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1、
新編人教版精品教學資料
課時提升作業(yè)(二十四)
圓的標準方程
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.若一圓的標準方程為(x-1)2+(y+5)2=3,則此圓的圓心和半徑分別為 ( )
A.(-1,5), B.(1,-5),
C.(-1,5),3 D.(1,-5),3
【解析】選B.由圓的標準方程可知,圓心為(1,-5),半徑為.
【補償訓練】以(2,-1)為圓心,4為半徑的圓的方程為 ( )
A.(x+2)2+(y-1)2=4
B.(x+2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y+1)2=16
D.(x-2
2、)2+(y-1)2=16
【解析】選C.由題意知圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=16.
2.(2015·北京高考)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是 ( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
【解析】選D.半徑r==,所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.
3.(2015·寧波高一檢測)點與圓x2+y2=的位置關系是 ( )
A.在圓上 B.在圓內
C.在圓外 D.不能確定
【解析】選C.將點的坐標代入圓方程,得+=
3、1>,所以點在圓外.
【補償訓練】已知以點A(2,-3)為圓心,半徑長等于5的圓,則點M(5,-7)與圓的位置關系是 ( )
A.在圓內 B.在圓上
C.在圓外 D.無法判斷
【解析】選B.點M(5,-7)到圓心A(2,-3)的距離為5,恰好等于半徑長,故點在圓上.
4.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程是 ( )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
【解析】選A.設圓心坐標(0,b),則由=1解得b=2,則圓的方程為x2+(y-2)2=1.
【延伸
4、探究】若將本題中的“過點(1,2)”改為“過點(-1,2)”,其他不變,又如何求解?
【解析】設圓心坐標(0,b),則由=1解得b=2,則圓的方程為x2+(y-2)2=1.
5.若圓C與圓(x+2)2+(y-1)2=1關于原點對稱,則圓C的方程是 ( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y+2)2=1
D.(x+1)2+(y-2)2=1
【解析】選A.圓心(-2,1)關于原點的對稱點為C(2,-1),半徑相等為r=1,所以圓C的方程是(x-2)2+(y+1)2=1.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.圓(x-
5、3)2+(y+2)2=13的周長是 .
【解析】由圓的標準方程可知,其半徑為,周長為2π.
答案:2π
7.(2015·蘇州高一檢測)已知點P(1,-5),則該點與圓x2+y2=25的位置關系是 .
【解析】由于12+(-5)2=26>25,故點P(1,-5)在圓的外部.
答案:在圓的外部
【補償訓練】若原點在圓(x-1)2+(y+2)2=m的內部,則實數(shù)m的取值范圍是 .
【解析】依題意,得1+45.
答案:m>5
8.(2015·萍鄉(xiāng)高一檢測)當a為任意實數(shù)時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C,則以C為圓心,為半徑的圓
6、的方程是 .
【解題指南】先將直線方程整理為(x+1)a-(x+y-1)=0,從而求出定點的坐標,又知該圓的半徑為,從而寫出圓的標準方程.
【解析】將直線方程整理為:(x+1)a-(x+y-1)=0,不論a取何實數(shù),當x+1=0,即x=-1時,則有x+y-1=0,即-1+y-1=0,所以y=2,故直線(a-1)x-y+a+1=0不論a為何實數(shù),恒過定點C(-1,2),則以C(-1,2)為圓心,為半徑的圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5.
答案:(x+1)2+(y-2)2=5
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.求圓(x+2)2+(y-6)2=1關于直線3
7、x-4y+5=0的對稱圖形的方程.
【解題指南】利用中點坐標公式以及斜率公式,先求出圓(x+2)2+(y-6)2=1的圓心關于直線對稱的對稱點的坐標,圓的半徑不變,寫出圓的標準方程.
【解析】設所求圓的圓心坐標為(a,b),則有解得a=4,b=-2.
故圓的方程為(x-4)2+(y+2)2=1.
【補償訓練】圓(x-3)2+(y-1)2=2關于原點O(0,0)對稱的圓的方程為 .
【解題指南】結合圖形,關于原點對稱的圓的圓心關于原點對稱,半徑不變,由此求對稱圓的方程.
【解析】圓(x-3)2+(y-1)2=2的圓心為(3,1),其關于原點對稱點坐標是(-3,-1)
8、,圓的半徑為,故所求對稱圓的方程為(x+3)2+(y+1)2=2.
答案:(x+3)2+(y+1)2=2
10.(2015·順德高一檢測)求下列圓的方程:
(1)已知點A(-4,-5),B(6,-1),以線段AB為直徑的圓的方程.
(2)過兩點C(-1,1)和D(1,3),圓心在x軸上的圓的標準方程.
【解析】(1)AB的中點坐標即為圓心坐標C(1,-3),又圓的半徑r==
===.
所以所求圓的方程為(x-1)2+(y+3)2=29.
(2)直線CD的斜率kCD==1,線段CD中點E的坐標為(0,2),故線段CD的垂直平分線的方程為y-2=-x,即y=-x+2,令y=0,得x
9、=2,即圓心為(2,0).由兩點間的距離公式,得r==.所以所求圓的標準方程為(x-2)2+y2=10.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.若圓心在x軸上,半徑為的圓C位于y軸左側,且與直線x+2y=0相切,則圓C的方程是 ( )
A.(x-)2+y2=5
B.(x+)2+y2=5
C.(x-5)2+y2=5
D.(x+5)2+y2=5
【解析】選D.如圖所示,設圓心C(a,0),則圓心C到直線x+2y=0的距離為=,解得a=-5,a=5(舍去),所以圓心是(-5,0).
即圓C的方程是(x+5)2+y2=5.
【補償訓練】已知A(4,3),B
10、(1,6),則以線段AB為直徑的圓的方程為 ( )
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
【解析】選B.AB的中點為,|AB|===3,所以圓的半徑為r=,則所求的圓的方程為+=.
2.(2015·紹興高一檢測)方程y=表示的曲線是 ( )
A.一個圓 B.兩條射線
C.半個圓 D.一條射線
【解析】選C.由方程y=可化為x2+y2=36(y≥0),所以方程y=表示圓x2+y2=36位于x軸及其上方的部分是半個圓.
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2015·太原高一檢測)若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該
11、圓的標準方程是 .
【解題指南】依據(jù)條件確定圓心縱坐標為1,又已知半徑是1,通過與直線4x-3y=0相切,圓心到直線的距離等于半徑求出圓心橫坐標,寫出圓的標準方程.
【解析】因為圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,
所以半徑是1,圓心的縱坐標也是1,設圓心坐標為(a,1),
則1=,又a>0,所以a=2,
所以該圓的標準方程是(x-2)2+(y-1)2=1.
答案:(x-2)2+(y-1)2=1
【補償訓練】圓心為直線x-y+2=0與直線2x+y-8=0的交點,且過原點的圓的標準方程是 .
【解析】由可得即圓心為
12、(2,4).
又r==2,故圓的標準方程為(x-2)2+(y-4)2=20.
答案:(x-2)2+(y-4)2=20
4.(2015·淮南高一檢測)圓C:(x-1)2+(y+2)2=4,點P(x0,y0)在圓C內部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,則d的取值范圍是 .
【解析】因為點P在圓C內部,所以(x0-1)2+(y0+2)2<4,所以0≤d<4.
答案:0≤d<4
【補償訓練】圓C:(x-1)2+(y+2)2=d2,若點P(2,0)在圓外,則d的取值范圍是什么?
【解析】由于點P在圓外,故(2-1)2+(0+2)2>d2,即d2<5,故0
13、每小題10分,共20分)
5.已知圓C的標準方程為(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若點M(6,9)在圓上,求半徑a.
(2)若點P(3,3)與Q(5,3)有一點在圓內,另一點在圓外,求a的取值范圍.
【解析】(1)因為點M(6,9)在圓上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10,又a>0,所以a=.
(2)因為==,==3,
>,故點P在圓外,點Q在圓內,所以3
14、x-1)2+y2=1上運動,
即S表示圓上的動點到定點(-1,1)的距離.如圖所示:
顯然當定點(-1,1)和圓心(1,0)共線時取到最值,且最小值為-1=-1.
所以S=的最小值為-1.
【補償訓練】圓過點A(1,-2),B(-1,4),求
(1)周長最小的圓的方程.
(2)圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程.
【解析】(1)當AB為直徑時,過A,B的圓的半徑最小,從而周長最小.即AB中點(0,1)為圓心,半徑r=|AB|=.則圓的方程為:x2+(y-1)2=10.
(2)由于AB的斜率為k=-3,則AB的垂直平分線的方程是y-1=x.即x-3y+3=0,
由解得,即圓心坐標是C(3,2).又因為r===2.
所以圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
【一題多解】
(2)設圓的方程為:(x-a)2+(y-b)2=r2,
則解得
所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=20.
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【人教A版】新編高中數(shù)學必修二：全冊作業(yè)與測評 課時提升作業(yè)(二十四)4.1.1
