高考數(shù)學復習 17-18版 附加題部分 第1章 第60課 離散型隨機變量及其概率分布

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1、 第60課 離散型隨機變量及其概率分布 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 離散型隨機變量及其分布列 √ 超幾何分布 √ 1．離散型隨機變量 隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量． 2．離散型隨機變量的分布列及性質(zhì) (1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則下表稱為離散型隨機變量X的概率分布. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi

2、 … pn (2)離散型隨機變量的概率分布的性質(zhì)： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1. 3．常見離散型隨機變量的概率分布 (1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其概率分布為 X 0 1 P 1－p p ，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率． (2)超幾何分布 一般地，設有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝r)＝(r＝0,1,2，…，l)． 即 X 0 1 … l P … 其中l(wèi)＝min(n，M)，且n≤N，M≤N，n，M，

3、N∈N＋. 如果一個隨機變量X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)離散型隨機變量的概率分布中，各個概率之和可以小于1.(　　) (2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (3)如果隨機變量X的概率分布由下表給出，則它服從兩點分布．(　　) X 2 5 P 0.3 0.7 (4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)拋擲甲、乙兩顆骰子，

4、所得點數(shù)之和為X，那么X＝4表示的基本事件是________．(填序號) ①一顆是3點，一顆是1點 ②兩顆都是2點 ③一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點 ④甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點 ④　[甲是3點，乙是1點與甲是1點，乙是3點是試驗的兩個不同結(jié)果．] 3．設隨機變量X的概率分布如下： X 1 2 3 4 5 P p 則p等于________． 　[由分布列的性質(zhì)，＋＋＋＋p＝1. ∴p＝1－＝.] 4．設隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 10　[由于隨

5、機變量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每個數(shù)的概率均為，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.] 5．從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，則隨機變量X的概率分布為________. X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 [依題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2. 則P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6， P(X＝2)＝＝0.3. 故X的概率分布為 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 ] 離散型隨機變量概率分布的性質(zhì) 　設離散型隨機變量X的概率分

6、布為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求隨機變量η＝|X－1|的概率分布． [解]　由概率分布的性質(zhì)，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 列表 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3. 因此η＝|X－1|的概率分布為 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 [規(guī)律方法]　1.利

7、用分布列中各概率之和為“1”可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證兩個概率值均為非負數(shù)． 2．若X是隨機變量，則η＝|X一1|仍然是隨機變量，求它的分布列可先求出相應隨機變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求對應的事件概率，進而寫出概率分布． [變式訓練1]　隨機變量X的概率分布如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________. 【導學號：62172326】 　[由題意知 所以2b＋b＝1，則b＝，因此a＋c＝. 所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝.] 離散型隨機變量的概率分布 　(

8、2015·安徽高考改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束． (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的概率分布． [解]　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(

9、X＝300) ＝1－－＝＝. 故X的概率分布為 X 200 300 400 P [規(guī)律方法]　1.求隨機變量的概率分布的主要步驟： (1)明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布； (2)求每一個隨機變量取值的概率； (3)列成表格，寫出概率分布，其中的關(guān)鍵是第(2)步． 2．本題在計算中注意兩點：(1)充分利用排列與組合知識準確計算古典概型的概率；(2)靈活運用概率分布的性質(zhì)求P(X＝400)的概率，簡化了計算． [變式訓練2]　(2016·天津高考改編)某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,

10、4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會． (1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的概率分布． [解]　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以，隨機變量X的概率分布為 X 0 1 2 P 超幾何分布 　為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中

11、種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽. (1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的概率分布. 【導學號：62172327】 [解]　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 則P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以隨機變量X的概率分布為 X 1 2 3 4

12、 P [規(guī)律方法]　1.超幾何分布是一種特殊的概率分布，其分布列可由公式直接給出．具有兩個特點：(1)是不放回抽樣問題；(2)隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)． 2．超幾何分布應用的條件：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)ξ的概率分布，其實質(zhì)是古典概型問題． [變式訓練3]　端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗．設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個． (1)求三種粽子各取到1個的概率； (2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的概率分布． [解]　(1)令A

13、表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝＝. (2)X的所有可能值為0,1,2，且 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 綜上知，X的概率分布為 X 0 1 2 P [思想與方法] 1．對于隨機變量X的研究，需要了解隨機變量能取哪些值以及取這些值或取某一個集合內(nèi)的值的概率，對于離散型隨機變量，它的分布正是指出了隨機變量X的取值范圍以及取這些值的概率． 2．求離散型隨機變量的概率分布，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率． [易錯與防范] 1．對于分布

14、列易忽視其性質(zhì)p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1,2，…，n)，其作用是求隨機變量取某個值的概率或檢驗所求離散型隨機變量的概率分布是否正確． 2．確定離散型隨機變量的取值時，易忽視各個可能取值表示的事件是彼此互斥的． 3．概率分布的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機變量X所有可能取得的值；第二行是對應于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率． 課時分層訓練(四) A組　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 1．設隨機變量X的概率分布為P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求a； (2)求P； (3)求P. 【導學號：62172328】 [解]　(1)由概率分布的性質(zhì)， 得P＋P＋

15、P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝. (2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝. (3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝. 2．一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是. (1)求白球的個數(shù)； (2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布． [解]　(1)記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設袋中白球的個數(shù)為x， 則P(A)＝1－＝，得到x＝5.故白球有5個． (2)X服從超幾何分布， P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 于是可得其概率分布為 X

16、 0 1 2 3 P 3.(2017·南京模擬)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等)． 在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”； (2)若甲參加活動，求甲得分X的概率分布． [解]　(1)個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145

17、,235,245,345. (2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為C＝84，隨機變量X的取值為：0，－1,1，因此 P(X＝0)＝＝， P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝1－－＝. 所以X的概率分布為 X 0 －1 1 P 4.盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球．規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分．現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球． (1)求取出的3個球中至少有一個紅球的概率； (2)求取出的3個球得分之和恰好為1分的概率； (3)設ξ為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求ξ的概率分布. 【導學號：6

18、2172329】 [解]　(1)P＝1－＝. (2)記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (3)ξ可能的取值為0,1,2,3，ξ服從超幾何分布， P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3. 故P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， ξ的概率分布為： ξ 0 1 2 3 P B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條

19、棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1，求隨機變量ξ的概率分布． [解]　若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8C對相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝. 若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對， 故P(ξ＝)＝＝， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝， 所以隨機變量ξ的概率分布是 ξ 0 1 P 2.某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下： 獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球．顧客不放回地每次摸出

20、1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵． (1)求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率； (2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的概率分布． [解]　(1)設“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件A，則P(A)＝＝， 故1名顧客摸球3次停止摸球的概率為. (2)隨機變量X的所有取值為0,5,10,15,20. P(X＝0)＝，P(X＝5)＝＝， P(X＝10)＝＋＝， P(X＝15)＝＝， P(X＝20)＝＝. 所以，隨機變量X的概率分布為 X 0 5 10 15 20

21、 P 3．已知甲箱中只放有x個紅球與y個白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2個紅球、1個白球與1個黑球(球除顏色外，無其他區(qū)別)．若從甲箱中任取2個球，從乙箱中任取1個球． (1)記取出的3個球的顏色全不相同的概率為P，求當P取得最大值時x，y的值； (2)當x＝2時，求取出的3個球中紅球個數(shù)ξ的概率分布． [解]　(1)由題意知P＝＝≤2＝， 當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立， 所以，當P取得最大值時x＝y(tǒng)＝3. (2)當x＝2時，即甲箱中有2個紅球與4個白球， 所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3. 則P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝，

22、P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以紅球個數(shù)ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 4.PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標． 從某自然保護區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示： PM2.5日均值 (微克/立方米) [25,35] (35,45] (4

23、5,55] (55,65] (65,75] (75,85] 頻數(shù) 3 1 1 1 1 3 (1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率； (2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的概率分布． [解]　(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，則 P(A)＝＝. (2)依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)． ∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 因此ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P