2018年高考數學 熱點題型和提分秘籍 專題18 平面向量的概念及其線性運算 文

專題18 平面向量的概念及其線性運算1.了解向量的實際背景2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義3.理解向量的幾何表示4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義熱點題型一 平面向量的有關概念例1、給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab。其中真命題的序號是_?！敬鸢浮俊窘馕觥坎徽_兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同。正確，|【提分秘籍】平面向量中常用的幾個結論(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。(3)是與a同向的單位向量，是與a反向的單位向量?！九e一反三】 設a0為單位向量，若a為平面內的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0。上述命題中，假命題的個數是()A0B1C2D3【答案】D熱點題型二 平面向量的線性運算例2、【2017天津】在中，.若，且，則的值為_.【答案】 【解析】 ,則.【變式探究】 (1)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，則_。(2)已知P，A，B，C是平面內四點，且，那么一定有()A.2 B.2C.2 D.2【答案】（1）2 （2）D【解析】(1)2，2。(2)，22。【提分秘籍】 向量線性運算的方法技巧向量線性運算，要轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形等平面幾何的性質，把未知向量轉化為已知向量(基底向量)來求解。 【舉一反三】 在ABC中，已知D是AB邊上一點，則實數()A BC. D.【答案】D 【解析】如圖，D是AB邊上一點，過點D作DEBC，交AC于點E，過點D作DFAC，交BC例3【2017江蘇，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）記,求的最大值和最小值以及對應的的值.【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為.【解析】【變式探究】設兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)。求證：A、B、D三點共線。(2)試確定實數k，使kab和akb共線。【解析】(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5。、共線，又它們有公共點B，A、B、D三點共線。(2)kab與akb共線，存在實數，使kab(akb)，即kabakb。(k)a(k1)b。a、b是不共線的兩個非零向量，kk10，k210，k±1?！咎岱置丶?1共線向量定理及其應用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數的值。(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結論結合待定系數法應用非常廣泛。2證明三點共線的方法若，則A，B，C三點共線。【舉一反三】 已知向量a，b不共線，且cab，da(21)b，若c與d同向，則實數的值為_?！敬鸢浮? 1.【2017課標3】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為A3B2CD2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系點在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A?！究键c】 平面向量的坐標運算；平面向量基本定理2.【2017北京】設m,n為非零向量，則“存在負數，使得”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，使，即兩向量反向，夾角是，那么T，若，那么兩向量的夾角為 ，并不一定反向，即不一定存在負數，使得，所以是充分不必要條件，故選A.【考點】1.向量；2.充分必要條件.3.【2017課標II，理12】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B【考點】 平面向量的坐標運算；函數的最值4.【2017課標1】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度，所以.【考點】平面向量的運算.5.【2017天津】在中，.若，且，則的值為_.【答案】 【解析】 ,則.【考點】向量的數量積6.【2017山東】已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數的值是 .【答案】【考點】1.平面向量的數量積.2.平行向量的夾角.3.單位向量.7【2017浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】設向量的夾角為，由余弦定理有： ，則：，令，則，據此可得： ，即的最小值是4，最大值是 【考點】平面向量模長運算8.【2017浙江，10】如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點O，記，則A B C D【答案】C【解析】因為， ， ，所以，故選C。【考點】 平面向量數量積運算9.【2017江蘇，12】如圖,在同一個平面內，向量,的模分別為1,1,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45°.若, 則 . A C BO(第12題) 【答案】3 ，所以【考點】向量表示10.【2017江蘇，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）記,求的最大值和最小值以及對應的的值.【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為.【解析】【考點】向量共線，數量積1.【2016高考新課標2理數】已知向量，且，則（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故選D.2.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點， ，則 的值是 . 【答案】【2015高考新課標1，理7】設為所在平面內一點，則（ ）（A） (B) （C） (D) 【答案】A【解析】由題知=，故選A.1（2014·遼寧卷）設a，b，c是非零向量，已知命題p：若a·b0，b·c0，則a·c0，命題q：若ab，bc，則ac，則下列命題中真命題是()Apq Bpq C(綈p)(綈q) Dp(綈q)【答案】A【解析】由向量數量積的幾何意義可知，命題p為假命題；命題q中，當b0時，a，c一定共線，故命題q是真命題故pq為真命題2（2014·新課標全國卷 已知A，B，C為圓O上的三點，若()，則與的夾角為_【答案】90°【解析】由題易知點O為BC的中點，即BC為圓O的直徑，故在ABC中，BC對應的角A為直角，即AC與AB的夾角為90°.3（2014·四川卷）平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m()A2 B1C1 D2【答案】2【解析】cmab(m4，2m2)，由題意知，即，即5m8，解得m2. 1.下列說法正確的是()A.若a與b都是單位向量，則a=bB.若a=b，則|a|=|b|且a與b的方向相同C.若a+b=0，則|a|=|b|D.若a-b=0，則a與b是相反向量2.已知點D是ABC的邊AB的中點，則向量等于()A.-+B.-C.-D.+【解析】選A.因為點D是AB的中點，所以=+=+=-+.3.已知點P是四邊形ABCD所在平面內的一點，若=(1+)-，其中R，則點P一定在()A.AB邊所在的直線上B.BC邊所在的直線上C.BD邊所在的直線上D.四邊形ABCD的內部【解析】選C.因為=(1+)-，所以-=(-)，所以=，所以B，D，P三點共線，因此點P一定在BD邊所在的直線上.4.已知向量a與b共線反向，則下列結論正確的是()A.|a+b|=|a|+|b|B.|a+b|=|a|-|b|C.|a-b|=|a|+|b|D.|a-b|=|a|-|b|【解析】選C.因為向量a與b共線反向，所以|a+b|<|a|+|b|，|a+b|0，而|a|-|b|的符號不確定，所以A，B不正確.同理，D不正確，C顯然正確.5.已知下列結論已知a是非零向量，R，則a與2a方向相同已知a是非零向量，R，則|a|=|a|若R，則a與a共線若a與b共線，則存在R，使a=b其中正確的個數為()A.0B.1C.2D.46.在平行四邊形ABCD中，點E是AD的中點，BE與AC相交于點F，若=m+n(m，nR)，則的值為()A.-2B.-C.2D.【解析】選A.如圖.設=a，=b，7.已知D為ABC的邊AB的中點.M在DC上且滿足5=+3，則ABM與ABC的面積比為()A.B.C.D.【解析】選C.如圖，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故ABM與ABC同底且高的比為35，故SABMSABC=35.8.在ABC中，N是AC邊上一點，且=，P是BN上的一點，若=m+，則實數m的值為()A.B.C.1D.39.O是ABC所在平面外一點且滿足=+，為實數，則動點P的軌跡必經過ABC的()A.重心B.內心C.外心D.垂心【解析】選B.如圖，設=，已知均為單位向量，故AEDF為菱形，所以AD平分BAC，由=+得=，又與有公共點A，故A，D，P三點共線，所以P點在BAC的平分線上，故動點P的軌跡經過ABC的內心.10.已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是ABC的重心，動點P滿足=，則點P一定為三角形ABC的()A.AB邊中線的中點B.AB邊中線的三等分點(非重心)C.重心D.AB邊的中點近C點的一個三等分點.11.已知點D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點，且=a，=b，給出下列命題:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正確命題的序號為.【答案】【解析】=a，=b，=+=-a-b，故錯;=+=a+b，故正確;12.在ABCD中，=a，=b，3=，M為BC的中點，則=.(用a，b表示) 【答案】-a-b13.在ABC中，=c，=b，若點D滿足=2，則=.【答案】b+c【解析】如圖，因為在ABC中，=c，=b，且點D滿足=2，所以+=2(+)，=+=b+c.14.在ABC中，已知D是AB邊上一點，=+，則實數=.【答案】15.已知a，b不共線，=a，=b，=c，=d，=e，設tR，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在實數t使C，D，E三點在一條直線上?若存在，求出實數t的值，若不存在，請說明理由.【解析】由題設知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數k，使得=k，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b，因為a，b不共線，所以有解之得t=.故存在實數t=使C，D，E三點在一條直線上.16.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，N是線段OD的中點，AN的延長線與CD交于點E，若=m+，求實數m的值. 17.已知ABC中，=a，=b，對于平面ABC上任意一點O，動點P滿足=+a+b，若動點P的軌跡與邊BC的交點為M，試判斷M點的位置.【解析】依題意，由=+a+b， 得-=(a+b)，即=(+).如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，對角線交于點M，點.22