒|f(x)|>M.
"e>0, $X>0, 使當(dāng)x>X時(shí), 有恒f(x)>M.
"e>0, $X>0, 使當(dāng)x>X時(shí), 有恒f(x)<-M.
x-
"e>0, $X>0, 使當(dāng)x<-X時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X>0, 使當(dāng)x<-X時(shí), 有恒|f(x)|>M.
"e>0, $X>0, 使當(dāng)x<-X時(shí), 有恒f(x)>M.
"e>0, $X>0, 使當(dāng)x<-X時(shí), 有恒f(x)<-M.
6. 函數(shù)y=xcos x在(-, +)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)x+ 時(shí)的無(wú)窮大？為什么？
解 函數(shù)y=xcos x在(-, +)內(nèi)無(wú)界.
這是因?yàn)?M>0, 在(-, +)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|>M. 例如
y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ),
當(dāng)k充分大時(shí), 就有| y(2kp)|>M.
當(dāng)x+ 時(shí), 函數(shù)y=xcos x不是無(wú)窮大.
這是因?yàn)?M>0, 找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn), 使對(duì)一切大于N的x, 都有|y(x)|>M. 例如
(k=0, 1, 2, ),
對(duì)任何大的N, 當(dāng)k充分大時(shí), 總有, 但|y(x)|=00, 在(0, 1]中總可以找到點(diǎn)xk, 使y(xk)>M. 例如當(dāng)
(k=0, 1, 2, )
時(shí), 有
,
當(dāng)k充分大時(shí), y(xk)>M.
當(dāng)x0+ 時(shí), 函數(shù)不是無(wú)窮大. 這是因?yàn)?
"M>0, 對(duì)所有的d>0, 總可以找到這樣的點(diǎn)xk, 使00. 因?yàn)閒(x)在x0連續(xù), 所以, 由極限的局部保號(hào)性定理, 存在x0的某一去心鄰域, 使當(dāng)x時(shí)f(x)>0, 從而當(dāng)xU(x0)時(shí), f(x)>0. 這就是說(shuō), 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)xU(x0)時(shí), f(x)0.
5. 試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子:
(1)x=0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有間斷點(diǎn), 且它們都是無(wú)窮間斷點(diǎn);
解 函數(shù)在點(diǎn)x=0, 1, 2, , , n, , 處是間斷的,
且這些點(diǎn)是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn).
(2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù);
解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù).
(3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點(diǎn)連續(xù).
解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù).
習(xí)題1-9
1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及.
解 , 函數(shù)在(-, +)內(nèi)除點(diǎn)x=2和x=-3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-, -3)、(-3, 2)、(2, +).
在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x=0處, .
在函數(shù)的間斷點(diǎn)x=2和x=-3處,
, .
2. 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 證明函數(shù)
j(x)=max{f(x), g(x)}, y(x)=min{f(x), g(x)}
在點(diǎn)x0也連續(xù).
證明 已知, .
可以驗(yàn)證
,
.
因此 ,
.
因?yàn)?
=j(x0),
所以j(x)在點(diǎn)x0也連續(xù).
同理可證明y(x)在點(diǎn)x0也連續(xù).
3. 求下列極限:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7).
解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)x=0有定義, 所以
.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以
.
(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以
.
(4)
.
(5)
.
(6)
.
(7)
.
4. 求下列極限:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
解 (1) .
(2) .
(3) .
(4) .
(5). 因?yàn)?
, ,
所以.
(6)
.
5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(-, +)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？
解 要使函數(shù)f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 只須f(x)在x=0處連續(xù), 即只須
.
因?yàn)? , 所以只須取a=1.
習(xí)題1-10
1. 證明方程x5-3x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間.
證明 設(shè)f(x)=x5-3x-1, 則f(x)是閉區(qū)間[1, 2]上的連續(xù)函數(shù).
因?yàn)閒(1)=-3, f(2)=25, f(1)f(2)<0, 所以由零點(diǎn)定理, 在(1, 2)內(nèi)至少有一點(diǎn)x
(10, b>0, 至少有一個(gè)正根, 并且它不超過(guò)a+b.
證明 設(shè)f(x)=asin x+b-x, 則f(x)是[0, a+b]上的連續(xù)函數(shù).
f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]0.
若f(a+b)=0, 則說(shuō)明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過(guò)a+b的根;
若f(a+b)<0, 則f(0)f(a+b)<0, 由零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)x(0, a+b), 使f(x)=0, 這說(shuō)明x=x 也是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過(guò)a+b的根.
總之, 方程x=asinx+b至少有一個(gè)正根, 并且它不超過(guò)a+b.
3. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于閉區(qū)間[a, b]上的任意兩點(diǎn)x、y, 恒有|f(x)-f(y)|L|x-y|, 其中L為正常數(shù), 且f(a)f(b)<0. 證明: 至少有一點(diǎn)x(a, b), 使得f(x)=0.
證明 設(shè)x0為(a, b)內(nèi)任意一點(diǎn). 因?yàn)?
,
所以 ,
即 .
因此f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù).
同理可證f(x)在點(diǎn)a處左連續(xù), 在點(diǎn)b處右連續(xù), 所以f(x)在[a, b]上連續(xù).
因?yàn)閒(x)在[a, b]上連續(xù), 且f(a)f(b)<0, 由零點(diǎn)定理, 至少有一點(diǎn)x(a, b), 使得f(x)=0.
4. 若f(x)在[a, b]上連續(xù), a0, 存在X>0, 只要|x|>X, 就有
|f(x)-A|0, 使|f(x)|M, x[-X, X].
取N=max{M, |A-e|, |A+e|}, 則|f(x)|N, x(-, +), 即f(x)在(-, +)內(nèi)有界.
6. 在什么條件下, (a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？
總習(xí)題一
1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi):
(1)數(shù)列{xn}有界是數(shù)列{xn}收斂的________條件. 數(shù)列{xn}收斂是數(shù)列{xn}有界的________的條件.
(2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的________條件. 存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的________條件.
(3) f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無(wú)界是的________條件. 是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無(wú)界的________條件.
(4)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的右極限f(x0+)及左極限f(x0-)都存在且相等是存在的________條件.
解 (1) 必要, 充分.
(2) 必要, 充分.
(3) 必要, 充分.
(4) 充分必要.
2. 選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論:
設(shè)f(x)=2x+3x-2, 則當(dāng)x0時(shí), 有( ).
(A)f(x)與x是等價(jià)無(wú)窮小; (B)f(x)與x同階但非等價(jià)無(wú)窮小;
(C)f(x)是比x高階的無(wú)窮小; (D)f(x)是比x低階的無(wú)窮小.
解 因?yàn)?
(令2x-1=t, 3x-1=u) .
所以f(x)與x同階但非等價(jià)無(wú)窮小, 故應(yīng)選B.
3. 設(shè)f(x)的定義域是[0, 1], 求下列函數(shù)的定義域:
(1) f(ex);
(2) f(ln x);
(3) f(arctan x);
(4) f(cos x).
解 (1)由0ex1得x0, 即函數(shù)f(ex)的定義域?yàn)?-, 0].
(2) 由0 ln x1得1xe , 即函數(shù)f(ln x)的定義域?yàn)閇1, e].
(3) 由0 arctan x 1得0xtan 1, 即函數(shù)f(arctan x)的定義域?yàn)閇0, tan 1].
(4) 由0 cos x1得(n=0, 1, 2, ),
即函數(shù)f(cos x)的定義域?yàn)閇], (n=0, 1, 2, ).
4. 設(shè)
, ,
求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].
解 因?yàn)閒(x)0, 所以f[f(x)]=f(x);
因?yàn)間(x)0, 所以g[g(x)]=0;
因?yàn)間(x)0, 所以f[g(x)]=0;
因?yàn)閒(x)0, 所以g[f(x)]=-f 2(x).
5. 利用y=sin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形:
(1)y=|sin x|;
(2)y=sin|x|;
(3).
6. 把半徑為R的一圓形鐵片, 自中心處剪去中心角為a的一扇形后圍成一無(wú)底圓錐. 試將這圓錐的體積表為a的函數(shù).
解 設(shè)圍成的圓錐的底半徑為r, 高為h, 依題意有
R(2p-a)=2pr , ,
.
圓錐的體積為
(00, 要使, 只需|x-3|
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高等數(shù)學(xué)
第六
同濟(jì)大學(xué)
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高等數(shù)學(xué)第六版(同濟(jì)大學(xué))上冊(cè)課后習(xí)題答案解析.doc
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