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1、新編人教版精品教學資料
章末檢測(三) 不等式
時間:120分鐘 滿分:150分
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.不等式(x+3)2<1的解集是( )
A.{x|x>-2} B.{x|x<-4}
C.{x|-4b,則下列不等式一定成立的是( )
A.a+c≥b+c B.ac>bc
C.>0 D.≥0
解析:∵a>b,∴a-b>0,c2
2、≥0
∴≥0.
答案:D
3.設M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),則有( )
A.M>N B.M ≥N
C.M0,所以M>N,故選A.
答案:A
4.已知關于x的不等式mx2+8mx+28<0的解集為{x|-70,
所以∴m=4.
答案:D
3、
5.設x,y為正數,則(x+y)的最小值為( )
A.6 B.9
C.12 D.15
解析:x,y為正數,(x+y)=1+4++≥9,當且僅當y=2x等號成立,選B.
答案:B
6.若x,y滿足約束條件則z=x-y的最小值是( )
A.-3 B.0
C. D.3
解析:可行域為如圖所示的陰影部分,可知z=x-y在點A(0,3)處取得最小值,∴z最小值=-3.
答案:A
7.不等式組的解集為( )
A.[-4,-3] B.[-4,-2]
C.[-3,-2] D.?
解析:?
??-4≤x≤-3.
答案:A
8.已知實數x,y滿足x2+y2=
4、1,則(1-xy)(1+xy)有( )
A.最小值和最大值1
B.最小值和最大值1
C.最小值和最大值
D.最小值1
解析:∵x2y2≤2=,當且僅當x2=y(tǒng)2=時,等號成立,∴(1-xy)(1+xy)=1-x2y2≥.∴x2y2≥0,∴≤1-x2y2≤1.
答案:B
9.若關于x的不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4內有解,則實數a的取值范圍是( )
A.a≤-4 B.a≥-4
C.a≥-12 D.a≤-12
解析:令y=2x2-8x-4(1≤x≤4),則y=2x2-8x-4在x=4時取得最大值-4,∴當a≤-4時,2x2-8x-4≥a在1≤x≤4內有解.
5、
答案:A
10.設a、b是實數,且a+b=3,則2a+2b的最小值是( )
A.6 B.4
C.2 D.8
解析:∵a,b是實數,
∴2a>0,2b>0,
于是2a+2b≥2=2=2=4,當且僅當a=b=時取得最小值4.
答案:B
11.某農戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表:
年產量/畝
年種植成本/畝
每噸售價
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.55萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植
6、面積(單位:畝)分別為( )
A.50,0 B.30,20
C.20,30 D.0,50
解析:設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元,則目標函數為z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.
線性約束條件為即
作出不等式組
表示的可行域如圖,易求得點A(0,50),B(30,20),C(45,0).
平移直線x+0.9y=0,可知當直線經過點B(30,20),即x=30,y=20時,z取得最大值,且zmax=48.故選B.
答案:B
12.設變量x,y滿足約束條件若目標函數z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40
7、,則+的最小值為( )
A. B.
C.1 D.4
解析:作出可行域如圖陰影部分所示(不包括坐標軸邊界上的點).
由z=ax+by得y=-x+z.因為a>0,b>0,所以-<0,作直線l0:y=-x并向上平移,數形結合知,當l0平移至過點A時z取得最大值.由得點A的坐標為(8,10),
即zmax=8a+10b=40,得+=1,于是=+≥+2=.
∴min=.
答案:B
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中的橫線上)
13.函數y=2-x-(x>0)的值域為________.
解析:當x>0時,y=2-≤2-2=-2.
當且僅當x=,
8、x=2時取等號.
答案:(-∞,-2]
14.不等式≤3的解集為________.
解析:≤3?≤0,
即≥0,
∴x<0或x≥.
答案:(-∞,0)∪[,+∞)
15.已知不等式x2-ax-b<0的解集為(2,3),則不等式bx2-ax-1>0的解集為________.
解析:方程x2-ax-b=0的根為2,3.
根據韋達定理得:a=5,b=-6,
所以不等式為6x2+5x+1<0,解得解集為.
答案:
16. 設D是不等式組表示的平面區(qū)域,則D中的點P(x,y)到直線x+y=10的距離的最大值是________.
解析:畫出可行域,由圖知最優(yōu)解為A(1,1),故A
9、到x+y=10的距離為d=4.
答案:4
三、解答題(本大題共有6小題,共74分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(12分)已知f(x)=x2+2x+2a-a2,若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍.
解析:設g(x)=x2+2x.
因為f(x)>0,所以x2+2x>a2-2a.
只要使g(x)在[1,+∞)上的最小值大于a2-2a即可.
因為g(x)=x2+2x在[1,+∞)上單調遞增,
所以g(x)min=g(1)=3.
所以a2-2a<3,解此一元二次不等式,得-1
10、.(12分)已知f(x)=x2-(a+)x+1,
(1)當a=時,解不等式f(x)≤0;
(2)若a>0,解關于x的不等式f(x)≤0.
解析:(1)當a=時,有不等式f(x)=x2-x+1≤0,
∴(x-)(x-2)≤0,
∴不等式的解集為{x|≤x≤2}.
(2)∵不等式f(x)=(x-)(x-a)≤0,
當0<a<1時,有>a,
不等式的解集為{x|a≤x≤};
當a>1時,有<a,不等式的解集為{x|≤x≤a};
當a=1時,不等式的解集為{x|x=1}.
19.(12分)一個農民有田2畝,根據他的經驗,若種水稻,則每畝每期產量為400千克;若種花生,則每畝每期產
11、量為100千克,但水稻成本較高,每畝每期需240元,而花生只要80元,且花生每千克可賣5元,稻米每千克只賣3元,現在他只能湊足400元,問這位農民對兩種作物各種多少畝,才能得到最大利潤?
解析:設水稻種x畝,花生種y畝,則由題意得
即
畫出可行域如圖陰影部分所示.
而利潤P=(3×400-240)x+(5×100-80)y
=960x+420y(目標函數),
可聯立得交點B(1.5,0.5).
故當x=1.5,y=0.5時,
P最大值=960×1.5+420×0.5=1 650,
即水稻種1.5畝,花生種0.5畝時所得到的利潤最大.
20.(12分)已知關于x的不等式k
12、x2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集是R,求k的取值范圍.
解析:(1)因為不等式的解集為{x|x<-3或x>-2},所以-3,-2是方程kx2-2x+6k=0的兩根且k<0.
由根與系數的關系得解得k=-.
(2)因為不等式的解集為R,
所以
即
所以k<-.
即k的取值范圍是.
21.(13分)某外商到一開發(fā)區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠,第一年各種經費12萬美元,以后每年增加4萬美元,每年銷售蔬菜收入50萬美元.設f(n)表示前n年的純利潤總和.
(注:f(n)=前n年的總收入-前n
13、年的總支出-投資額)
(1)從第幾年開始獲利?
(2)若干年后,外商為開發(fā)新項目,有兩種處理方案:
①年平均利潤最大時,以48萬美元出售該廠;
②純利潤總和最大時,以16萬美元出售該廠.
問哪種方案最合算?為什么?
解析:由題意知,每年的經費是以12為首項,4為公差的等差數列,則f(n)=50n--72=-2n2+40n-72.
(1)獲利就是要求f(n)>0,所以-2n2+40n-72>0,
解得2
14、f(n)=-2(n-10)2+128.
當n=10時,f(n)max=128.
故第②種方案共獲利128+16=144(萬美元).
故比較兩種方案,獲利都是144萬美元.
但第①種方案只需6年,而第②種方案需10年,故選擇第①種方案.
22.(13分)設函數f(x)=x+,x∈[0,+∞).
(1)當a=2時,求函數f(x)的最小值;
(2)當00,>0,
∴x+1+≥2.
當且僅當x+1=,即x=-1時,f(x)取最小值.
此時,f(x)min=2-1.
(2)當0x2≥0,則
f(x1)-f(x2)=x1+-x2-
=(x1-x2),
∵x1>x2≥0,
∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1.
∴(x1+1)(x2+1)>1,而00,
∴f(x)在[0,+∞)上單調遞增,
∴f(x)min=f(0)=a.