第2講 平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示

第2講平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示【2013年高考會(huì)這樣考】1考查平面向量基本定理的應(yīng)用2考查坐標(biāo)表示下向量共線(xiàn)條件【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)理解基本定理，重點(diǎn)運(yùn)用向量的坐標(biāo)進(jìn)行加、減、數(shù)乘的運(yùn)算以及向量共線(xiàn)的運(yùn)算基礎(chǔ)梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中不共線(xiàn)的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b共線(xiàn)一個(gè)區(qū)別向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a(x，y)當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變，即(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化兩個(gè)防范(1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)已知a1a2an0，且an(3,4)，則a1a2an1的坐標(biāo)為()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析a1a2an1an(3，4)答案C2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c()A3ab B3ab Ca3b Da3b解析設(shè)cxayb，則c3ab.答案B3(2012·鄭州月考)設(shè)向量a(m,1)，b(1，m)，如果a與b共線(xiàn)且方向相反，則m的值為()A1 B1 C2 D2解析設(shè)ab(0)，即m且1m.解得m±1，由于0，m1.答案A4設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向線(xiàn)段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)解析設(shè)c(x，y)，則4a(3b2a)c0，答案C5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案1考向一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】(2012·南京質(zhì)檢)如圖所示，在ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若，則_. 審題視點(diǎn) 由B，H，C三點(diǎn)共線(xiàn)可用向量，來(lái)表示.解析由B，H，C三點(diǎn)共線(xiàn)，可令x(1x)，又M是AH的中點(diǎn)，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的【訓(xùn)練1】 如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起若xy，則x_，y_.解析以AB所在直線(xiàn)為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖，令A(yù)B2，則(2,0)，(0,2)，過(guò)D作DFAB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，由已知得DFBF，則(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.答案1考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】(2011·合肥模擬)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐標(biāo)和.審題視點(diǎn) 求，的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)設(shè)M(x，y)，則(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫(xiě)錯(cuò)坐標(biāo)【訓(xùn)練2】 在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若(2,4)，(1,3)，則()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析由題意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B考向三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得kab與a3b共線(xiàn)，且方向相反？審題視點(diǎn) 根據(jù)共線(xiàn)條件求k，然后判斷方向解若存在實(shí)數(shù)k，則kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若這兩個(gè)向量共線(xiàn)，則必有(k3)×(4)(2k2)×100.解得k.這時(shí)kab，所以kab(a3b)即兩個(gè)向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在向量共線(xiàn)問(wèn)題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值【訓(xùn)練3】 (2011·西安質(zhì)檢)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c滿(mǎn)足(ca)b，c(ab)，則c()A. B.C. D.解析設(shè)c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3×(1m)2×(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.答案D閱卷報(bào)告5平面幾何知識(shí)應(yīng)用不熟練致誤【問(wèn)題診斷】 在平面幾何圖形中設(shè)置向量問(wèn)題，是高考命題向量試題的常見(jiàn)形式，求解這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)思路是：首先選擇一組基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再進(jìn)行求解【防范措施】 一是會(huì)利用平行四邊形法則和三角形法則；二是弄清平面圖形中的特殊點(diǎn)、線(xiàn)段等【示例】(2011·湖南)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)誤2，3，則·_.錯(cuò)因搞錯(cuò)向量的夾角或計(jì)算錯(cuò)實(shí)錄(填錯(cuò)的結(jié)論多種)正解由題意畫(huà)出圖形如圖所示，取一組基底，結(jié)合圖形可得()，·()·22·cos 60°.答案【試一試】 (2011·天津)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_(kāi)嘗試解析以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線(xiàn)為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.答案5