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1、第2講平面向量基本定理及其坐標表示【2013年高考會這樣考】1考查平面向量基本定理的應用2考查坐標表示下向量共線條件【復習指導】本講復習時，應理解基本定理，重點運用向量的坐標進行加、減、數(shù)乘的運算以及向量共線的運算基礎梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(
2、2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標表示設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，當且僅當x1y2x2y10時，向量a，b共線一個區(qū)別向量坐標與點的坐標的區(qū)別：在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a(x，y)當平面向量平行移動到時，向量不變，即(x，y)，但的起點O1和終點A1的坐標都發(fā)生了變化兩個防范(1)要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式
3、上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2x2y10.雙基自測1(人教A版教材習題改編)已知a1a2an0，且an(3,4)，則a1a2an1的坐標為()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析a1a2an1an(3，4)答案C2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c()A3ab B3ab Ca3b Da3b解析設cxayb，則c3ab.答案B3(2012鄭州月考)設向量a(m,1)，b(1，m)，如果a與b共線且方向相反，
4、則m的值為()A1 B1 C2 D2解析設ab(0)，即m且1m.解得m1，由于0，m1.答案A4設向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)解析設c(x，y)，則4a(3b2a)c0，答案C5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案1考向一平面向量基本定理的應用【例1】(2012南京質(zhì)檢)如圖所示，在ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若，則_. 審題視點 由B，H
5、，C三點共線可用向量，來表示.解析由B，H，C三點共線，可令x(1x)，又M是AH的中點，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案 應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的【訓練1】 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起若xy，則x_，y_.解析以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系如圖，令AB2，則(2,0)，(0,2)，過D作DFAB交AB的延長線于F，由已知得DFBF，則(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.答案1考
6、向二平面向量的坐標運算【例2】(2011合肥模擬)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐標和.審題視點 求，的坐標，根據(jù)已知條件列方程組求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)設M(x，y)，則(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐標運算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終點坐標，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標【訓練2】 在平行四邊形AB
7、CD中，AC為一條對角線，若(2,4)，(1,3)，則()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析由題意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B考向三平面向量共線的坐標運算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在實數(shù)k，使得kab與a3b共線，且方向相反？審題視點 根據(jù)共線條件求k，然后判斷方向解若存在實數(shù)k，則kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若這兩個向量共線，則必有(k3)(4)(2k2)100.解得k.這時kab，所以kab(a3b)即兩個向量恰好方向相反，故題設的實數(shù)k存在向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的
8、一些關系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值【訓練3】 (2011西安質(zhì)檢)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c()A. B.C. D.解析設c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.答案D閱卷報告5平面幾何知識應用不熟練致誤【問題診斷】 在平面幾何圖形中設置向量問題，是高考命題向量試題的常見形式，求解這類問題的常規(guī)思路是：首先選擇一組基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再進行求解【防范措施】
9、一是會利用平行四邊形法則和三角形法則；二是弄清平面圖形中的特殊點、線段等【示例】(2011湖南)在邊長為1的正三角形ABC中，設誤2，3，則_.錯因搞錯向量的夾角或計算錯實錄(填錯的結論多種)正解由題意畫出圖形如圖所示，取一組基底，結合圖形可得()，()22cos 60.答案【試一試】 (2011天津)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_嘗試解析以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.答案5
第2講 平面向量基本定理及其坐標表示
