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1、
第25練 基本初等函數(shù)、函數(shù)的應用[小題提速練]
[明晰考情] 1.命題角度：考查二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質；以基本初等函數(shù)為依托，考查函數(shù)與方程的關系、函數(shù)零點存在性定理；能利用函數(shù)解決簡單的實際問題.2.題目難度：中檔偏難.
考點一 基本初等函數(shù)的圖象與性質
方法技巧 (1)指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0，1)，對數(shù)函數(shù)的圖象過定點(1，0).
(2)應用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性，要注意底數(shù)的范圍，底數(shù)不同的盡量化成相同的底數(shù).
(3)解題時要注意把握函數(shù)的圖象，利用圖象研究函數(shù)的性質.
1.已知函數(shù)f(x)＝則f(2 019)等于( )
2、
A.2 018 B.2
C.2 020 D.
答案 D
解析 f(2 019)＝f(2 018)＋1＝…＝f(0)＋2 019＝f(－1)＋2 020＝2－1＋2 020＝.
2.函數(shù)y＝ln|x|－x2的圖象大致為( )
答案 A
解析 f(x)＝y(tǒng)＝ln|x|－x2，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln|x|－x2＝f(x)，故函數(shù)y＝ln|x|－x2為偶函數(shù)，排除B，D；當x>0時，y＝ln x－x2，則y′＝－2x，當x∈時，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2單調遞增，排除C.故選A.
3.(2017·全國Ⅰ)設
3、x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
答案 D
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1.
則x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故選D.
4.設函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(t))＝2f(t)的t的取值范圍是____________________.
答案
解析 若f(t)≥1，顯然成立，則有
或解得t≥－.
若f(
4、t)<1，由f(f(t))＝2f(t)，可知f(t)＝－1，
所以t＋＝－1，得t＝－3.
綜上，實數(shù)t的取值范圍是.
考點二 函數(shù)與方程
方法技巧 (1)判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法
①解方程f(x)＝0，直接求零點；②利用零點存在性定理；③數(shù)形結合法：通過分解轉化為兩個能畫出的函數(shù)圖象交點問題.
(2)解由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關鍵是利用函數(shù)與方程思想或數(shù)形結合思想，構建關于參數(shù)的方程或不等式求解.
5.函數(shù)f(x)＝log2x－的零點所在的區(qū)間為( )
A. B.
C.(1，2) D.(2，3)
答案 C
解析 函數(shù)f(x)的定義域為
5、(0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù).
f(1)＝log21－＝0－1<0， f(2)＝log22－＝1－＝>0，
∴ f(1)·f(2)<0，
∴函數(shù)f(x)＝log2x－的零點在區(qū)間(1，2)內.
6.已知函數(shù)f(x)＝ln＋x3，若函數(shù)y＝f(x)＋f(k－x2)有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因為f(x)＝ln＋x3在區(qū)間(－1，1)上單調遞增，且是奇函數(shù)，令y＝f(x)＋f(k－x2)＝0，則f(x)＝－f(k－x2)＝f(x2－k).
由函數(shù)y＝f(x)＋f(k－x2)有兩個零點，等價于方程
6、x2－x－k＝0在區(qū)間(－1，1)上有兩個不相等的實根，令g(x)＝x2－x－k，則滿足解得－
7、方程f(x)＝x＋a有2個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是________________________.
答案 {a|a＝－1或0≤a<1或a>1}
解析 當直線y＝x＋a與曲線y＝ln x相切時，設切點為(t，ln t)，則切線斜率k＝(ln x)′|x＝t＝＝1，
所以t＝1，切點坐標為(1，0)，代入y＝x＋a，得a＝－1.
又當x≤0時，f(x)＝x＋a?(x＋1)(x＋a)＝0，
所以①當a＝－1時，ln x＝x＋a(x>0)有1個實根，
此時(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1個實根，滿足題意；
②當a<－1時，ln x＝x＋a(x>0)有2個實根，
此時(x
8、＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有1個實根，不滿足題意；
③當a>－1時，ln x＝x＋a(x>0)無實根，此時要使(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有2個實根，應有－a≤0且－a≠－1，即a≥0且a≠1，
綜上得實數(shù)a的取值范圍是{a|a＝－1或0≤a<1或a>1}.
考點三 函數(shù)的綜合應用
方法技巧 (1)函數(shù)實際應用問題解決的關鍵是通過讀題建立函數(shù)模型，要合理選取變量，尋找兩個變量之間的關系.
(2)基本初等函數(shù)與不等式的交匯問題是高考的熱點，突破此類問題的關鍵在于準確把握函數(shù)的圖象和性質，結合函數(shù)的圖象尋求突破點.
9.某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司20
9、15年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
答案 B
解析 設2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金為y萬元，則y＝130(1＋12%)n.
依題意130(1＋12%)n>200，得1.12n>.
兩邊取對數(shù)，得n·lg 1.12>lg 2－lg 1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始
10、超過200萬元.
10.已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，則實數(shù)b的取值范圍為( )
A.[1，3] B.(1，3)
C.[2－，2＋] D.(2－，2＋)
答案 D
解析 函數(shù)f(x)＝ex－1的值域為(－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域為(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，則需g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，所以b2－4b＋2＜0，解得2－＜b＜2＋.
11.已知函數(shù)f(x)＝且關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________.
答案 (1，＋∞)
解析
11、 畫出函數(shù)y＝f(x)與y＝a－x的圖象如圖所示，所以a>1.
12.已知f(x)＝則f(x)≥－2的解集是________.
答案 ∪(0，4]
解析 當x＜0時，f(x)≥－2，即≥－2，可轉化為1＋x≤－2x，得x≤－；
當x＞0時，f(x)≥－2，
即≥－2，
可轉化為≥
解得0＜x≤4.
綜上可知不等式的解集為∪(0，4].
1.函數(shù)f(x)＝－2x2的圖象大致為( )
答案 A
解析 因為f(－x)＝－2(－x)2＝f(x)，
所以函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù).
當x>0時，f′(x)＝2x－4x＝2x(－2)，
若x∈(0，)，f′(x)
12、<0，函數(shù)y＝f(x)單調遞減；
若x∈(，＋∞)，f′(x)>0，函數(shù)y＝f(x)單調遞增，
則f(x)min＝f()＝2－2ln 2>0，
結合圖象的對稱性可知，故選A.
2.如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為( )
A. B.1
C.3 D.或3
答案 D
解析 令ax＝t(t>0)，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
當a>1時，因為x∈[－1，1]，所以t∈，
又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在上單調遞增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(負值舍去)；
13、
當0
14、)的圖象有2個交點，平移y＝h(x)的圖象可知，當直線y＝－x－a過點(0，1)時，有2個交點，
此時1＝－0－a，a＝－1.
當y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1時，僅有1個交點，不符合題意；
當y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1時，有2個交點，符合題意.
綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞).
故選C.
4.已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是________.
答案 [－2，0]
解析 由y＝|f(x)|的圖象知，
①當x＞0時，只有當a≤0時，才能滿足|f(x)|≥ax.
②當x≤0時，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－
15、2x.
故由|f(x)|≥ax，得x2－2x≥ax.
當x＝0時，不等式為0≥0成立.
當x＜0時，不等式等價于x－2≤a.
因為x－2＜－2，所以a≥－2.
綜上可知，a∈[－2，0].
解題秘籍 (1)基本初等函數(shù)的圖象可根據(jù)特殊點及函數(shù)的性質進行判定.
(2)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的性質，可使用換元法，解題中要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域.
(3)數(shù)形結合是解決方程、不等式的重要工具，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)要討論.
1.已知實數(shù)a，b滿足＞a＞b＞，則( )
A.b＜2 B.b＞2
C.a＜ D.a＞
答案 B
解析 ∵＞a＞b＝＞＝2，
16、∴1＜a＜＜2，
∴b2－4(b－a)＝b2－4b＋4a＞b2－4b＋4≥0，
∴b2＞4(b－a)，
∴b＞2，故選B.
2.若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調遞減區(qū)間是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝，得a2＝，
解得a＝或a＝－(舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上單調遞減，
在[2，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)在(－∞，2]上單調遞增，在[2，＋∞)上單調遞減.
3.函數(shù)f(x)＝|
17、x－2|－ln x在定義域內零點的個數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析 由題意，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，由函數(shù)零點的定義，f(x)在(0，＋∞)內的零點即是方程|x－2|－ln x＝0的根.
令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x＞0)，在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象.
由圖得兩個函數(shù)圖象有兩個交點，
故方程有兩個根，即對應函數(shù)有兩個零點.
4.函數(shù)y＝(0≤x＜3)的值域是( )
A.(0，1] B.(e－3，e]
C.[e－3，1] D.[1，e]
答案 B
解析 ∵y＝＝(0≤x＜3)，
當0≤x＜3
18、時，－3＜－(x－1)2＋1≤1，
∴e－3＜≤e1，
即e－3＜y≤e，
∴函數(shù)的值域是(e－3，e].
5.函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為( )
A. B.
C.2 D.4
答案 B
解析 當a＞1時，由a＋loga2＋1＝a，
得loga2＝－1，
所以a＝，與a＞1矛盾；
當0＜a＜1時，由1＋a＋loga2＝a，
得loga2＝－1，所以a＝.
6.已知函數(shù)f(x)＝設m>n≥－1，且f(m)＝f(n)，則m·f(m)的最小值為( )
A.4 B.2
C. D.2
答案 D
解
19、析 當－1≤x<1時，f(x)＝5·2x∈，f(0)＝5；當x≥1時，f(x)＝1＋≤5，f(4)＝，1≤m<4.m·f(m)＝m＋≥2，當且僅當m＝時取等號，故選D.
7.若函數(shù)f(x)＝aex－x－2a有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
答案 D
解析 函數(shù)f(x)＝aex－x－2a的導函數(shù)f′(x)＝aex－1，
當a≤0時，f′(x)<0恒成立，函數(shù)f(x)在R上單調遞減，不可能有兩個零點；
當a＞0時，令f′(x)＝0，得x＝ln ，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
∴f(x)的最小值為f＝1－ln －2a
20、＝1＋ln a－2a.
令g(a)＝1＋ln a－2a(a＞0)，
則g′(a)＝－2.
當a∈時，g(a)單調遞增，
當a∈時，g(a)單調遞減，
∴g(a)max＝g＝－ln 2＜0，
∴f(x)的最小值f＜0，函數(shù)f(x)＝aex－x－2a有兩個零點.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是(0，＋∞).
8.函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，則下列結論成立的是( )
A.a>0，b>0，c<0
B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0
D.a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 由f(x)＝及圖象可知，x≠－c，－c＞0，
則c＜0；當x＝0時，f(0)
21、＝＞0，
所以b＞0；當f(x)＝0時，ax＋b＝0，
所以x＝－＞0，所以a＜0，故選C.
9.已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，那么n的值為________.
答案 1
解析 由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，經檢驗，只有n＝1符合題意.
10.已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.
答案 [－1，＋∞)
解析 設t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，則a＝f(t).在同一坐標系內作y＝a，y＝f(t)的
22、圖象(如圖).
當a≥－1時，y＝a與y＝f(t)的圖象有兩個交點.設交點的橫坐標為t1，t2(不妨設t2>t1)且t1<－1，t2≥－1，當t1<－1時，t1＝f(x)有一解；當t2≥－1時，t2＝f(x)有兩解.當a<－1時，只有一個零點.綜上可知，當a≥－1時，函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個不同的零點.
11.設函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(f(x))－1的零點個數(shù)為________.
答案 2
解析?、佼攛≤0時，y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，
則x＝1，顯然與x≤0矛盾，
所以當x≤0時，y＝f(f(x))－1無
23、零點.
②當x＞0時，分兩種情況：當x＞1時，log2x＞0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，
令log2(log2x)－1＝0，
得log2x＝2，解得x＝4；
當0＜x≤1時，log2x≤0，y＝f(f(x))－1＝f(log2x)－1＝－1＝x－1，
令x－1＝0，解得x＝1.
綜上，函數(shù)y＝f(f(x))－1的零點個數(shù)為2.
12.函數(shù)f(x)＝的圖象與函數(shù)g(x)＝2sin x在區(qū)間[0，4]上的所有交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.
答案
解析 如圖，畫出函數(shù)f(x)和g(x)在[0，4]上的圖象，
可知有4個交點，并且關于點(2，0)對稱，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.
2019年高考數(shù)學復習大二輪精準提分練習第二篇 第25練
