2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第28練

第28練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用壓軸大題突破練明晰考情1.命題角度：函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn)，常以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.2.題目難度：偏難題.考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)方法技巧求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)問題的基本思路(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題.(2)利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象.(3)結(jié)合圖象求解.1.設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍.解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.f(0)c，f(0)b，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當(dāng)ab4時(shí)，f(x)x34x24xc，f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)在區(qū)間(，)上的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc當(dāng)c>0且c<0時(shí)，f(4)c16<0，f(0)c>0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)，函數(shù)f(x)x34x24xc有三個(gè)不同零點(diǎn).2.(2018·咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)2ln x(aR，a0).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有最小值，記為g(a)，關(guān)于a的方程g(a)a1m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)f(x)(x>0)，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)<0，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增.(2)由(1)知， a>0，f(x)minf()1ln a，即g(a)1ln a，方程g(a)a1m，即maln a(a>0)，令F(a)aln a(a>0)，則F(a)1，知F(a)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，F(xiàn)(a)極大值Fln 3，F(xiàn)(a)極小值Fln 2ln 3.依題意得實(shí)數(shù)m的取值范圍是.3.已知aR，函數(shù)f(x)exax(e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(e，1)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)F(x)f(x)(ex2ax2ln xa)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最大值.解(1)由f(x)exax，得f(x)exa且f(x)在R上單調(diào)遞增.若f(x)在區(qū)間(e，1)上是減函數(shù)，只需f(x)0在(e，1)上恒成立.因此只需f(1)e1a0，解得a.又當(dāng)a時(shí)，f(x)ex0，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)由已知得F(x)a(x1)2ln x，且F(1)0，則F(x)a，x>0.當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)<0，F(xiàn)(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，結(jié)合F(1)0知，當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)>0.所以F(x)在內(nèi)無零點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，令F(x)0，得x.若，即a(0，4時(shí)，F(xiàn)(x)在上是減函數(shù).又x0時(shí)，F(xiàn)(x).要使F(x)在內(nèi)無零點(diǎn)，只需F2ln0，則0<a4ln 2.若<，即a>4時(shí)，則F(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以F(x)minF2a2ln，令(a)2a2ln，則(a)1<0.所以(a)在(4，)上是減函數(shù)，則(a)<(4)2ln 22<0.因此F<0，所以F(x)在x內(nèi)一定有零點(diǎn)，不合題意，舍去.綜上，函數(shù)F(x)在內(nèi)無零點(diǎn)，應(yīng)有a4ln 2，所以實(shí)數(shù)a的最大值為4ln 2.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題方法技巧利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)是解題的突破口.4.設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x(1，)時(shí)，1<<x. (1)解由f(x)ln xx1(x>0)，得f(x)1.令f(x)0，解得x1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.因此，f(x)在(0，1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù).(2)證明當(dāng)x(1，)時(shí)，1<<x，即為ln x<x1<xln x.結(jié)合(1)知，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0恒成立，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，可得f(x)<f(1)0，即有l(wèi)n x<x1；設(shè)F(x)xln xx1，x>1，則F(x)1ln x1ln x，當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)>0，可得F(x)在(1，)上單調(diào)遞增，即有F(x)>F(1)0，即有xln x>x1.綜上，原不等式得證.5.(2018·全國(guó))已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：a2.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1.若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減.若a2，令f(x)0，得x或x.當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)x1x2，則x21.由于1a2a2a，所以a2等價(jià)于x22ln x20.設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減.又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.6.設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2e2x(x>0).當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)u(x)e2x，v(x)，因?yàn)閡(x)e2x在(0，)上單調(diào)遞增，v(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.又f(a)>0，當(dāng)b滿足0<b<且b<時(shí)，f(b)<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).由于0，所以f(x0)aln x02ax02ax0aln x02ax0aln2aaln.當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，取等號(hào).故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)2aaln.考點(diǎn)三不等式恒成立或有解問題方法技巧不等式恒成立、能成立問題常用解法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求最值，不等式恒成立問題在變量與參數(shù)易于分離的情況下，采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，形如a>f(x)max或a<f(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，在參數(shù)難于分離的情況下，直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題，注意對(duì)參數(shù)的分類討論.(3)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解，一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.7.已知函數(shù)f(x)exex2ax(aR).(1)若f(x)在(0，1)上單調(diào)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)yf(x)exln x的圖象恒在x軸上方，求a的最小整數(shù)解.解(1)由題意知，f(x)ex2exa，令h(x)ex2exa，則h(x)ex2e，當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，即f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.若f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，則f(1)0，即ae；若f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，則f(0)0，即a1.綜上可知，a的取值范圍為(，1e，).(2)由題意知，yf(x)exln xex>0恒成立，令g(x)xln x(x>0)，g(x)，令t(x)ex1x，t(x)ex11，當(dāng)x>1時(shí)，t(x)>0，t(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時(shí)，t(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，t(x)t(1)0，ex1x0.當(dāng)x1時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，g(x)g(1)，結(jié)合題意，知a>0，故a的最小整數(shù)解為1. 8.已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若函數(shù)g(x)f(x)axx2有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有實(shí)數(shù)解，求整數(shù)m的最大值.解(1)g(x)ln xaxx2(x>0)，則g(x)，由題意得方程x2ax10有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，設(shè)兩根為x1，x2，則即a的取值范圍為(2，).(2)方程ln xm(x1)，即m，設(shè)h(x)(x>0)，則h(x)，令(x)ln x(x>0)，則(x)<0， (x)在(0，)上單調(diào)遞減，h(e)>0，h(e2)<0，存在x0(e，e2)，使得h(x0)0，即ln x0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，h(x)max，即mh(x)max(mZ)，故m0，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)m0時(shí)滿足題意，整數(shù)m的最大值為0.9.已知函數(shù)f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)當(dāng)x1，e時(shí)，求f(x)的最小值；(2)當(dāng)a1時(shí)，若存在x1e，e2，使得對(duì)任意的x22，0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范圍.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x).若a1，當(dāng)x1，e時(shí)，f(x)0，則f(x)在1，e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)1a.若1ae，當(dāng)x1，a時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)xa，e時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù).所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.若ae，當(dāng)x1，e時(shí)，f(x)0，f(x)在1，e上為減函數(shù)，f(x)minf(e)e(a1).綜上，當(dāng)a1時(shí)，f(x)min1a；當(dāng)1ae時(shí)，f(x)mina(a1)ln a1；當(dāng)ae時(shí)，f(x)mine(a1).(2)由題意知，f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2，0)的最小值.由(1)知，f(x)在e，e2上單調(diào)遞增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.當(dāng)x2，0時(shí)，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，g(x)ming(0)1，所以e(a1)1，即a，所以a的取值范圍為.典例(12分)已知函數(shù)f(x)ln xmxm，mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在x(0，)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的值；(3)在(2)的條件下，對(duì)任意的0ab，求證：.審題路線圖(1)(2)(3)規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(1)解f(x)m(x(0，).當(dāng)m0時(shí)，f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m0時(shí)，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞增，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞減. 4分(2)解由(1)知，當(dāng)m0時(shí)顯然不成立；當(dāng)m0時(shí)，f(x)maxfln 1mmln m1，只需mln m10即可，令g(x)xln x1，則g(x)1，函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)0.故f(x)0在x(0，)上恒成立時(shí)，m1.8分(3)證明1·1，由0ab，得1，由(2)得0<ln 1，則·11，則原不等式成立. 12分構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)數(shù).第二步看性質(zhì)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì).第三步用性質(zhì)：將題中條件或要證結(jié)論轉(zhuǎn)化，如果成立或有解問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，證明不等式可利用函數(shù)單調(diào)性和放縮法.第四步得結(jié)論：審視轉(zhuǎn)化過程的合理性.第五步再反思：回顧反思，檢查易錯(cuò)點(diǎn)和步驟規(guī)范性.1.設(shè)函數(shù)f(x)x2mln x，g(x)x2(m1)x，m0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)m1時(shí)，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x).當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，.(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x，x0，問題等價(jià)于求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).F(x)，當(dāng)m1時(shí)，F(xiàn)(x)0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，注意到F(1)0，F(xiàn)(4)ln 40，所以F(x)有唯一零點(diǎn).當(dāng)m1時(shí)，若0x1或xm，則F(x)0；若1xm，則F(x)0，所以函數(shù)F(x)在(0，1)和(m，)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，注意到F(1)m0，F(xiàn)(2m2)mln(2m2)0，所以F(x)有唯一零點(diǎn).綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).2.(2017·全國(guó))已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明f(x)2.(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax2a1.若a0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.若a<0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)a0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln1，所以f(x)2等價(jià)于ln12，即ln10.設(shè)g(x)ln xx1(x>0)，則g(x)1.當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0.所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減.故當(dāng)x1時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(1)0.所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)0.從而當(dāng)a<0時(shí)，ln10，即f(x)2.3.已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))；(3)求證：ln.(1)解f(x)ln x1ln x，f(x)的定義域?yàn)?0，).f(x)，由f(x)>0，得0<x<1，由f(x)<0，得x>1，f(x)1ln x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，).(2)解由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，f(x)在上的最大值為f(1)1ln 10.又f1eln2e，f(e)1ln e，且f<f(e)，f(x)在上的最小值為f2e.綜上，f(x)在上的最大值為0，最小值為2e.(3)證明要證ln，即證2ln x1，即證1ln x0.由(1)可知，f(x)1ln x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，f(x)在(0，)上的最大值為f(1)11ln 10，即f(x)0，1ln x0恒成立.故原不等式得證.4.(2018·宣城模擬)已知函數(shù)f(x)abln x(其中a，bR).(1)當(dāng)b4時(shí)，若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得當(dāng)x時(shí)，不等式f(x)>0恒成立，如果存在，求b的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由.解(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，當(dāng)b4時(shí)，f(x).若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則a.max1，a1；若f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則a，min在x時(shí)取得，即0.a0.綜上，a0或a1.(2)f(x)bln x>0在xe，e2上恒成立，令yln x，xe，e2，y>0，函數(shù)yln x在xe，e2上單調(diào)遞增，故當(dāng)xe時(shí)，y取最小值1>0，故yln x>0在xe，e2上恒成立，故問題轉(zhuǎn)化為b>在xe，e2上恒成立，令h(x)，xe，e2，h(x)，令m(x)ln x1，xe，e2，m(x)>0，而m(e)<0，m(e2)>0，故存在x0e，e2，使得h(x)在e，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，e2上單調(diào)遞增，h(x)maxh(e2)或h(e)，h(e2)<h(e)，b>.綜上，存在b滿足題意，此時(shí)b.