高三數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 21函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想 理

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1、第1講函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想 一、函數(shù)與方程思想 思想概述 函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，它們之間有著密切的聯(lián)系函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程來解決問題，是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn) 方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)：方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通過方程進(jìn)行研究；方程f(x)a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用可從以下幾個(gè)方面思考：1函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)

2、化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式2數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要，數(shù)列也可用方程思想求解3(1)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決，這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論；(2)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切類型講解類型一函數(shù)方程思想在不等式恒成立、函數(shù)零點(diǎn)問題 中的應(yīng)用【例1】 已知函數(shù)f(x)exax，其中a0.(1)若對一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集

3、合；(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立 (1)解f(x)exa，令f(x)0，得xln a. 當(dāng)xln a時(shí)，f(x)0；當(dāng)xln a時(shí)，f(x)0. f(x)在(，ln a)上是減函數(shù)，在(ln a，)上是增函數(shù) 故當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取最小值f(ln a)aaln a. 于是對一切xR，f(x)1恒成立， 當(dāng)且僅當(dāng)aaln a1. 令g(t)ttln t，則g(t)ln t. 當(dāng)0t1時(shí)，g(t)0，g(t)單調(diào)遞增； 當(dāng)t1時(shí)，g(t)0，g(t)單調(diào)遞減

4、故當(dāng)t1時(shí)，g(t)取最大值g(1)1. 因此，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，式成立 綜上所述，a的取值集合為1 規(guī)律方法 (1)本題求解的關(guān)鍵在于恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，第(1)問中xR，恒有f(x)1，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)min1.第(2)問中對于aaln a1，構(gòu)造函數(shù)，求aaln a最大值為1，從而把不等式轉(zhuǎn)化為方程第(3)問中在第(2)問中判定(x1)，(x2)符號(hào)，構(gòu)建函數(shù)F(t)ett1，利用單調(diào)性加以確定，抓住函數(shù)這一靈魂，找到解題的利器 (2)題目綜合考查導(dǎo)數(shù)、斜率公式、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，靈活利用函數(shù)方程思想，有效實(shí)施方程、不等式、函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化 規(guī)律方法 (1)等差、等比數(shù)列中，通

5、項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，可以看成n的函數(shù)，可以用函數(shù)方法解決 (2)而數(shù)列求值問題的實(shí)質(zhì)是解方程，所以，方程思想在數(shù)列問題中也有著重要的作用 規(guī)律方法 關(guān)于定點(diǎn)、定值問題，一般來說，從兩個(gè)方面來解決問題；(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)(定值)，再證明這個(gè)點(diǎn)(值)與變量無關(guān)；(2)直接推理計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)(值) 二、數(shù)形結(jié)合思想 思想概述 數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)結(jié)合，達(dá)到抽象思維和形象思維的和諧統(tǒng)一通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到解決數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分

6、為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：1要徹底明白一些概念和運(yùn)算法則的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；2選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；3挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參數(shù)的取值范圍，參數(shù)的范圍決定圖形的范圍數(shù)形結(jié)合思想是重要的思維方式，在高考中占有非常重要的地位近幾年的高考題中的曲線方程問題、函數(shù)與不等式問題、參數(shù)范圍問題、可行域與目標(biāo)函數(shù)最值、向量兩重性等，都用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法，它不僅是我們解題的一種思想方法，還是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的有力武器 規(guī)律方法 此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，即方程(組)或不等式(組)，從而將問題解決