2015屆高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第44練 矩陣與變換 理

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1、 2015屆高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第44練 矩陣與變換 理 第44練 矩陣與變換 題型一 常見矩陣變換的應(yīng)用 例1 已知曲線C:xy=1. (1)將曲線C繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后,求得到的曲線C′的方程; (2)求曲線C的焦點坐標(biāo)和漸近線方程. 破題切入點 把握常見矩陣變換類型,比用一般矩陣運算處理要方便得多,同時,從前后曲線性質(zhì)分析上,可以加深對曲線性質(zhì)的理解. 解 (1)設(shè)P(x0,y0)是曲線C:xy=1上的任一點, 點P(x0,y0)在旋轉(zhuǎn)變換后對應(yīng)的點為 P′(x′0,

2、y′0),則 ?x0′??cos 45° -sin 45°??x0???=???? ?y0′??sin 45° cos 45°??y0? ?22 22?x?22-22???????. =??=?2 2??y?2x2y??22?22?0000 00 22?x′=-,?22∴?22y′x+,??22000000 0002?x=?x′+y′?,?2∴?2y=y(tǒng)′-x′?.??2000 又x0y0=1,∴ 2222(y′0+x′0)3y′0-x′0)=1. 2222∴y′0 -x′0 =2,即曲線C:xy=1旋轉(zhuǎn)后所得到的曲線C′

3、的方程為y-x=2. (2)曲線C′的焦點坐標(biāo)為F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2),漸近線方程為y=±x. 再順時針旋轉(zhuǎn)45°后,即可得到曲線C的焦點坐標(biāo)為(-2,-2)和(2,2);漸近線方程為x=0,y=0. 題型二 二階矩陣的逆矩陣 - 1 - ?a 例2 設(shè)矩陣M=??0 0?b??(其中a>0,b>0). -1(1)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M; (2)若曲線C:x+y=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線Cy=1,求a,b4 的值. 破題切入點 對于二階矩陣,若有AB=B

4、A=E,則稱B為A的逆矩陣.因而求一個二階矩陣的逆矩陣,可用待定系數(shù)法求解. 22x22 ?x1 y1?解 (1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M=??, ?x2 y2? ?1 0?-1則MM=??. ?0 1? ?2 0?又M=??, ?0 3? ?2 0??x1 y1??1 0?所以????=??. ?0 3??x2 y2??0 1?-1 所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1, 11即x1=,y1=0,x2=0,y2=, 23 1 02-1故所求的逆矩陣M=. 10 3??????(2)設(shè)曲線C上任意一點P(x,y),它

5、在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點P′(x′,y′), ??ax=x′,?a 0??x??x′?則? ???=??,即??by=y(tǒng)′.?0 b??y??y′?? 又點P′(x′,y′)在曲線C′上,所以 則x′24+y′=1. 2a2x24by=1為曲線C的方程. 2222又已知曲線C的方程為x+y=1, 2???a=4,?a=2,故?2又a>0,b>0,所以????b=1.?b=1. 題型三 求矩陣的特征值與特征向量 ?1 -1?例3 已知矩陣A=?-3). ?,其中a∈R,若點P(1,1)在矩陣A的變換下得

6、到點P′(0,?a 1? (1)求實數(shù)a的值; (2)求矩陣A的特征值及特征向量. 破題切入點 (1)注意特征值與特征向量的求法及特征向量的幾何意義:從幾何上看,特征向 - 2 - 量的方向經(jīng)過變換矩陣M的作用后,保持在同一條直線上,這時特征向量或者方向不變(λ>0),或者方向相反(λ<0).特別地,當(dāng)λ=0時,特征向量就被變成了零向量. ?a b?(2)計算矩陣M=??的特征向量的步驟如下: ?c d? ?λ-a -b?2①由矩陣M得到特征多項式f(λ)=?②求特征多項式的根,即求λ-(a+d)λ?;?-c λ-d?

7、 ???λ-a?x-by=0+(ad-bc)=0的根;③將特征多項式的根(特征值)代入特征方程?,求??-cx+?λ-d?y=0 解得非零解對應(yīng)的向量,即是矩陣M對應(yīng)的特征向量. ?1 -1??1?? 0?解 (1)由題意得????=??, ?a 1??1??-3? 所以a+1=-3,所以a=-4. ? 1 -1?(2)由(1)知A=??, ?-4 1? ?λ-1 1?2令f(λ)=??=(λ-1)-4=0. ? 4 λ-1? 解得A的特征值為λ=-1或3. ??-2x+y=0?1?當(dāng)λ=-1時,由?得矩陣A的

8、屬于特征值-1的一個特征向量為??; ?4x-2y=0?2?? ??2x+y=0當(dāng)λ=3時,由???4x+2y=0 ? 1?得矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為??. ?-2? 總結(jié)提高 (1)在解決通過矩陣進行平面曲線的變換問題時,變換矩陣可以通過待定系數(shù)法解決,在變換時一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚,防止混淆. (2)對于二階矩陣,要能夠熟練地根據(jù)常見的幾種變換的坐標(biāo)形式和矩陣形式相互轉(zhuǎn)化的規(guī)則,直接指明對應(yīng)的變換. (3)對于常見的變換,要能夠根據(jù)前后的圖形中的點的坐標(biāo)變換規(guī)律準(zhǔn)確寫出變換矩陣. (4)對于二階矩陣A而言,至多有兩個特征

9、值,將特征值λ代入Aα=λα,即可求得對應(yīng)的特征向量α. (5)關(guān)于特征值與特征向量的討論與矩陣變換性質(zhì)、矩陣的乘積、行列式以及線性方程組的解等有密切的聯(lián)系,或說是所學(xué)知識的一個綜合運用. 1.求將曲線y=x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后所得的曲線方程. 解 由題意得旋轉(zhuǎn)變換矩陣 ?cos 90° -sin 90°??0 -1?M=??=??, ?sin 90° cos 90°??1 0? - 3 - 2 設(shè)P(x0,y0)為曲線y=x上任意一點,變換后變?yōu)榱硪稽c(x,y), ?x??0 -1??x0?則??=????, ?y

10、??1 0??y0? ???x=-y0,?y0=-x,即?所以? ??y=x,x=y(tǒng).00??2 又因為點P在曲線y=x上,所以y0=x0, 故(-x)=y(tǒng),即y=x為所求的曲線方程. 2.在直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的頂點坐標(biāo)為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),求△ABC在矩陣MN ?0 1??0 -1?作用下變換所得到的圖形的面積,其中M=??,N=??. ?1 0??1 0? ?0 -1?解 由在矩陣線性變換下的幾何意義可知,在矩陣N=??作用下,一個圖形變換為其繞?1 0? ?0 1?原點逆時針旋轉(zhuǎn)90

11、°得到的圖形;在矩陣M=??作用下,一個圖形變換為與之關(guān)于直線y?1 0? =x對稱的圖形,因此,△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等,從而其面積等于△ABC的面積,即為1. 2222 ?1 3.(20132福建)已知直線l:ax+y=1在矩陣A=??0 +by=1. (1)求實數(shù)a,b的值; 2??對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′:x1? (2)若點P(x0,y0)在直線l上,且A??=??,求點P的坐標(biāo). 解 (1)設(shè)直線l:ax+y=1上任意點M(x,y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M′(x′,y′).

12、 ??x′=x+2y,?x′??1 2??x??x+2y?由??=? ???=??,得??y′=y(tǒng).?y′??0 1??y?? y???x0??x0??y0??y0? 又點M′(x′,y′)在l′上, 所以x′+by′=1,即x+(b+2)y=1, ???a=1,?a=1,依題意得?解得? ??b+2=1,b=-1.?? ??x0=x0+2y0,?x0??x0?(2)由A??=??,得??y0=y(tǒng)0,?y0??y0?? 解得y0=0. 又點P(x0,y0)在直線l上,所以x0=1. 故點P的坐標(biāo)為(1,0). 4.已知在二

13、階矩陣M對應(yīng)變換的作用下,四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′,其中A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),A′(3,-3),B′(1,1),D′(-1,-1). - 4 - (1)求出矩陣M; (2)確定點D及點C′的坐標(biāo). ?a b?解 (1)設(shè)M=??, ?c d? ?a b??1?? 3??a b??-1??1?則有????=??,????=??, ?c d??1??-3??c d?? 1??1? a+b=3,??c+d=-3,故?-a+b=1,??-c+d=1, a=1,??b=2, 解得?c=-2,??d=-1

14、, ? 1 ?-2 ? 1 (2)由??-2 ∴M=? 2??. -1? 2??-1??-3????=??, -1??-1?? 3? 知C′(-3,3), 12- 33?-1?? 1?由??=??, 21?-1??-1? 33????知D(1,-1). ?2 1?5.設(shè)A=??,問A是否可逆?如果可逆,求其逆矩陣. ?4 2? ?2 1??x y?解 設(shè)A=?是可逆的,其逆矩陣B=???,那么應(yīng)該有BA=AB=E, ?4 2??u v? ?x y??2 1??1 0?即?? ??=??,① ?u v??4 2?

15、?0 1? ?2 1??x y??1 0??? ??=??.② ?4 2??u v??0 1? 2x+4y=1, ③??x+2y=0, ④由①得?2u+4v=0, ⑤??u+2v=1. ⑥ ④33-③31得(232-431)y=-1, 即0y=-1,這說明上面的方程組無解.從而,不存在矩陣B使得BA=AB=E,所以,矩陣A?2 1?=??不可逆. ?4 2? ?-1 0??1 2?-16.(20132江蘇)已知矩陣A=??,B=??,求矩陣AB. ? 0 2??0 6? ?a b?-1解 設(shè)矩陣A的逆矩陣A=??,

16、?c d? - 5 - ?-1 0??a b??1 0?則????=??, ? 0 2??c d??0 1? ?-a -b??1 0?即??=?? ? 2c 2d??0 1? 1故a=-1,b=0,c=0,d=, 2 ?-1 0? 從而A的逆矩陣A=?-1, ? 0 12??? ?-1 -1所以AB=?? 0 ? ?-1 -2?=??. ? 0 3???1 2?? 1??0 6?2?0? 7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(0,0),B(-2,0),C(-

17、2,1).設(shè)k為非零實數(shù),矩陣 k 0?0 1?M=?,N=?B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到的點分別為A1、B1、C1,△A1B1C1?0 1??1 0?,點A、 的面積是△ABC的面積的2倍,求k的值. 解 由題設(shè)得 k 0??0 1??0 k?MN=??0 1??1 0?=?1 0?. 0 k??0??0?由??1 0??0?=?0?, ?0 k??-2?=?0?, ?1 0??0??-2? ?0 k??-2?=?k?, ?1 0??1??-2? 可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2).

18、 計算得△ABC的面積是1,△A1B1C1的面積是|k|,由題設(shè)知|k|=231=2, 所以k的值為-2或2. ? 1 2??5?8.給定矩陣A=??,B=??. ?-1 4??3? (1)求A的特征值λ1,λ2及對應(yīng)的特征向量α1,α2; (2)求AB. 解 (1)設(shè)A的一個特征值為λ, ?λ-1 -2?由題意知??=0,(λ-2)(λ-3)=0,λ1=2,λ2=3, ? 1 λ-4? ? 1 2??x??x?當(dāng)λ1=2時,由????=2??, ?-1 4??y??y? ?2?得A的屬于特征值2的特征向量為α

19、1=??, ?1?4 - 6 - ? 1 當(dāng)λ2=3時,由??-1 ?x????=3??, 4??y??y?2??x? 得A的屬于特征值3的特征向量為 ?1?α2=??. ?1? ?5??2??1?(2)由于B=??=2??+?? ?3??1??1? =2α1+α2, 故AB=A(2α1+α2) =2(2α1)+(3α2)=32α1+81α2 ?64??81??145?=??+??=??. ?32??81??113?4444 ?1?9.已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量e1=??,

20、并且矩陣M對應(yīng)的變換將?1? 點(-1,2)變換成(-2,4). (1)求矩陣M; (2)求矩陣M的另一個特征值,及對應(yīng)的一個特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系; (3)求直線l:x-y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程. ?a b?解 (1)設(shè)M=??, ?c d? ?a b??1??1??8?則????=8??=??, ?c d??1??1??8? ??a+b=8,故? ?c+d=8.? ?a ??c ?b??-1??-2??-a+2b=-2,???=??,故??d?? 2?? 4??-c+2d=4.

21、 聯(lián)立以上兩方程組解得a=6,b=2,c=4,d=4, ?6 2?故M=??. ?4 4? (2)由(1)知,矩陣M的特征多項式為 ?λ-6 -2?2f(λ)=??=(λ-6)(λ-4)-8=λ-10λ+16,故其另一個特征值為λ=2.? -4 λ-4? ?x??6x+2y??x?設(shè)矩陣M的另一個特征向量是e2=??,則Me2=??=2??,解得2x+y=0. y4x+4y?????y? (3)設(shè)點(x,y)是直線l上的任一點,其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(x′,y′), ?6 2??x??x′?則????=??, ?4 4??y??y′

22、? 1113即x=y(tǒng)′,y=-x′,代入直線l的方程后并化簡得x′-y′+2=0,即x4848 - 7 - -y+2=0. ?1 10.已知曲線C:y=2x,在矩陣M=??0 20??0 -1?C1在矩陣N=??對應(yīng)的變換作用下得到曲線C1,?2??1 0? 對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2,求曲線C2的方程. ?0 -1??1 0??0 -2?解 設(shè)A=NM,則A=????=??, ?1 0??0 2??1 0? 設(shè)P(x′,y′)是曲線C上任一點,在兩次變換下,在曲線C2上的對應(yīng)的點為P(x,y), ??x?0 -2??x′

23、??-2y′?則?=????=??, ?y1 0y′ x′??????? ??x=-2y′,即??y=x′,? x′=y(tǒng),??∴?1y′=-.?2? 2 又點P(x′,y′)在曲線C:y=2x上, 1212)=2y,即y=x. 28 ?a 11.設(shè)曲線2x+2xy+y=1在矩陣A=??b 220??(a>0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x+y=1?22 1. (1)求實數(shù)a,b的值; (2)求A的逆矩陣. 解 (1)設(shè)曲線2x+2xy+y=1上任意點P(x,y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是P′(x′,22

24、2 y′). ?x′??a 由??=??y′??b 0??x??x′=ax,?? ax??=,得??????1??y??bx+y??y′=bx+y. 222 2又點P′(x′,y′)在x+y=1上,所以x′+y′=1, 即ax+(bx+y)=1, 整理得(a+b)x+2bxy+y=1. 22???a+b=2,?a=1,?依題意得解得??2b=2,?b=1,?? ??a=1,因為a>0,所以??b=1.?2222222 0? ??a=-1,或??b=1.? 0??1 0??1 0??1 2,A=?????

25、=?1??1 1??1 1??2 ?1 0?22-1所以|A|=1,(A)=??. ?-2 1? ? 1 -3??1 2?12.已知矩陣A=??,B=??. ?-1 -1??0 1?(2)由(1)知,A=? ?1 ?1 ?. 1?- 8 - (1)求(AB); (2)求直線2x+y-5=0在(AB)對應(yīng)變換作用下的直線方程. ? 1 -3??1 2?? 1 -1?解 (1)AB=????=??, ?-1 -1??0 1??-1 -3? 又|AB|=-3-1=-4, 31 -44-1∴(AB)=. 11- -44-1-1????(2)設(shè)P(x0,y0)是直線2x+y-5=0上任一點,P′(x,y)是在變換作用下點P的像, 31 -44?x0?x0?x?-1??則有??=(AB)??=??. yy11???0??y0?- -44????31x=x-y,??44∴?11y=-x??44.0000 ∴???x0=x-y, ??y0=-x-3y. 代入直線方程2x+y-5=0,得2(x-y)-(x+3y)-5=0,即x-5y-5=0,即為所求的直線方程. - 9 -

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