高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第5章 第71課 矩陣與變換

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1、 第五章 矩陣與變換 第71課 矩陣與變換 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 矩陣的概念 √ 二階矩陣與平面向量 √ 常見(jiàn)的平面變換 √ 變換的復(fù)合與矩陣的乘法 √ 二階逆矩陣 √ 二階矩陣的特征值與特征向量 √ 二階矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用 √ 1.乘法規(guī)則 (1)行矩陣[a11 a12]與列矩陣的乘法規(guī)則: [a11 a12]=a11×b11+a12×b21. (2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則: =. (3)兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣,其乘法法則如下: =

2、. (4)兩個(gè)二階矩陣的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律,但不滿(mǎn)足交換律和消去律. 即(AB)C=A(BC), AB≠BA, 由AB=AC不一定能推出B=C. 一般地,兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算. 2.常見(jiàn)的平面變換 (1)恒等變換:如; (2)伸壓變換:如; (3)反射變換:如; (4)旋轉(zhuǎn)變換:如,其中θ為旋轉(zhuǎn)角度; (5)投影變換:如,; (6)切變變換:如(k∈R,且k≠0). 3.逆變換與逆矩陣 (1)對(duì)于二階矩陣A、B,若有AB=BA=E,則稱(chēng)A是可逆的,B稱(chēng)為A的逆矩陣; (2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣,則AB也存在逆矩

3、陣,且(AB)-1=B-1A-1. 4.特征值與特征向量 設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,如果對(duì)于實(shí)數(shù)λ,存在一個(gè)非零向量α,使Aα=λα,那么λ稱(chēng)為A的一個(gè)特征值,而α稱(chēng)為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量. 5.特征多項(xiàng)式 設(shè)A=是一個(gè)二階矩陣,λ∈R,我們把行列式f(λ)==λ2-(a+d)λ+ad-bc,稱(chēng)為A的特征多項(xiàng)式. 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)每一個(gè)二階矩陣都可逆.(  ) (2)每一個(gè)二階矩陣都有特征值及特征向量.(  ) (3)把每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,橫坐標(biāo)不變的線性變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為.(  ) (4)對(duì)于

4、矩陣A,B來(lái)說(shuō)AB=BA.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2.函數(shù)y=x2在矩陣M=變換作用下的解析式為_(kāi)_______. y=x2 [∵==, ∴代入y=x2得y′=x′2,即y=x2.] 3.(教材改編)二階矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(-2,1)變換成(0,b),則a=________,b=________. 2?。? [由=,得即] 4.設(shè)矩陣A=,則矩陣A的特征向量為_(kāi)_______. , [f(λ)==λ2-1=0,得λ1=1,λ2=-1. 當(dāng)λ=1時(shí),得特征向量a1=; 當(dāng)λ=-1時(shí),得特征向量a2=.] 5.已知矩陣A=,B=,若AX

5、=B,則矩陣X=________.  [設(shè)X=,由=,得 解得∴X=.] 二階矩陣與線性變換  二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,-1)與(-2,1)分別變成點(diǎn)(-1,-1)與(0,-2). (1)求矩陣M; (2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m:x-y=4.求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172370】 [解] (1)設(shè)二階矩陣M=. 依題意=,=, 也就是=,=, ∴且 解得a=1,b=2,c=3,d=4,因此所求矩陣M=. (2)∵M(jìn)=,∴坐標(biāo)變換公式為 ∵(x′,y′)是直線m:x-y=4上的點(diǎn). ∴(x+2y)-(3x+4y)=4, 即x+y

6、+2=0,∴直線l的方程為x+y+2=0. [規(guī)律方法] 1.二階矩陣與線性變換的題目往往和矩陣的基本運(yùn)算相結(jié)合命題.包括二階矩陣的乘法,矩陣與向量的乘法等. 2.(1)二階矩陣與線性變換涉及變換矩陣、變換前的曲線方程、變換后的曲線方程三個(gè)要素.知其二可求第三個(gè).(2)在解決通過(guò)矩陣進(jìn)行平面曲線的變換問(wèn)題時(shí),要把變換前后的變量區(qū)別清楚,防止混淆. [變式訓(xùn)練1] (2017·南通二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)A(-1,2)在矩陣M=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)A′,將點(diǎn)B(3,4)繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B′,求點(diǎn)B′的坐標(biāo). [解] 設(shè)B′(x,y), 依題意,由=,得A′(

7、1,2). 則=(2,2),=(x-1,y-2). 記旋轉(zhuǎn)矩陣N=, 則=,即=,解得所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(-1,4). 求逆矩陣  已知矩陣A=. (1)求逆矩陣A-1; (2)若二階矩陣X滿(mǎn)足AX=,試求矩陣X. [解] (1)∵det(A)==-1≠0. ∴矩陣A是可逆的, ∴A-1==. (2)∵AX=,∴A-1AX=A-1, ∴X==. [規(guī)律方法] 求逆矩陣的方法: (1)待定系數(shù)法 設(shè)A是一個(gè)二階可逆矩陣,AB=BA=E; (2)公式法 A==ad-bc≠0,有A-1=. [變式訓(xùn)練2] 已知矩陣A=,B=,求矩陣A-1B. [解] 設(shè)矩陣

8、A的逆矩陣為, 則=, 即=, 故a=-1,b=0,c=0,d=, 從而A的逆矩陣為A-1=, 所以A-1B==. 特征值與特征向量  (2017·蘇州模擬)求矩陣M=的特征值和特征向量. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172371】 [解] 特征多項(xiàng)式f(λ)==(λ+1)(λ-6)-8=λ2-5λ-14=(λ-7)(λ+2),由f(λ)=0,解得λ1=7,λ2=-2. 將λ1=7代入特征方程組,得即y=2x,可取為屬于特征值λ1=7的一個(gè)特征向量, 同理,λ2=-2時(shí),特征方程組是即x=-4y,所以可取為屬于特征值λ2=-2的一個(gè)特征向量. 綜上所述,矩陣M=有兩個(gè)特征值λ1

9、=7,λ2=-2; 屬于λ1=7的一個(gè)特征向量為,屬于λ2=-2的一個(gè)特征向量為. [規(guī)律方法] 已知A=,求特征值和特征向量的步驟: (1)令f(λ)==(λ-a)(λ-d)-bc=0,求出特征值λ; (2)列方程組 (3)賦值法求特征向量,一般取x=1或者y=1,寫(xiě)出相應(yīng)的向量. [變式訓(xùn)練3] (2015·江蘇高考)已知x,y∈R,向量α=是矩陣A=的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量,求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值. [解] 由已知,得Aα=-2α, 即==, 則即 所以矩陣A=. 從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.

10、 [思想與方法] 1.二階矩陣與平面列向量乘法:=,這是所有變換的基礎(chǔ). 2.證明兩個(gè)矩陣互為逆矩陣時(shí),切記從兩個(gè)方向進(jìn)行,即AB=E=BA. 3.二元一次方程組相應(yīng)的矩陣方程為AX=B,其中A=為系數(shù)矩陣,X為未知數(shù)向量,B=為常數(shù)向量. 4.若某一向量在矩陣交換作用下的像與原像共線,則稱(chēng)這個(gè)向量是屬于該變換矩陣的特征向量,相應(yīng)共線系數(shù)為屬于該特征向量的特征值. [易錯(cuò)與防范] 1.兩個(gè)矩陣相等,不但要求元素相同,而且要求相同元素的位置也一樣. 2.對(duì)于矩陣的乘法運(yùn)算不滿(mǎn)足消去律,即由AC=BC不一定得到A=B. 3.矩陣A的屬于特征值λ的特征向量不唯一,其特征值λ的特征

11、向量共線. 課時(shí)分層訓(xùn)練(十五) A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí):30分鐘) 1.已知矩陣A=,B=,向量α=,若Aα=Bα,求實(shí)數(shù)x,y的值. [解] Aα=,Bα=, 由Aα=Bα得解得x=-,y=4. 2.(2017·如皋中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)P(x,5)在矩陣M=對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q(y-2,y),求M-1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172372】 [解] 依題意,=,即解得,由逆矩陣公式知,矩陣M=的逆矩陣M-1=, 所以M-1==. 3.(2017·泰州二中月考)若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M=對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(-2,2),求矩陣M的逆矩陣. [解]

12、 由題意,得=, ∴ ∴sin α=1,cos α=0, ∴M=. ∴=1≠0,∴M-1=. 4.已知矩陣A=,其中a∈R,若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′(0,-3). (1)求實(shí)數(shù)a的值; (2)求矩陣A的特征值及特征向量. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172373】 [解] (1)由=,得a+1=-3,∴a=-4. (2)由(1)知A=, 則矩陣A的特征多項(xiàng)式為 f(x)==(λ-1)2-4=λ2-2λ-3, 令f(λ)=0,得矩陣A的特征值為-1或3. 當(dāng)λ=-1時(shí)二元一次方程?y=2x. ∴矩陣A的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為. 當(dāng)λ=3時(shí),二元一次方程?

13、2x+y=0. ∴矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為. B組 能力提升 (建議用時(shí):15分鐘) 1.(2017·蘇州市期中)已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=,并且矩陣M將點(diǎn)(-1,3)變換為(0,8). (1)求矩陣M; (2)求曲線x+3y-2=0在M的作用下的新曲線方程. [解] (1)設(shè)M=,由=8及=, 得解得∴M=. (2)設(shè)原曲線上任一點(diǎn)P(x,y)在M作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′,y′),則=,即解得 代入x+3y-2=0得x′-2y′+4=0, 即曲線x+3y-2=0在M的作用下的新曲線方程為x-2y+4=0. 2.(2016·南京鹽城

14、一模)設(shè)矩陣M=的一個(gè)特征值為2,若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2+y2=1,求曲線C的方程. [解] 由題意,矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)=(λ-a)(λ-1), 因矩陣M有一個(gè)特征值為2,f(2)=0,所以a=2. 所以M===,即 代入方程x2+y2=1,得(2x)2+(2x+y)2=1,即曲線C的方程為8x2+4xy+y2=1. 3.(2016·蘇北三市三模)已知矩陣A=,向量α=,計(jì)算A5α. [解] 因?yàn)閒(λ)==λ2-5λ+6 ,由f(λ)=0,得λ=2或λ=3. 當(dāng)λ=2時(shí),對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α1=; 當(dāng)λ=3時(shí),對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α2=. 設(shè)=m+n,解得 所以A5α=2×25+1×35=. 4.已知矩陣A=,B= (1)求矩陣A的逆矩陣; (2)求直線x+y-1=0在矩陣A-1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下所得的曲線的方程. [解] (1)設(shè)A-1=, ∵A·A-1=·=, ∴ ∴∴A-1=. (2)A-1B==, 設(shè)直線x+y-1=0上任意一點(diǎn)P(x,y)在矩陣A-1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得P′(x′,y′), 則=, ∴即 代入x+y-1=0得x′+3y′+(-y′)-1=0, 可化為:x′+2y′-1=0, 即x+2y-1=0為所求的曲線方程.

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