2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題05 不等式與線性規(guī)劃教學(xué)案 理

專題05 不等式與線性規(guī)劃與區(qū)域有關(guān)的面積、距離、參數(shù)范圍問題及線性規(guī)劃問題；利用基本不等式求函數(shù)最值、運(yùn)用不等式性質(zhì)求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點(diǎn)2018高考備考時(shí)，應(yīng)切實(shí)理解與線性規(guī)劃有關(guān)的概念，要熟練掌握基本不等式求最值的方法，特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧方法要特別加強(qiáng)綜合能力的培養(yǎng)，提升運(yùn)用不等式性質(zhì)分析、解決問題的能力1.熟記比較實(shí)數(shù)大小的依據(jù)與基本方法作差(商)法；利用函數(shù)的單調(diào)性2特別注意熟記活用以下不等式的基本性質(zhì)(1)乘法法則：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>dac>bd；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0ac>bd；(4)乘方法則：a>b>0an>bn(nN，n2)；3熟練應(yīng)用基本不等式證明不等式與求函數(shù)的最值4牢記常見類型不等式的解法(1)一元二次不等式，利用三個(gè)二次之間的關(guān)系求解(2)簡單分式、高次不等式，關(guān)鍵是熟練進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化(3)簡單指、對不等式利用指、對函數(shù)的單調(diào)性求解5簡單線性規(guī)劃(1)應(yīng)用特殊點(diǎn)檢驗(yàn)法判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域(2)簡單的線性規(guī)劃問題解線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵在于根據(jù)條件寫出線性約束關(guān)系式及目標(biāo)函數(shù)，必要時(shí)可先做出表格，然后結(jié)合線性約束關(guān)系式作出可行域，在可行域中求出最優(yōu)解考點(diǎn)一不等式性質(zhì)及解不等式例1、(1)不等式組的解集為()Ax|2x1Bx|1x0Cx|0x1 Dx|x1解析：基本法：由x(x2)0得x0或x2；由|x|1得1x1，所以不等式組的解集為x|0x1，故選C.答案：C (2)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1|x|)，則使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范圍是()A.B.(1，)C. D.速解法：令x0，f(x)f(0)10.f(2x1)f(1)ln 2ln 2ln 0.不適合f(x)f(2x1)，排除C.令x2，f(x)f(2)ln 3，f(2x1)f(3)，由于f(x)ln(1|x|)在(0，)上為增函數(shù)f(2)f(3)，不適合排除B、D，故選A.答案：A考點(diǎn)二基本不等式及應(yīng)用例2、【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所?，所以選B. 【變式探究】(1)若直線1(a0，b0)過點(diǎn)(1,1)，則ab的最小值等于()A2 B3C4 D5答案：C (2)定義運(yùn)算“”：xy(x，yR，xy0)當(dāng)x0，y0時(shí)，xy(2y)x的最小值為_解析：基本法：xy(2y)x，x0，y0，2，當(dāng)且僅當(dāng)，即xy時(shí)等號成立，故所求最小值為.答案：考點(diǎn)三求線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值例3、【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】x、y滿足約束條件的可行域如圖： 【變式探究】(1)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_解析：基本法：作出可行域，如圖：由zxy得yxz，當(dāng)直線yxz過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，zmax1.速解法：由得點(diǎn)(2，1)，則z3由得點(diǎn)(0,1)，則z1由得點(diǎn)則z.答案： (2)設(shè)x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()A5 B3C5或3 D5或3解析：基本法：二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A.平移直線xay0，可知在點(diǎn)A處，z取得最小值，答案：B考點(diǎn)四線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例4、(1)設(shè)x，y滿足約束條件則的取值范圍是()A1,5 B2,6C3,11 D3,10答案：C(2)(2016·高考山東卷)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A4 B9C10 D12解析：基本法：先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求目標(biāo)函數(shù)的最大值作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示x2y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由得A(3，1)，由圖易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故選C.答案：C1.【2017北京，理4】若x，y滿足 則x + 2y的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如圖，畫出可行域， 2.【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范圍是A0，6B0，4C6，D4，【答案】D【解析】如圖，可行域?yàn)橐婚_放區(qū)域，所以直線過點(diǎn)時(shí)取最小值4，無最大值，選D3.【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B4.【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】x、y滿足約束條件的可行域如圖：z=2x+y經(jīng)過可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，由 解得A(6,3)，則z=2x+y的最小值是：15.故選：A.5.【2017山東，理4】已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點(diǎn)時(shí)，最大為，選C.6.【2017天津，理2】設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A） （B）1（C） （D）3【答案】D 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】用特殊值法，令，得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選C2.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B.3.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C4.【2016高考浙江理數(shù)】在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影由區(qū)域 中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C【解析】如圖為線性區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成了線段，即，而，由得，由得，故選C5.【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C6.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足，q：實(shí)數(shù)x，y滿足 則p是q的( )（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內(nèi)，故選A.7.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_.【答案】8.【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元【答案】【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么目標(biāo)函數(shù).二元一次不等式組等價(jià)于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.9.【2016高考江蘇卷】 已知實(shí)數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 .【答案】1.【2015高考北京，理2】若，滿足則的最大值為（ ）A0B1CD2【答案】D【解析】如圖，先畫出可行域，由于，則，令，作直線，在可行域中作平行線，得最優(yōu)解，此時(shí)直線的截距最大，取得最小值2.2【2015高考廣東，理6】若變量，滿足約束條件則的最小值為（ ）A B. 6 C. D. 4【答案】C 【解析】不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=3x+2y得y=x+，平移直線y=x+，則由圖象可知當(dāng)直線y=x+，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)直線y=x+的截距最小，此時(shí)z最小，由，解得，即A（1，），此時(shí)z=3×1+2×=，故選：B3.【2015高考天津，理2】設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C 4.【2015高考陜西，理10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ）A12萬元 B16萬元 C17萬元 D18萬元甲乙原料限額（噸）（噸）【答案】D當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以，故選D5.【2015高考福建，理5】若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A6.【2015高考山東，理6】已知滿足約束條件，若的最大值為4，則 （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式組 在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示，若的最大值為4，則最優(yōu)解可能為 或 ，經(jīng)檢驗(yàn)，是最優(yōu)解，此時(shí) ；不是最優(yōu)解.故選B.7.【2015高考新課標(biāo)1，理15】若滿足約束條件，則的最大值為 .【答案】3【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，點(diǎn)A（1,3）與原點(diǎn)連線的斜率最大，故的最大值為3.8.【2015高考浙江，理14】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 【答案】.9【2015高考新課標(biāo)2，理14】若x，y滿足約束條件，則的最大值為_【答案】【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃10.【2015高考湖南，理4】若變量，滿足約束條件，則的最小值為（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】如下圖所示，畫出線性約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線：，平移，從而可知當(dāng)，時(shí)，的最小值是，故選A.11.【2015高考四川，理9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B12.【2015高考陜西，理9】設(shè)，若，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）A B C D【答案】C【解析】，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，故選C1. 【2014高考安徽卷理第5題】滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A, B. C.2或1 D.【答案】D【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃2. 【2014高考北京版理第6題】若、滿足，且的最小值為，則的值為（ ）A2 B C D【答案】D【解析】若，沒有最小值，不合題意；【考點(diǎn)定位】不等式組表示的平面區(qū)域，求目標(biāo)函數(shù)的最小值3. 【2014高考福建卷第11題】若變量滿足約束條件則的最小值為_.【答案】1【解析】依題意如圖可得目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A時(shí)截距最大.即.【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃.4. 【2014高考福建卷第13題】要制作一個(gè)容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_（單位：元）.【答案】88 【解析】假設(shè)底面長方形的長寬分別為, . 則該容器的最低總造價(jià)是.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)區(qū)到最小值.【考點(diǎn)定位】函數(shù)的最值.5. 【2014高考廣東卷理第3題】若變量、滿足約束條件，且的最大值和最小值分別為和，則（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】作出不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分所表示，【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值6. 【2014高考湖南卷第14題】若變量滿足約束條件，且的最小值為，則.【答案】【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃7. 【2014遼寧高考理第16題】對于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足，且使最大時(shí)，的最小值為 . 【答案】【解析】法一：判別式法：令，則，代入到中，得，即因?yàn)殛P(guān)于的二次方程有實(shí)根，所以，可得，取最大值時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可知當(dāng)時(shí)，【考點(diǎn)定位】柯西不等式. 8. 【2014全國1高考理第9題】不等式組的解集為D,有下面四個(gè)命題：， ， ，其中的真命題是（ ）A B C D【答案】B【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃、存在量詞和全稱量詞10. 【2014山東高考理第5題】已知實(shí)數(shù)滿足，則下面關(guān)系是恒成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】【解析】由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，所以，選.【考點(diǎn)定位】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì).11. 【2014山東高考理第9題】 已知滿足約束條件，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（ ）A.5 B.4 C. D.2【答案】【解析】畫出可行域（如圖所示），由于，所以，經(jīng)過直線與直【考點(diǎn)定位】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì). 12. 【2014四川高考理第4題】若，則一定有（ ）A B C D4若，則一定有（ ）A B C D【答案】D【解析】，又.選D【考點(diǎn)定位】不等式的基本性質(zhì).13. 【2014四川高考理第5題】執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的最大值為（ ）A B C D 【答案】C【考點(diǎn)定位】程序框圖與線性規(guī)劃.14. 【2014浙江高考理第13題】當(dāng)實(shí)數(shù)，滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，由得，由圖可知，且在點(diǎn)取得最小值在取得最大值，故，故取值范圍為【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃.15. 【2014天津高考理第2題】設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 （）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【考點(diǎn)定位】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題16. 【2014大綱高考理第14題】設(shè)滿足約束條件，則的最大值為 .【答案】5.【考點(diǎn)定位】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線線目標(biāo)函數(shù)的最值的計(jì)算17. 【2014高考上海理科】若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為_.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.【考點(diǎn)定位】基本不等式.18.【2014高考安徽卷第21題】設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)， .（1）證明：當(dāng)且時(shí)，；（2）數(shù)列滿足，證明：.【答案】（1）證明：當(dāng)且時(shí)，；（2）.【解析】（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，原不等式成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立.當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，原不等式也成立.綜合可得，當(dāng)且時(shí)，對一切整數(shù)，不等式均成立.再由可得，即.綜上所述，.證法2：設(shè)，則，并且.由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，由，即可知，并且，從而.故當(dāng)時(shí)，不等式成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立，則當(dāng)時(shí)，即有.所以當(dāng)時(shí)，原不等式也成立.綜合可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立.【考點(diǎn)定位】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、構(gòu)造函數(shù)法證明不等式.1若點(diǎn)A(a，b)在第一象限且在直線x2y4上移動(dòng)，則log2alog2b()A有最大值2 B有最小值1C有最大值1 D沒有最大值和最小值解析：基本法：由題意，知a2b4(a0，b0)，則有4a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)a2b，即a2，b1時(shí)等號成立，所以0ab2，所以log2alog2blog2ablog221，故選C.答案：C2若2x2y1，則xy的取值范圍是()A0,2 B2,0C2，) D(，2答案：D3設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則x2y2的取值范圍是()A1,2 B1,4C，2 D2,4解析：基本法：如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域是ABC內(nèi)部(含邊界)，x2y2表示的是此區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)距離的平方從圖中可知最短距離為原點(diǎn)到直線BC的距離，其值為1；最遠(yuǎn)的距離為AO，其值為2，故x2y2的取值范圍是1,4，故選B.答案：B4設(shè)x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z的取值范圍為()A3,3 B3，2C2,2 D2,3解析：基本法：(特殊點(diǎn)數(shù)形結(jié)合法)根據(jù)的幾何意義，觀察圖形中點(diǎn)的位置作可行域如圖陰影部分所示表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(2,0)連線的斜率答案：C5設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)2成立的x的取值范圍是_解析：結(jié)合題意分段求解，再取并集當(dāng)x<1時(shí)，x1<0，ex1<e012，當(dāng)x<1時(shí)滿足f(x)2.當(dāng)x1時(shí)，x2，x238，1x8.綜上可知x(，8答案：(，86已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為_速解法：數(shù)形結(jié)合作出y1x24x與y2x的圖象使y1的圖象在y2圖象的上部所對應(yīng)的x的范圍設(shè)y1f(x)x24x，y2x(x>0)令y1y2，x24xx，x0或x5.作y1f(x)及y2x的圖象，則A(5,5)，由于y1f(x)及y2x都是奇函數(shù)，作它們關(guān)于(0,0)的對稱圖象，則B(5，5)，由圖象可看出當(dāng)f(x)>x時(shí)，x(5，)及(5,0)答案：(5,0)(5，)7若x，y滿足約束條件則z3xy的最大值為_解析：基本法：畫出可行域，并分析z的幾何意義，平移直線y3x求解畫出可行域如圖所示z3xy，y3xz.直線y3xz在y軸上截距最大時(shí)，即直線過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值答案：437