投資收益和風(fēng)險的優(yōu)化模型.doc

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投資收益和風(fēng)險的優(yōu)化模型 摘要 如何投資是現(xiàn)代企業(yè)所要面臨的一個實(shí)際問題，投資的目標(biāo)是收益盡可能大，但是投資往往都伴隨著風(fēng)險。實(shí)際情況不可能保證風(fēng)險和收益同時達(dá)到最優(yōu)，因?yàn)槭找婧惋L(fēng)險是矛盾的兩個方面，收益的增長必然伴隨著風(fēng)險的提高?！案唢L(fēng)險，高回報”是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個重要的準(zhǔn)則。 但是企業(yè)總是追求風(fēng)險盡可能小，與此同時又追求收益盡可能大。怎樣分配資金才能做到統(tǒng)籌兼顧？ 在本文中，我們首先建立了一個多目標(biāo)規(guī)劃模型（模型一），目標(biāo)函數(shù)分別為風(fēng)險和收益。由于是一筆相當(dāng)大的資金，所以我們開始先忽略了對模型的影響，將其轉(zhuǎn)化成了一個形式更為簡單的多目標(biāo)線性規(guī)劃模型。 為了求解此模型，我們將風(fēng)險的上限限制為c，這樣多目標(biāo)規(guī)劃模型就轉(zhuǎn)化成了一個帶參量c的線性規(guī)劃模型（模型二）。 當(dāng)給定參數(shù)c時，這帶參量c的線性規(guī)劃個模型就是一個一般的線性規(guī)劃模型，由此可以唯一地求解出目標(biāo)函數(shù)的最大值。所以若c作為變量，便是一個關(guān)于c的函數(shù)。如果我們求得了函數(shù)，就能夠知道：當(dāng)公司能承擔(dān)的總風(fēng)險損失率時，公司能得到的最大總平均收益率，及其應(yīng)投入各個項(xiàng)目的資金率。 這樣我們在求解模型二的同時，也將模型一的非劣解解空間給了出來，即圖1中的OA、AB段。 不同的企業(yè)，對于風(fēng)險和收益的側(cè)重不同，所以作出的決策也不同，自然得到的收益和承受的風(fēng)險也不盡相同。但無論怎樣都應(yīng)在我們給出的非劣解解空間中取值，這樣才可能實(shí)現(xiàn)“風(fēng)險盡可能小，收益盡可能大”。 針對第一組數(shù)據(jù)，我們給出了一個“通用性較強(qiáng)”的投資分配方案，即對大多數(shù)企業(yè)都合適的投資選擇方案，應(yīng)用此方案，總風(fēng)險為, 總收益可以達(dá)到；類似地，針對第二組數(shù)據(jù)，我們利用效用函數(shù)的方法也給出了一個“通用性較強(qiáng)”的投資分配方案應(yīng)用此方案，總風(fēng)險為, 總收益可以達(dá)到。 在模型評價中，我們通過分析在考慮后,模型以及解的改變程度,驗(yàn)證了對模型的改變很小,可以忽略不計(jì),從而證明了我們給出的模型的正確性、實(shí)用性。 關(guān)鍵詞 投資風(fēng)險 收益 投資方案 多目標(biāo)規(guī)劃 線性規(guī)劃 非劣解 一 問題的提出 某公司有數(shù)額為的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個時期的投資?，F(xiàn)在市場上有種資產(chǎn)（如股票、債券、…）（）供投資者選擇，公司財務(wù)分析人員對這種資產(chǎn)進(jìn)行了評估，估算出在這一時期內(nèi)購買的平均收益率為，并預(yù)測出購買的風(fēng)險損失率為。購買要付交易費(fèi)，費(fèi)率為，并且當(dāng)購買額不超過給定值時，交易費(fèi)按購買計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是,且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險。（=5%） 我們在此建立數(shù)學(xué)模型，為企業(yè)作出一種投資方案，使企業(yè)得到的收益近可能的大,與此同時要求企業(yè)承受風(fēng)險盡可能的小。 兩組數(shù)據(jù)如下： 表1：數(shù)據(jù)表1 (%) (%) (%) (元) 28 21 23 25 2.5 1.5 5.5 2.6 1 2 4.5 6.5 103 198 52 40 表2：數(shù)據(jù)表2 (%) (%) (%) (元) 9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15 42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23 2.1 3.2 6 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6 181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 二 基本假設(shè) 1. 假設(shè)總資產(chǎn)為一筆相當(dāng)大的資金。 2. 總資產(chǎn)全部用于投資項(xiàng)目或存入銀行，沒有閑置資產(chǎn)。 3. 若資產(chǎn)存進(jìn)銀行，交易費(fèi)和風(fēng)險損失率為零。 4. 若資產(chǎn)存進(jìn)銀行，平均收益率用同期銀行利率來計(jì)算。 5. 總風(fēng)險可以用所投資項(xiàng)目中最大的一個風(fēng)險損失值來度量，即。 6. 當(dāng)?shù)趥€項(xiàng)目投資額不超過時，交易費(fèi)按購買計(jì)算，且不買無須付費(fèi)；投資額不超過時，按費(fèi)率計(jì)算。 7. 我們認(rèn)為種資產(chǎn)的平均收益率，風(fēng)險損失率，交易費(fèi)率在一定時期內(nèi)都保持不變。 8. 銀行的利率也在一定時期內(nèi)保持不變。 三 符號說明 公司要投資的總資金 總共的項(xiàng)目數(shù) 時表示將資金存入銀行 第個項(xiàng)目（） 投入的資金數(shù)目（） 投入的資金數(shù)目占總資金的百分比（） 同期銀行存款利率，＝5％ 購買的平均收益率（） ,表示將資金存入銀行的風(fēng)險損失率為零 購買的風(fēng)險損失率（） ,表示將資金存入銀行要交的費(fèi)率為零 購買要交的費(fèi)率（） 當(dāng)購買額不超過給定值時，交易費(fèi)按購買計(jì)算（） 購買要交的總手續(xù)費(fèi)（） 公司能承受的最大的總風(fēng)險損失率 總收益 總平均收益率，即/ 總風(fēng)險，即各投資項(xiàng)目中最大的風(fēng)險值 總風(fēng)險損失率，即/ 項(xiàng)目要盈利的最小投入資本 四 問題分析 公司在一定時期內(nèi)的投資決策，主要由三個因素制約：第一，投資項(xiàng)目的盈利空間；第二，投資項(xiàng)目的風(fēng)險大??；第三，投資項(xiàng)目的費(fèi)用。顯然，投資的目的是為了盡可能多的盈利，這樣就希望將錢投入收益率較大的項(xiàng)目，然而，高收益往往伴隨著高風(fēng)險，如果為了多盈利而投資收益大的項(xiàng)目，往往帶來了較大的風(fēng)險，這就需要綜合評價各個項(xiàng)目的收益與風(fēng)險，從中恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行取舍找到最優(yōu)結(jié)合點(diǎn)。 以上投資問題的目標(biāo)是使風(fēng)險盡可能的小而收益盡可能的大，即達(dá)到最優(yōu)化，同時目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)又受具體項(xiàng)目風(fēng)險,費(fèi)用和獲利的制約，所以這是一個關(guān)于優(yōu)化的規(guī)劃問題， 屬于一個多目標(biāo)決策。 目標(biāo)函數(shù)有兩個：一、總收益盡可能的大；二、總風(fēng)險損失盡可能的小。如果直接給出一個評價函數(shù)，對目標(biāo)進(jìn)行求解，則由于多目標(biāo)決策求解的復(fù)雜性和不定性，求解的過程將顯得非常繁瑣而且得到的結(jié)果并不具有普適性（因?yàn)閷τ诓煌娜嘶蚯闆r，對風(fēng)險和收益的側(cè)重不同）。 所以我們可以通過對其中的一個目標(biāo)進(jìn)行限制，作為另一個目標(biāo)的約束條件，再對其進(jìn)行求解。這樣就將多目標(biāo)決策轉(zhuǎn)化為基本的單目標(biāo)決策。由于總風(fēng)險的大小是取各項(xiàng)風(fēng)險的最大值，而不是簡單的線性關(guān)系，所以為了簡化運(yùn)算，具體的，我們對總風(fēng)險損失率進(jìn)行限制（即得到公司能承受的最大總風(fēng)險損失率），作為總平均收益率求解最優(yōu)的約束條件，再對其進(jìn)行求解。 這樣我們對于每一個公司能承受的最大總風(fēng)險損失率，總有一個總平均收益率的最優(yōu)值與之相對應(yīng)。這樣便得出了總收益最優(yōu)和公司能承受的最大風(fēng)險之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)關(guān)系函數(shù)，能得到一個非劣解的可行域。然后可根據(jù)各種實(shí)際情況選擇一個適當(dāng)?shù)脑u價函數(shù)，在可行域中便可找到最優(yōu)的投資方案。這樣可使模型具有普適性，而且模型求解的過程也變得簡單而清晰。 五 模型的建立與求解 (1) 模型的建立 模型一 多目標(biāo)規(guī)劃模型 購買要付交易費(fèi)，費(fèi)率為，并且當(dāng)購買額不超過給定值時，交易費(fèi)按購買計(jì)算，且不買無須付費(fèi)。所以購買要交的總手續(xù)費(fèi)為： ， 由于要使風(fēng)險盡可能的小，且收益盡可能的大，所以得到以下多目標(biāo)規(guī)劃模型： s.t. ， 但是由于是一個分段函數(shù)，所以不易求解?？紤]到是一個相當(dāng)大的值，若對項(xiàng)目進(jìn)行投資，則投資到的資金也會很大（）。 基于以上分析，我們對模型作如下的簡化： 1)先暫時把當(dāng)作線性函數(shù)： 2)將作歸一化處理：令, , 得到的多目標(biāo)規(guī)劃模型如下： s.t. ， 為了求解此多目標(biāo)規(guī)劃模型，我們將其轉(zhuǎn)化為模型二：帶參量c的線性規(guī)劃模型。 模型二 帶參量c的線性規(guī)劃模型 由于的平均收益率小于其他項(xiàng)目的平均收益率，只要將投入的比率減小，將其他項(xiàng)目的投入比率加大（＝0的不變），收益便一定會增大。但此時風(fēng)險也相應(yīng)的增大了。 所以當(dāng)要想獲得更大的收益，必須要承擔(dān)更大的風(fēng)險。 我們假定公司能承受的最大總體風(fēng)險損失率為，即： 可以寫成：，，，。 在此約束條件下，上面的多目標(biāo)規(guī)劃模型可以轉(zhuǎn)化成帶參量的線性規(guī)劃模型，如下： s.t. ， ， ， ， ， 若給定c的值，這個模型就是一個一般的線性規(guī)劃模型，由此可以唯一地求解出目標(biāo)函數(shù)的最大值。 所以若c作為變量，便是一個關(guān)于c的函數(shù)，c>0。 由以上分析可知，如果我們求得了函數(shù)，就能夠知道：當(dāng)公司能承擔(dān)的最大總風(fēng)險損失率時，公司能得到的最大投資收益值，及其應(yīng)投入各個項(xiàng)目的資金率。 從而，多目標(biāo)規(guī)劃模型的非劣解解空間也就求解出來了。下面我們就來求函數(shù)。 (2) 模型的求解 第一組數(shù)據(jù)的求解： 為了搞清楚風(fēng)險與收益之間關(guān)系函數(shù)，我們用計(jì)算機(jī)來計(jì)算對于一組給定的總風(fēng)險損失率上限c，代入到上面的線性規(guī)劃（模型二）中去，進(jìn)而得到一組總平均收益率的最大值，然后比較這些值，從中選擇一個較符合實(shí)際的解作為最優(yōu)解。 首先，必須確定總風(fēng)險損失率（）的可能范圍。顯然最大的就是將所有的錢都投入到風(fēng)險損失率最大的項(xiàng)目中去，而最小的風(fēng)險就是將所有的錢都存入銀行中去，這時沒有風(fēng)險，即風(fēng)險為0。 所以對于第一個例子，的可能范圍是[0, 5.5%]。 為了準(zhǔn)確反映風(fēng)險與收益的關(guān)系，在0到0.055之間取100個分度，來代入到上面的線性規(guī)劃（模型二）中去，分別求解相應(yīng)的最大總平均收益率，以及最大收益時資金的分配情況。 運(yùn)用MATLAB進(jìn)行求解我們得到101組值，將部分列表（如表3）。c表示總風(fēng)險損失率的上限。 表3：總風(fēng)險損失率上限c與最大總平均收益率的關(guān)系表 （＝4） 序號 c (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) 0 0.0000 100.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5.0000 1 0.0550 91.02 2.20 3.67 1.00 2.12 6.4179 2 0.1100 82.04 4.40 7.33 2.00 4.32 7.8358 3 0.1650 73.05 6.60 11.00 3.00 6.35 9.2537 4 0.2200 64.07 8.80 14.67 4.00 8.46 10.6716 5 0.2750 55.09 11.00 18.33 5.00 10.58 12.0896 … … … … … … … … 10 0.5500 10.18 22.00 36.67 10.00 21.15 19.1791 11 0.6050 1.20 24.20 40.33 11.00 23.07 20.5970 12 0.6600 0.00 26.40 44.00 10.09 19.51 20.9640 13 0.7150 0.00 28.60 47.67 12.58 11.15 21.1693 14 0.7700 0.00 30.80 51.33 11.08 6.79 21.3747 15 0.8250 0.00 33.00 55.00 7.43 4.57 21.5800 … … … … … … … … 44 2.4200 0.00 96.80 3.20 0.00 0.00 26.7440 45 2.4750 0.00 99.00 1.00 0.00 0.00 26.9200 46 2.5300 0.00 100.00 0.00 0.00 0.00 27.0000 47 2.5850 0.00 100.00 0.00 0.00 0.00 27.0000 … … … … … … … … 99 5.4450 0.00 100.00 0.00 0.00 0.00 27.0000 100 5.5000 0.00 100.00 0.00 0.00 0.00 27.0000 從表中我們可以看到隨著c的增加，也相應(yīng)的增加，這說明風(fēng)險越大，收益也越大。而隨著收益的增加，投資由銀行逐漸向項(xiàng)目集中。 事實(shí)上當(dāng)=2.53%時，就達(dá)到了最大值，這說明實(shí)際投資的風(fēng)險最大為2.53%，如果企業(yè)對風(fēng)險的要求很低，完全可以接受2.53%的風(fēng)險損失率，那么可將所有資金都投入第一個項(xiàng)目。 然而實(shí)際上對于一個企業(yè)來說，風(fēng)險與收益是必須統(tǒng)籌兼顧的，那么既然是高風(fēng)險高回報，能不能找到一個比較好的結(jié)合點(diǎn)，使投資風(fēng)險比高一些呢？ 經(jīng)過作圖觀察，與c并不是線性關(guān)系，這里將風(fēng)險與收益的關(guān)系圖通過上面列出的101個點(diǎn)畫出，得到如下曲線： 圖1 投資風(fēng)險上限c與投資收益關(guān)系圖 （＝4） 很顯然，圖中的曲線是由三段線段組成的折線，有兩個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，分別為A(0.61,20.59)、B(2.5,27)。 根據(jù)此圖，我們可以看出： （1）在OA段，隨著公司能接受的風(fēng)險上限的增加，公司的最大收益增長很快。在A點(diǎn)處＝20.7％。 （2）在AB段，隨著公司能接受的風(fēng)險上限的增加，公司的最大收益的增長速度相對較慢。在B點(diǎn)處達(dá)到最大值27％。 （3）在BC段，隨著公司能接受的風(fēng)險上限的增加，不再增加。 也就是說，OA段、AB段上的所有點(diǎn)（不只是畫出的點(diǎn)）都是符合公司選擇要求的，即風(fēng)險盡可能小、收益盡可能大，反映在模型中，即解向量滿足以下兩個方程： 其中(,)是在OA、AB線段上的所有點(diǎn)。這樣，我們便解出了多目標(biāo)規(guī)劃模型（模型一）的非劣解解空間。 雖然OA、AB線段上的所有點(diǎn)都符合要求，但在此我們特別地給出一種投資方案。 “通用性較強(qiáng)”的投資分配方案 “通用性較強(qiáng)”的投資分配方案是指：對于不很保守、又不很貪心的決策者都能接受的方案。 從圖上明顯可以看出A點(diǎn)是“通用性較強(qiáng)”的方案。因?yàn)镺A段總平均收益率隨著可接受風(fēng)險損失率增長速度很快，之后AB段增長速度明顯放緩。 “通用性較強(qiáng)”的分配方案(A點(diǎn))如下： (%) (%) (%) (%) (%) 1.19 24.2 40.33 11.00 23.27 此時，總風(fēng)險損失率上限＝0.61％, 總平均收益率g＝20.59％。 第二組數(shù)據(jù)的求解 同樣地，我們用同上面類似的方法借助于計(jì)算機(jī)對于一組給定的總風(fēng)險損失率代入上述的線性規(guī)劃里去，對總平均收益進(jìn)行最大值求解得到。然后比較這些值，從中選擇一個較符合實(shí)際的解作為最優(yōu)解。 根據(jù)題目中的16個項(xiàng)目（包括存入銀行）的不同的風(fēng)險損失率，和問題1類似很容易得到總風(fēng)險損失率（）的取值范圍。即[0,68%]。 為了準(zhǔn)確反映風(fēng)險和收益之間的函數(shù)關(guān)系，表示公司可接受的風(fēng)險的上限，我們讓它在[0,68%]之間取100個分度，代入上述線性規(guī)劃模型，用MATLAB分別求解相應(yīng)的最大總平均收益率，以及最大收益時資金的分配情況。 同樣將得到101組值，部分列表（如表4）： 表4：總風(fēng)險損失率上限c與最大總平均收益率的關(guān)系表（＝15） 序號 c(%) () (%) 0 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5.0000 1 0.6800 0.3694 0.0126 0.0113 0.0162 0.1785 0.0174 0.0100 0.0204 0.0128 0.0170 0.0219 0.1236 0.0148 0.1283 0.0296 0.0162 5.4009 2 1.3600 0.0174 0.0324 0.0252 0.0227 0.0324 0.0784 0.0349 0.0200 0.0407 0.0255 0.0340 0.0439 0.2473 0.0296 0.2566 0.0591 10.3019 3 2.0400 0.0000 0.0486 0.0378 0.0340 0.0486 0.0000 0.0523 0.0300 0.0611 0.0383 0.0510 0.0658 0.0147 0.0443 0.3849 0.0887 14.2053 4 2.7200 0.0000 0.0648 0.0504 0.0453 0.0648 0.0000 0.0697 0.0400 0.0814 0.0510 0.0680 0.0877 0.0000 0.0591 0.1994 0.1183 17.3384 5 3.4000 0.0000 0.0810 0.0630 0.0567 0.0810 0.0000 0.0872 0.0500 0.1018 0.0638 0.0850 0.1090 0.0000 0.0739 0.0000 0.1478 20.4467 … … … 10 6.8000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1133 0.1377 0.0000 0.0000 0.1000 0.2036 0.1276 0.1700 0.0000 0.0000 0.1478 0.0000 0.0000 31.7134 11 7.4800 0.0000 0.0000 0.0000 0.1247 0.0514 0.0000 0.0000 0.1100 0.2240 0.1403 0.1870 0.0000 0.0000 0.1626 0.0000 0.0000 32.6447 12 8.1600 0.0000 0.0000 0.0000 0.1360 0.0000 0.0000 0.0000 0.1200 0.2095 0.1531 0.2040 0.0000 0.0000 0.1774 0.0000 0.0000 33.3777 13 8.8400 0.0000 0.0000 0.0000 0.1473 0.0000 0.0000 0.0000 0.1300 0.1436 0.1659 0.2210 0.0000 0.0000 0.1922 0.0000 0.0000 33.8175 14 9.5200 0.0000 0.0000 0.0000 0.1587 0.0000 0.0000 0.0000 0.1400 0.0778 0.1786 0.2380 0.0000 0.0000 0.2070 0.0000 0.0000 34.2573 15 10.2000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1700 0.0000 0.0000 0.0000 0.1500 0.0119 0.1914 0.2550 0.0000 0.0000 0.2217 0.0000 0.0000 34.6971 … … … 44 29.9200 0.0000 0.0000 0.0000 0.4987 0.0000 0.0000 0.0000 0.4400 0.0000 0.0000 0.0613 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 39.1653 45 30.6000 0.0000 0.0000 0.0000 0.5100 0.0000 0.0000 0.0000 0.4500 0.0000 0.0000 0.0400 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 39.2850 46 31.2800 0.0000 0.0000 0.0000 0.5213 0.0000 0.0000 0.0000 0.4600 0.0000 0.0000 0.0187 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 39.4047 47 31.9600 0.0000 0.0000 0.0000 0.5327 0.0000 0.0000 0.0000 0.4673 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 39.5211 … … … 99 67.3200 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 43.4000 100 68.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 43.4000 根據(jù)表2中列出的c和的101組對應(yīng)值可畫出關(guān)于c的函數(shù)圖像。如圖2所示： 圖2 投資風(fēng)險上限c與投資收益關(guān)系圖（＝15） 圖2和圖1對比分析可看出，收益率的最優(yōu)值仍舊隨著允許風(fēng)險損失率的增加而增加，仍舊不是線性函數(shù)，但是增加的趨勢有所不同。 圖1中的曲線基本上由三條折線段組成，隨的變化率變化比較明顯。而圖2中的曲線隨的變化率變化的相對平坦。只有在點(diǎn)(68，43.4)處隨的變化的斜率突然減小。 和圖1一樣，由圖2可得到投資問題的非劣解空間，即所有滿足以下方程的解向量： 其中，(,)是圖2中點(diǎn)O(0,5)到點(diǎn)C(68,43.4)之間的所有的點(diǎn)（不只是畫出的點(diǎn)）。 具體分析因?yàn)樵贑點(diǎn)以后，隨著允許風(fēng)險損失率上限的進(jìn)一步提高，最大收益已經(jīng)不再提高而保持不變。所以在C點(diǎn)以后的點(diǎn)均為劣解，而從點(diǎn)O(0,5)到點(diǎn)C(68,43.4)之間均在不同程度上滿足不同情況的公司。對比較注重風(fēng)險的公司可把投資點(diǎn)選在O點(diǎn)的附近，因?yàn)镺點(diǎn)附近的允許風(fēng)險損失率上限比較低；而偏重收益的公司可以把投資點(diǎn)選在C點(diǎn)附近，因?yàn)镃點(diǎn)附近的收益率較高。但是，任何一種選擇必然不能即獲得風(fēng)險的最低值，又獲得收益率的最高值。而這一點(diǎn)也恰恰符合了實(shí)際情況：高收益必然伴隨著高風(fēng)險。 “通用性較強(qiáng)”的投資分配方案： 同樣地，作為一個實(shí)際的企業(yè)，必然要求風(fēng)險與收益統(tǒng)籌兼顧，不能極端地偏向任何一端，所以我們用類似與求解第一組數(shù)據(jù)的方法來求解上述數(shù)據(jù)。 在第一組數(shù)據(jù)的風(fēng)險投資圖中，可以明顯的看出隨增長率的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，而在上述這組數(shù)據(jù)圖中隨增長率沒有明顯的變化。所以并不能夠完全的照搬上面的做法來作出決策。 由此，我們定義： ; 其中和分別表示和的效用函數(shù)，我們利用這兩個效用函數(shù)作出風(fēng)險損失率上限率和最佳收益率的效用函數(shù)曲線（如下圖所示）在O點(diǎn)和C點(diǎn)之間（因?yàn)樵贑點(diǎn)以后不再隨著增加而增加）。由上式可以看出和分別是把兩個目標(biāo)函數(shù)從最低值到最高值之間看為單位1，而和是在區(qū)間[0,1]之間取值（即通過歸一化而得出的結(jié)果）。這樣函數(shù)上的點(diǎn)就有了實(shí)際的意義，其橫縱坐標(biāo)分別表示決策所占整個目標(biāo)值的權(quán)重。 我們由上述歸一化的結(jié)果而得到的效用函數(shù)曲線，觀察可得到在靠近O點(diǎn)的附近點(diǎn)增長的比增長的要快，在C點(diǎn)的附近增長的比增長的要慢。從投資的實(shí)際情況來解釋就是在O點(diǎn)附近承受的風(fēng)險上限增加一點(diǎn)，就可以換得較高的收益增長，而在C點(diǎn)附近承受的風(fēng)險上限增加許多，確只能換來較低的收益增長。作為一個風(fēng)險與收益統(tǒng)籌兼顧的實(shí)際公司，可以把增長率和增長率相等的點(diǎn)作為決策點(diǎn)，即： 因?yàn)檫@一點(diǎn)是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這點(diǎn)以前增長得相對較快，只需增加較少的風(fēng)險便能夠獲得較大的收益增加；而這點(diǎn)以后增長得相對較慢，需增加較大的風(fēng)險，才能增加較小的收益。 具體的，我們可以做一簇斜率＝1的直線，則必有一條（即圖中的45度切線）與效用曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為A,則A點(diǎn)即為所求的通用性較為強(qiáng)的決策點(diǎn)。 ＝0.1685；＝0.7734 從中可解出＝34.70％，＝10.20％。 而相對應(yīng)的投資分配方案如下表所示： (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) 0.0000 0.0000 0.0000 17.00 0.0000 0.0000 0.0000 15.00 (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) (%) 1.190 19.14 25.50 0.0000 0.0000 22.17 0.0000 0.0000 風(fēng)險損失率為＝10.20％；收益率為＝34.70％。 圖3 風(fēng)險上限與最佳收益的效用曲線 六 模型的改進(jìn) 在第一個模型中為了使模型簡化，我們將費(fèi)用近似的看成一個對的線性關(guān)系，那么這樣的假設(shè)是否合理，對結(jié)果的影響有多大呢？ 首先，對于第一種情況下的四種投資，如果考慮的影響，那么當(dāng)時，收費(fèi)將按的費(fèi)用收取，這相對于模型中的線性關(guān)系實(shí)際上是增加了收費(fèi)。按最壞的情況考慮，假定公司對每種投資都有涉足，而投入的金額無限小，那么我們可以算出相對于費(fèi)用與投入的線性模型，考慮后至多會增加多少費(fèi)用： 由于增加了多收費(fèi)的限制，顯然對于某一給定的風(fēng)險損失率，收益的最大值’不可能比多目標(biāo)規(guī)劃模型(模型一)中的大，同時由于多目標(biāo)規(guī)劃模型的非劣解解空間已經(jīng)存在，將其帶入考慮后的模型中，得到的收益’至少應(yīng)為－11.23，那么’應(yīng)該在至－11.23之間取值。 其次， 由題目給定的條件，公司有數(shù)額為的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個時期的投資，那么根據(jù)常識判斷，至少應(yīng)在10000元以上，即使將這些錢全部存入銀行，也有5％的利率，從而獲得收益500元，-11.23與 之比： 顯然這個比例非常接近于1，也就是說考慮的影響后，最優(yōu)解與風(fēng)險損失率的關(guān)系與線性模型中的仍保持相當(dāng)?shù)囊恢拢梢哉f在線性模型中評價的最優(yōu)解，在考慮的影響后的模型中仍可認(rèn)為是最優(yōu)解。 另外，在考慮的影響后，會出現(xiàn)這樣一種情況，即當(dāng)對某一項(xiàng)投資小到一定程度時，會出現(xiàn)只要投資就必然虧本的問題。例如對第三個項(xiàng)目只投資5元，那么必須交納52*4.5＝2.34（元）的費(fèi)用，而這個項(xiàng)目預(yù)期只能獲得5*0.25＝1.25（元）的利潤，實(shí)際上虧損了2.34-1.25＝1.09（元），而只要將這些錢存入銀行，那么既沒有風(fēng)險，又可獲利5*0.05＝0.25元。 從這一點(diǎn)出發(fā)，我們的模型需要作進(jìn)一步的改進(jìn)。首先，要求出每一個項(xiàng)目要盈利的最小投入值。 因?yàn)?，所以? 求得的如下： 4.48 24.75 13.00 13.00 對原MATLAB的程序進(jìn)行修改，使當(dāng)對某個項(xiàng)目的投資額小于最小值時，該項(xiàng)目的投資自動收回，并存入銀行。經(jīng)過上面的改動后，運(yùn)行程序，求出了一組新的最大收益值，對比以前的值，取其增量，繪制成圖2如下： 圖4 考慮的影響后利潤的差值圖 由此圖我們可以看到，雖然對模型進(jìn)行了修正，但實(shí)際上收益值基本不變，即使是最大的增加值，也只有0.000375％。這表明原模型經(jīng)修正后，結(jié)果變化極小，完全可以忽略，同時也從另一方面證明了的影響極小，可以根據(jù)以上的模型求解。 七 模型的評價 本模型的建立，是為了解決現(xiàn)實(shí)生活中的投資問題。公司以盈利為目的，希望將一定的資金用來投資，來得到較高的回報。這就涉及到投資項(xiàng)目的選擇問題。 一方面，投資的利潤越高越好，一方面，又希望投資的風(fēng)險不能太大，來保證投資的成果。然而由于市場的成熟和完善，實(shí)際的投資項(xiàng)目往往并不是利潤又高，而風(fēng)險又小的，高收益往往伴隨著高風(fēng)險，若要追求低風(fēng)險，那么投資的回報必不會很高。 為了表示這種風(fēng)險與收益之間的矛盾關(guān)系，我們在建立數(shù)學(xué)模型時，引入了多目標(biāo)規(guī)劃，通過兩個目標(biāo)函數(shù)，客觀的反映了現(xiàn)實(shí)中的需求情況。同時，在實(shí)際投資過程中，往往并不僅僅是投資與風(fēng)險那么簡單，其中還涉及到費(fèi)用的問題，而費(fèi)用往往有一個最低限的問題，在模型中，我們用一個分段函數(shù)來表征這一現(xiàn)象?？偟膩碚f，最開始的模型的建立是比較符合投資的實(shí)際的。然而它比較復(fù)雜，由于費(fèi)用的非線性，就不能用一般解多目標(biāo)規(guī)劃的方法，這給求解帶來很大的困難。 為了能使模型求解，我們經(jīng)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，如果將費(fèi)用的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)換為簡單的線性關(guān)系，簡化后的模型幾乎與原模型保持一致，這樣問題的中心就轉(zhuǎn)化為對線性模型的求解。該模型是一個線性的多目標(biāo)規(guī)劃問題，對這類問題的求解必然牽涉到對風(fēng)險與收益的評價問題，也即是風(fēng)險與收益孰輕孰重的問題。然而對于實(shí)際的投資，不同人對這個問題的看法往往不同，甚至大相徑庭。例如有的人會為利潤鋌而走險，而有些人則不愿冒險，寧愿把所有錢存入銀行中去。 針對這個問題，如果能找出風(fēng)險與收益之間具體的關(guān)系，得到其非劣解的分布，那么無疑方便我們作出投資決策。這樣，我們對風(fēng)險的最大值給出一組限定值，作為條件，而將收益作為目標(biāo)函數(shù)，得到標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃，用計(jì)算機(jī)求解，畫圖，從而得到風(fēng)險與收益的直觀圖像。最后我們根據(jù)一般的經(jīng)驗(yàn)，取利潤增長最快，同時利潤最大的點(diǎn)作為給出的投資方案。整個模型基本符合實(shí)際的投資情況，能較全面的反映投資中各各因素的關(guān)系，同時該模型又可解，可以得到一個比較好的投資方案，這樣也就比較全面，完善的解決了題目中所要求的投資問題。 參考文獻(xiàn) [1] 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