2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第84講 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

第84講 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【知識(shí)要點(diǎn)】1、二項(xiàng)式定理：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有項(xiàng)，而不是項(xiàng)；順序：注意正確選擇,其順序不能更改.與是不同的；指數(shù)：的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是降冪排列.的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是升冪排列.各項(xiàng)的次數(shù)和等于.2、二項(xiàng)式通項(xiàng)公式： （） （1）它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)；（2）其中叫二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)；（3）注意.3、二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.即=.（2）增減性和最大值：在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.（3）所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，即4、二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)：對(duì)于，5、證明組合恒等式常用賦值法.6、二項(xiàng)式系數(shù)展開式的系數(shù)最大項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng).（1）二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值. 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值.（2）系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來(lái).【方法講評(píng)】應(yīng)用一利用通項(xiàng)公式求的系數(shù)解題方法直接代二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再化簡(jiǎn).【例1】在二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第項(xiàng)的系數(shù)為，求含有的項(xiàng)的系數(shù)？【點(diǎn)評(píng)】（1）要理解二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)的定義，它指的是除去，剩下的所有部分，而二項(xiàng)式的系數(shù)則指的是通項(xiàng)里的組合數(shù).(2)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)化簡(jiǎn)時(shí)，要注意指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)的準(zhǔn)確運(yùn)用.【反饋檢測(cè)1】已知的二項(xiàng)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為512（1）求展開式的所有有理項(xiàng)（指數(shù)為整數(shù)）；（2）求展開式中項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)用二求二項(xiàng)式展開式的有理數(shù)項(xiàng)解題方法先求二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再化簡(jiǎn)，再令的指數(shù)為整數(shù)解答.【例2】求二項(xiàng)式展開式中的有理項(xiàng).【點(diǎn)評(píng)】有理項(xiàng)指的是的指數(shù)為整數(shù)，可以是正整數(shù)，也可以是負(fù)整數(shù)和零. 【反饋檢測(cè)2】已知的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.（）證明：展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；（）求展開式中所有有理項(xiàng).應(yīng)用三求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解題方法（1）二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值.（2）系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來(lái).【例3】已知二項(xiàng)式（1）若展開式中第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；（2）若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)（2），解得，設(shè)項(xiàng)系數(shù)最大，由于，第11項(xiàng)最大【點(diǎn)評(píng)】（1）二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值.（2）系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來(lái).【反饋檢測(cè)3】已知在的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是14：1（1）求展開式中的系數(shù)；（2）求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；（3）求的值.應(yīng)用四求展開式的系數(shù).解題方法一般把三項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，再代二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式解答.【例4】 求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項(xiàng)的系數(shù).【點(diǎn)評(píng)】（1）對(duì)于三項(xiàng)式的展開式教材上沒(méi)有講過(guò)，教材上只講了二項(xiàng)式的展開式. 所以我們可以想辦法把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)式的展開式的性質(zhì)解答. (2)對(duì)于三項(xiàng)式的展開式的研究，一般轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式的展開式研究，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)化的思想的運(yùn)用,把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題解答. 【反饋檢測(cè)4】展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）A252 B252 C160 D160 應(yīng)用五兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的系數(shù)問(wèn)題解題方法一般先分別求兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再對(duì)它們進(jìn)行組合研究.【例5】 在的展開式中，求的系數(shù).【解析】，要得到，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí)，展開式取5次項(xiàng)，項(xiàng)系數(shù)為當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí)，展開式取4次項(xiàng)，項(xiàng)系數(shù)為當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí)，展開式取3次項(xiàng)，項(xiàng)系數(shù)為當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取-時(shí)，展開式取2次項(xiàng)，項(xiàng)系數(shù)為項(xiàng)系數(shù)為+=-63【點(diǎn)評(píng)】?jī)蓚€(gè)二項(xiàng)式相乘的系數(shù)問(wèn)題，一般先分別求兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再對(duì)它們進(jìn)行組合研究.【反饋檢測(cè)5】應(yīng)用六二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和與差的問(wèn)題解題方法一般利用賦值法解答.【例6】已知，求：（1）；（2）【點(diǎn)評(píng)】二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和與差的問(wèn)題，一般利用賦值法解答，主要是給二項(xiàng)式的展開式的變量賦一些特殊值，如：1，-1，0等.【反饋檢測(cè)6】（1）設(shè)展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大則= （2）12 應(yīng)用七整除性問(wèn)題解題方法一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關(guān)的數(shù)的和，再利用二項(xiàng)式定理展開研究.【例7】證明：能被64整除【點(diǎn)評(píng)】整除性的問(wèn)題，一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關(guān)的數(shù)的和，再利用二項(xiàng)式定理展開研究，拆數(shù)是關(guān)鍵，本題中指數(shù)的底數(shù)是“3”，先變成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二項(xiàng)式定理研究就方便了. 【反饋檢測(cè)7】求證：能被7整除.應(yīng)用八證明不等式等解題方法一般對(duì)二項(xiàng)式定理進(jìn)行順用或逆用.【例8】 求證：2<（1+）n<3（）.【證明】（1+）n=C+C× +C（）2+C（）n=1+1+C×+C×+C×=2+×+×+×<2+<2+=2+=3（）<3.顯然（1+）n=1+1+C×+C×+C×>2.所以2<（1+）n<3.【點(diǎn)評(píng)】看到一般要聯(lián)想到是否能利用二項(xiàng)式定理解答，這是一個(gè)觀察聯(lián)想的能力.【反饋檢測(cè)8】 應(yīng)用九利用二項(xiàng)式定理求近似值解題方法一般先把底數(shù)拆成“1”與某個(gè)小數(shù)的和與差，再利用二項(xiàng)式定理研究解答.【例9】求的近似值，使誤差小于；【點(diǎn)評(píng)】由，當(dāng)?shù)慕^對(duì)值與1相比很小且很大時(shí)，等項(xiàng)的絕對(duì)值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，因此可以用近似計(jì)算公式：，在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問(wèn)題對(duì)精確度的要求，來(lái)確定對(duì)展開式中各項(xiàng)的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：.【反饋檢測(cè)9】某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%.如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第84講：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用參考答案【反饋檢測(cè)1答案】（1），；（2）【反饋檢測(cè)2答案】（）證明見解析；（）所有有理項(xiàng)為：.【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】（）依題意得：，令得展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).（）當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng).展開式中所有有理項(xiàng)為：. 【反饋檢測(cè)3答案】（1）；（2）；（3）【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】（1）由，解得因?yàn)橥?xiàng)：，令 ，于是系數(shù)為（2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，則解得，于是只能為6 所以系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為（3）原式=【反饋檢測(cè)4答案】【反饋檢測(cè)5答案】【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】.【反饋檢測(cè)6答案】(1)；（2）.【反饋檢測(cè)6詳細(xì)解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性，（2）即為展開式中各項(xiàng)的系數(shù)在中令，（2）在中，令，得12【反饋檢測(cè)7答案】見解析. 【反饋檢測(cè)8答案】【反饋檢測(cè)8詳細(xì)解析】與已知的有一些差距， 【反饋檢測(cè)9答案】耕地平均每年至多只能減少4畝【反饋檢測(cè)9詳細(xì)解析】設(shè)耕地平均每年減少x畝，現(xiàn)有人口為p人，糧食單產(chǎn)為m噸/畝，依題意化簡(jiǎn)：（畝）答：耕地平均每年至多只能減少4畝11