精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修44教學(xué)案： 第一講 第2節(jié) 極坐標(biāo)系 Word版含答案

最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料核心必知1極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系(2)點的極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為有序數(shù)對(，)叫做點M的極坐標(biāo)，記作M(，)一般地，不作特殊說明時，我們認為0，可取任意實數(shù)2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1)互化的前提條件極坐標(biāo)系中的極點與直角坐標(biāo)系中的原點重合；極軸與x軸的正半軸重合；兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位(2)互化公式問題思考1平面上的點與這一點的極坐標(biāo)是一一對應(yīng)的嗎？為什么？提示：不是在極坐標(biāo)系中，與給定的極坐標(biāo)(，)相對應(yīng)的點是唯一確定的；反過來，同一個點的極坐標(biāo)卻可以有無窮多個如一點的極坐標(biāo)是(，)(0)，那么這一點也可以表示為(，2n)或(，(2n1)(其中nZ)2若>0，0<2，則除極點外，點M(，)與平面內(nèi)的點之間是否是一一對應(yīng)的？提示：如果我們規(guī)定0，02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(，)來表示，這時，極坐標(biāo)與平面內(nèi)的點之間就是一一對應(yīng)的關(guān)系3若點M的極坐標(biāo)為(，)，則M點關(guān)于極點、極軸、過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標(biāo)是什么？提示：設(shè)點M的極坐標(biāo)是(，)，則M點關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)是(，)或(，)；M點關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)是(，)；M點關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標(biāo)是(，)或(，)已知定點P.(1)將極點移至O處極軸方向不變，求P點的新坐標(biāo)；(2)極點不變，將極軸順時針轉(zhuǎn)動角，求P點的新坐標(biāo)精講詳析本題考查極坐標(biāo)系的建立及極坐標(biāo)的求法解答本題需要根據(jù)題意要求建立正確的極坐標(biāo)系，然后求相應(yīng)的點的極坐標(biāo)(1)設(shè)P點新坐標(biāo)為(，)，如圖所示，由題意可知|OO|2，|OP|4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)22·4·2·cos 1612244，2.即|OP|2.|OP|2|OO|2|OP|2，OOP.OPO.OPP.PPx.POx.P點的新坐標(biāo)為(2，)(2)如圖，設(shè)P點新坐標(biāo)為(，)， 則4，.P點的新坐標(biāo)為(4，)建立極坐標(biāo)系的要素是(1)極點；(2)極軸；(3)長度單位；(4)角度單位和它的正方向四者缺一不可極軸是以極點為端點的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的；極角的始邊是極軸，它的終邊隨著的大小和正負而取得各個位置；的正方向通常取逆時針方向，的值一般是以弧度為單位的量數(shù)；點M的極徑表示點M與極點O的距離|OM|，因此0；但必要時，允許0.1邊長為a的正六邊形的一個頂點為極點，極軸通過它的一邊，求正六邊形各頂點坐標(biāo)解：由點的極坐標(biāo)的定義可知，正六邊形各頂點的極坐標(biāo)分別為：(0，0)、(a，0)、(a，)、(2a，)、(a，)、(a，)或(0，0)、(a，0)、(a，)、(2a，)、(a，)、(a，)若以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系(1)已知點A的極坐標(biāo)，求它的直角坐標(biāo)；(2)已知點B和點C的直角坐標(biāo)為(2，2)和(0，15)，求它們的極坐標(biāo)(0，02)精講詳析本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化解答此題只需將已知條件代入相關(guān)公式即可(1)xcos 4·cos 2.ysin 4sin 2.A點的直角坐標(biāo)為(2，2)(2)2，tan 1.且點B位于第四象限內(nèi)，.點B的極坐標(biāo)為(2，)又x0，y0，15，點C的極坐標(biāo)為(15，)(1)將極坐標(biāo)(，)化為直角坐標(biāo)(x，y)的公式是：xcos ，ysin ；(2)將直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(，)的公式是：2x2y2，tan (x0)，在利用此公式時要注意和的取值范圍2(1)把點M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；(2)把點P的直角坐標(biāo)(，)化成極坐標(biāo)(0，02)解：(1)x8cos 4，y8sin 4，因此，點M的直角坐標(biāo)是(4，4)(2)2，tan ，又因為點在第四象限，得.因此，點P的極坐標(biāo)為(2，)在極坐標(biāo)系中，已知A，B，求A、B兩點之間的距離精講詳析本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、極坐標(biāo)系中兩點間的距離公式解答此題可直接利用極坐標(biāo)系中兩點間的距離公式求解，也可以先將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式求解法一：由A(3，)、B(1，)在過極點O的一條直線上，這時A、B兩點的距離為|AB|314，所以，A、B兩點間的距離為4.法二：13，21，1，2，由兩點間的距離公式得|AB| 4.法三：將A(3，)，B(1，)由極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，對于A(3，)有x3cos ()，y3sin()，A(，)對于B(1，)有x1×cos ，y1×sin ，B(，)|AB| 4.AB兩點間的距離為4.對于這類問題的解決方法，可以直接用極坐標(biāo)內(nèi)兩點間的距離公式d求得；也可以把A、B兩點由極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，利用直角坐標(biāo)中兩點間的距離公式d求得；極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化體現(xiàn)了化歸的解題思想；還可以考慮其對稱性，根據(jù)對稱性求得3在極坐標(biāo)系中，如果等邊三角形的兩個頂點是A，B，則求第三個頂點C的坐標(biāo)解：由題設(shè)知，A、B兩點關(guān)于極點O對稱，又|AB|4，由正三角形的性質(zhì)知，|CO|2，AOC，從而C的極坐標(biāo)為(2，)或(2，)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化在高考模擬中經(jīng)常出現(xiàn)本考題將極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化同極坐標(biāo)系中兩點間的距離和簡單的三角恒等變換相結(jié)合考查，是高考模擬命題的一個新亮點考題印證已知極坐標(biāo)系中，極點為O，將點A(4，)繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點B，且|OA|OB|，則點B的直角坐標(biāo)為_命題立意本題主要考查點的極坐標(biāo)的求法以及直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化解析依題意，點B的極坐標(biāo)為(4，)，cos cos ()cos cos sin ·sin ··，sin sin ()sin cos cos ·sin ··，xcos 4×，ysin .點B的直角坐標(biāo)為(，)答案(，)一、選擇題1在極坐標(biāo)系中，點M的位置，可按如下規(guī)則確定()A作射線OP，使xOP，再在射線OP上取點M，使|OM|2B作射線OP，使xOP，再在射線OP上取點M，使|OM|2C作射線OP，使xOP，再在射線OP的反向延長線上取點M，使|OM|2D作射線OP，使xOP，再在射線OP上取點M，使|OM|2解析：選B當(dāng)0時，點M(，)的位置按下列規(guī)定確定：作射線OP，使xOP，在OP的反向延長線上取|OM|，則點M就是坐標(biāo)(，)的點2在極坐標(biāo)平面內(nèi)，點M，N，G，H中互相重合的兩個點是()AM和NBM和GCM和HDN和H解析：選A由極坐標(biāo)定義可知，M、N表示同一個點3若120，12，則點M1(1，1)與點M2(2，2)的位置關(guān)系是()A關(guān)于極軸所在直線對稱B關(guān)于極點對稱C關(guān)于過極點垂直于極軸的直線對稱D兩點重合解析：選A因為點(，)關(guān)于極軸所在直線對稱的點為(，)由此可知點(1，1)和(2，2)滿足120，12，是關(guān)于極軸所在直線對稱4已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點P，則P關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為()A.，(1，) B.，(1，)C.，(1，) D.，(1，)解析：選D點P(2，)關(guān)于極點的對稱點為(2，)，即(2，)，且x2cos ()2cos 1，y2sin ()2sin .二、填空題5限定>0，0<2時，若點M的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)相同，則點M的直角坐標(biāo)為_解析：點M的極坐標(biāo)為(，)，設(shè)其直角坐標(biāo)為(x，y)，依題意得x，y，即x2y2x2.y0，>0，M(，0)答案：(，0)6已知極坐標(biāo)系中，極點為O，0<2，M，在直線OM上與點M的距離為4的點的極坐標(biāo)為_解析：如圖所示，|OM|3，xOM，在直線OM上取點P、Q，使|OP|7，|OQ|1，xOP，xOQ，顯然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.答案：(7，)或(1，)7直線l過點A，B，則直線l與極軸夾角等于_解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據(jù)點A，B的位置分析夾角大小因為|AO|BO|3，AOB，所以O(shè)AB.所以ACO.答案：8已知點M的極坐標(biāo)為(5，)，且tan ，<<，則點M的直角坐標(biāo)為_解析：tan ，<<，cos ，sin .x5cos 3，y5sin 4.點M的直角坐標(biāo)為(3，4)答案：(3，4)三、解答題9設(shè)點A，直線L為過極點且垂直于極軸的直線，分別求出點A關(guān)于極軸，直線L，極點的對稱點的極坐標(biāo)(限定0，)解：如圖所示：關(guān)于極軸的對稱點為B(1，)關(guān)于直線L的對稱點為C(1，)關(guān)于極點O的對稱點為D(1，)10已知點P的直角坐標(biāo)按伸縮變換變換為點P(6，3)，限定>0，02時，求點P的極坐標(biāo)解：設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題意得，解得點P的直角坐標(biāo)為(3，)2，tan ，0<2，點P在第四象限，.點P的極坐標(biāo)為(2，)11在極軸上求與點A的距離為5的點M的坐標(biāo)解：設(shè)M(r，0)，因為A(4，)，所以 5.即r28r70.解得r1或r7.所以M點的坐標(biāo)為(1，0)或(7，0)最新精品資料