高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)與選考內(nèi)容 第3講 幾何證明選講課件 理

第3講 幾何證明選講考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.了解平行線截割定理，會(huì)證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.2.會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.4.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會(huì)證平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓).5.幾何證明選講考綱要求(5)(8)略2011年新課標(biāo)卷考查四點(diǎn)共圓及求圓的半徑；2012年新課標(biāo)卷考查線線平行判 定、三角形相似的判定等基礎(chǔ)知 識(shí)；2013年新課標(biāo)卷考查證明弦長相等；考查求三角形外接圓的半徑；2014年新課標(biāo)卷考查圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，證明三角形兩個(gè)角相 等；考查證明等邊三角形；2015年新課標(biāo)卷考查圓的切線判定與性質(zhì)，直角三角形射影定理從近幾年的高考來看，幾何證明選講作為選考內(nèi)容基本沒有變化，都是二選一，主要考查平行線截割定理、射影定理、圓周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割線定理，內(nèi)容很多，但考試還是側(cè)重圓內(nèi)的邊角運(yùn)算，因此在備考時(shí)也應(yīng)該有所側(cè)重1.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得對(duì)應(yīng)線段成比例.推論 1：平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.推論 2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.2.射影定理的結(jié)論直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積.在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于點(diǎn) D，則 AB2BDBC；AC2CDCB；AD2_.BDDC相似三角形的判定定理相似三角形的性質(zhì)預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比；對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比；對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比；周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方判定定理 1 兩角對(duì)應(yīng)相等判定定理 2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等判定定理 3 三邊對(duì)應(yīng)成比例判定定理 4直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例3.相似三角形的判定與性質(zhì)4.圓周角定理與圓心角定理(1)圓周角定理及其推論.定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.推論：(1)推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.(2)推論 2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑.(3)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).5.弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.6.圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.(2)推論：推論 1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).推論 2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.7.與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦AB，CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P(1)PAPBPCPD.(2)ACPBDP(1)在PA，PB，PC，PD四條線段中知三求一.(2)求弦長及角割線定理PAB，PCD是O的割線(1)PAPBPCPD.(2)PACPDB(1)求線段PA，PB，PC，PD.(2)應(yīng)用相似求AC，BD切割線定理PA切O于A，PBC是O的割線(1)PA2PBPC.(2)PABPCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一(2)求解AB，AC切線長定理PA，PB是O的切線(1)PAPB.(2)OPAOPB(1)證線段相等，已知PA求PB.(2)求角8.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理及推論(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理.定理 1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).定理 2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角.(2)圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論.判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.1.(2015 年天津)如圖 10-3-1，在圓 O 中，M，N 是弦 AB 的三等分點(diǎn)，弦 CD，CE 分別經(jīng)過點(diǎn) M，N.若 CM2，MD4，CN3 ，則線段 NE 的長為()圖 10-3-1A.83B.3C.103D.52CMMD 24 8解析：由相交弦定理可知：AMMBCMMD，CNNE ANNB.又因?yàn)镸，N 是弦AB 的三等分點(diǎn)，所以AMMBANNB.CNNECMMD.所以 NECN 3 3 .故選 A.答案：A2.(2015 年廣東)如圖 10-3-2，AB 為圓 O 的直徑，點(diǎn) E 為AB 的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn) E 作圓 O 的切線，切點(diǎn)為 C，過點(diǎn) A，則 AD作直線 EC 的垂線，垂足為 D.若 AB4，CE_.2 3圖 10-3-2 圖D70 答案：33.(2015 年重慶)如圖 10-3-3，圓 O 的弦 AB，CD 相交于點(diǎn)E，過點(diǎn) A 作圓 O 的切線與 DC 的延長線交于點(diǎn) P，若 PA 6，AE9，PC3，CEED2 1，則 BE_.圖 10-3-3PD 12，CEED 63解析：由切割線定理，得PA2PCPD，因此623CDPDPC9.又 CEED21，因此 CE6，ED3.因?yàn)?AEEBCEED，所以 BEAE 92.答案：2考點(diǎn) 1 相似三角形例 1：(2015 年江蘇)如圖 10-3-4，在ABC 中，ABAC，ABC 的外接圓圓 O 的弦 AE 交 BC 于點(diǎn) D，求證：ABDAEB.圖 10-3-4解：因?yàn)?ABAC，所以ABDC.又因?yàn)镃E，所以ABDE.又BAEDAB，所以ABDAEB.【規(guī)律方法】(1)判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路：先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例；若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”.(2)借助圖形判斷三角形相似的方法：有平行線的可圍繞平行線找相似；有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例；有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對(duì)應(yīng)邊.【互動(dòng)探究】1.(2012 年新課標(biāo))如圖 10-3-5，D，E 分別是ABC 邊 AB，AC 的中點(diǎn)，直線 DE 交ABC 的外接圓于 F ，G 兩點(diǎn)，若CFAB，證明：(1)CDBC；(3)BCDGBD.圖 10-3-5解：(1)如圖 D72，D，E 分別為 AB，AC 的中點(diǎn)，DEBC.CFAB，四邊形 BCFD 是平行四邊形.CFBDAD.連接 AF，四邊形 ADCF 是平行四邊形.CDAF.CFAB，BCAF.CDBC.圖 D72(2)FGBC，GBCF.由(1)知，BDCF，GBBD.DGBEFCDBC，BCDGBD.考點(diǎn) 2 與圓有關(guān)的角例 2：(2015 年新課標(biāo))如圖 10-3-6，AB 是圓 O 的直徑，AC 是圓 O 的切線，BC 交圓 O 于點(diǎn) E.(1)若 D 為 AC 的中點(diǎn)，證明：DE 是 O 的切線；(2)若 OA CE，求ACB 的大小.圖 10-3-63解：(1)如圖 D71，連接 AE，由已知，得 AEBC，ACAB.在 RtAEC 中，由已知，得 DEADDC，DECDCE.連接 OE，OBEOEB，ACBABC90，DECOEB90.圖 D71OED90.DE 是圓 O 的切線.【規(guī)律方法】在解有關(guān)切線的問題時(shí)，要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行思考：見到切線，切點(diǎn)與圓心的連線垂直于切線；過切點(diǎn)有弦，應(yīng)想到弦切角定理；若切線與一條割線相交，應(yīng)想到切割線定理；若要證明某條直線是圓的切線，則證明直線與圓的交點(diǎn)與圓心的連線與該直線垂直.【互動(dòng)探究】2.(2014 年新課標(biāo))如圖 10-3-7，四邊形 ABCD 是O 的內(nèi)接四邊形，AB 的延長線與 DC 的延長線交于點(diǎn) E，且 CBCE.(1)證明：DE；(2)設(shè) AD 不是O 的直徑，AD 的中點(diǎn)為 M，且 MBMC，證明：ADE 為等邊三角形.圖 10-3-7解：(1)由題設(shè)知，A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，所以DCBE，由已知，得CBEE.故DE.(2)如圖 D73，設(shè) BC 的中點(diǎn)為 N，連接 MN，則由 MBMC 知，MNBC，故 O 在直線 MN 上.又 AD 不是O 的直徑，M 為 AD 的中點(diǎn)，故 OMAD，即 MNAD.所以 ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE.圖 D73由(1)知，DE，所以 ADE 為等邊三角形.考點(diǎn) 3 與圓有關(guān)的比例線段例 3：(2014 年新課標(biāo))如圖 10-3-8，P 是O 外一點(diǎn)，PA是切線，A 為切點(diǎn)，割線 PBC 與O 相交于點(diǎn) B，C，PC2PA ，D 為 PC 的中點(diǎn)，AD 的延長線交O 于點(diǎn) E，證明：圖 10-3-8(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.證明：(1)如圖 10-3-9，連接 AB，AC.由題設(shè)知 PA PD，圖 10-3-9故PAD PDA.因?yàn)镻DADACDCA，PAD BADPAB，DCAPAB，所以DACBAD.因此 BEEC.(2)由切割線定理，得 PA 2PBPC.因?yàn)?PC2PA ，所以 PA 2BP.所以 PD2PB，所以 BDPB.所以 BDDCPB2PB.由相交弦定理，得 ADDEBDDC.所以 ADDE2PB2.【規(guī)律方法】相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計(jì)算提供了有力的方法和工具，應(yīng)用時(shí)一方面要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征，另一方面在與定理相關(guān)的圖形不完整時(shí)，要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分.在實(shí)際應(yīng)用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理；見到圓的兩條割線就要想到割線定理；見到圓的切線和割線就要想到切割線定理.【互動(dòng)探究】3.(2015 年湖南)如圖 10-3-10，在圓 O 中，相交于點(diǎn) E 的兩弦 AB，CD 的中點(diǎn)分別是 M，N，直線 MO 與直線 CD 相交于點(diǎn) F，證明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.圖 10-3-10解：(1)如圖 D74，M，N 分別是弦 AB，CD 的中點(diǎn)，OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，OMEENO180.又四邊形的內(nèi)角和等于 360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N 四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得 FEFNFMFO.圖 D74易錯(cuò)、易混、易漏審題不清造成漏解例題：過不在O 上的一點(diǎn) A 作直線交O 于 B，C，且ABAC64，OA10，則O 的半徑等于_.正解：當(dāng)點(diǎn) A 在圓外時(shí)，由割線定理，得 ABAC 64 (OAr)(OAr)100r2，r236，r6；當(dāng)點(diǎn) A 在圓內(nèi)時(shí)，根據(jù)相交弦定理，有 ABAC 64 (OAr)(rOA)r2100，r2164，r .答案：或 6【失誤與防范】點(diǎn) A 不在O 上，則點(diǎn) A 有可能在圓外，也有可能在圓內(nèi)，對(duì)于沒有給出圖形的問題要認(rèn)真審題，并想清楚各種可能，本題很容易思維定勢地認(rèn)為點(diǎn) A 在圓外而出錯(cuò).2 412 411.圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時(shí)有較普遍的應(yīng)用，尤其是利用定理進(jìn)行等角代換與傳遞.2.要注意一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連接直線與圓的公共點(diǎn)和圓心證垂直；遇到直徑時(shí)，一般要引直徑所對(duì)的圓周角，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角解決有關(guān)問題.3.判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明.4.證明多點(diǎn)共圓的常用方法：(1)證明幾個(gè)點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)距離相等；(2)如果某兩點(diǎn)在某條線段的同旁，證明這兩點(diǎn)對(duì)這條線段的張角相等；(3)證明凸四邊形內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)(或外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角).5.圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比.