備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 糾錯(cuò)筆記系列 專題10 圓錐曲線 文
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1、 專題10 圓錐曲線 易錯(cuò)點(diǎn)1 忽略橢圓定義中的限制條件 若方程表示橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________________. 【錯(cuò)解】由,可得,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(6,8). 【錯(cuò)因分析】忽略了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b>0這一限制條件,當(dāng)a=b>0時(shí)表示的是圓的方程. 【試題解析】由,可得且,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(6,7)∪(7,8). 【方法點(diǎn)睛】準(zhǔn)確理解橢圓的定義,明確橢圓定義中的限制條件,才能減少解題過程中的失誤,從而保證解題的正確性. 【參考答案】(6,7)∪(7,8). 平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)之間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.
2、 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距,記作. 定義式:. 要注意,該常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離,才能構(gòu)成橢圓. 1.已知F1,F(xiàn)2為兩定點(diǎn),|F1F2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段 【答案】D 平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)之間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.若忽略了橢圓定義中|F1F2|<2a這一隱含條件,就會(huì)錯(cuò)誤地得出點(diǎn)M的軌跡是橢圓. 易錯(cuò)點(diǎn)2 忽略對(duì)橢圓焦點(diǎn)位置的討論 已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,并且焦距為8,則實(shí)數(shù)k的值為_____________
3、. 【錯(cuò)解1】因?yàn)?c=8,所以c=4,由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2=36,b2=k2,a2=b2+c2, 所以36=k2+42,即k2=20,又k>0,故. 【錯(cuò)解2】因?yàn)?c=8,所以c=4,由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2=k2,b2=36,a2=b2+c2, 所以k2=36+42,即k2=52,又k>0,故. 【錯(cuò)因分析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不確定時(shí),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要進(jìn)行分類討論,而錯(cuò)解中忽略了對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置的討論,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 【試題解析】因?yàn)?c=8,所以c=4, ①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2=36,b2=k2,a2=b2+c2, 所以36=k2+42,即k2=2
4、0, 又k>0,故; ②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2=k2,b2=36,a2=b2+c2, 所以k2=36+42,即k2=52, 又k>0,故. 綜上,或. 【方法點(diǎn)睛】涉及橢圓方程的問題,如果沒有指明橢圓焦點(diǎn)所在的位置,一般都會(huì)有兩種可能的情形,不能順著思維定式,想當(dāng)然地認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上或y軸上去求解. 【參考答案】或. 1.解決已知橢圓的焦點(diǎn)位置求方程中的參數(shù)問題,應(yīng)注意結(jié)合焦點(diǎn)位置與橢圓方程形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解. 對(duì)于方程, ①表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓且; ②表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且; ③表示橢圓且. 對(duì)于形如:Ax2+By2=1(其中A>0,B
5、>0,A≠B)的橢圓的方程,其包含焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況,當(dāng)B>A時(shí),表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;當(dāng)B<A時(shí),表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓. 2.求橢圓的方程有兩種方法: (1)定義法.根據(jù)橢圓的定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程. (2)待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法,其一般步驟是: 第一步,做判斷.根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,還是在y軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能(這時(shí)需要分類討論). 第二步,設(shè)方程.根據(jù)上述判斷設(shè)方程為或. 第三步,找關(guān)系.根據(jù)已知條件,建立關(guān)于的方程組(注意橢圓中固有的等式關(guān)系). 第四步,得橢圓方程.解方程組,將
6、解代入所設(shè)方程,即為所求. 3.用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí),要“先定型,再定量”,不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí),需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論,也可設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1(其中A>0,B>0,A≠B). 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法可以采用待定系數(shù)法,此時(shí)要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;也可以利用橢圓的定義及焦點(diǎn)位置或點(diǎn)的坐標(biāo)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.已知橢圓的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,離心率e=,且過點(diǎn)P(2,3),求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【答案】+=1或+=1. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1或+=1. 本
7、題在求解時(shí)容易忽略焦點(diǎn)的位置,而默認(rèn)了橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.為了避免討論,也可以如下方法設(shè)橢圓方程: 與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為且,與橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為,焦點(diǎn)在x軸上或,焦點(diǎn)在y軸上. 易錯(cuò)點(diǎn)3 忽略橢圓的范圍 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率,已知點(diǎn)到橢圓的最遠(yuǎn)距離為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【錯(cuò)解】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為, 則,故,即. 設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為d, 則, 所以當(dāng)時(shí),取得最大值,從而d取得最大值, 所以,解得,. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中“當(dāng)時(shí),取得最大值”這一步
8、的推理是錯(cuò)誤的,沒有考慮橢圓方程中y的取值范圍,事實(shí)上,由于點(diǎn)在橢圓上,所以,因此在求的最大值時(shí),應(yīng)分類討論. 【方法點(diǎn)睛】準(zhǔn)確把握橢圓定義中的限制條件,是正確解題的前提,在求解時(shí),應(yīng)做到步步有依據(jù),這樣才能避免出錯(cuò). 【參考答案】. 1.橢圓的范圍就是方程中變量x,y的范圍,由得,則;,則.故橢圓落在直線x=±a,y=±b圍成的矩形內(nèi),因此用描點(diǎn)法畫橢圓的圖形時(shí)就可以不取“矩形”范圍以外的點(diǎn)了.同時(shí),在處理橢圓的一些參數(shù)或最值問題時(shí)要注意x,y的取值范圍. 2.設(shè)橢圓上任意一點(diǎn),則當(dāng)時(shí),有最小值b,P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處;當(dāng)時(shí),有最大值a,P點(diǎn)在長軸端點(diǎn)處. 3.(1)解決橢圓+
9、=1(a>b>0)中的范圍問題常用的關(guān)系有:
①-a≤x≤a,-b≤y≤b;
②離心率0 10、1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知圓O:x2+y2=1,直線l:mx+ny=1,試證:當(dāng)點(diǎn)P(m,n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l與圓O恒相交,并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍.
?【答案】(1)+=1.(2)≤L≤.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)在橢圓C上,所以+=1,即n2=16-.
又原點(diǎn)到直線l:mx+ny=1的距離,所以直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1恒相交,則,因?yàn)?5≤m≤5,所以≤L≤.
易錯(cuò)點(diǎn)4 忽略雙曲線定義中的限制條件
已知F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當(dāng)a為3和5時(shí),點(diǎn)P的軌跡分別為
A. 11、雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線
C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線
【錯(cuò)解】依題意得,當(dāng)時(shí),,故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;當(dāng)時(shí),,故點(diǎn)P的軌跡為一條射線.故選B.
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了雙曲線定義中的限制條件“差的絕對(duì)值”,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
【試題解析】依題意得,當(dāng)時(shí),,且,點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支;當(dāng)時(shí),,故點(diǎn)P的軌跡為一條射線.故選D.
【參考答案】D.
在求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問題時(shí),準(zhǔn)確理解雙曲線的定義,才能正確解題.
當(dāng)||MF1|-|MF2||=2a<|F1F2|(a>0),即|MF1|-|MF2|=±2a,0<2a<|F1F2|時(shí),點(diǎn)M的軌 12、跡是雙曲線,其中取正號(hào)時(shí)為雙曲線的右(上)支,取負(fù)號(hào)時(shí)為雙曲線的左(下)支;
當(dāng)||MF1|-|MF2||=2a=|F1F2|(a>0)時(shí),點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F1,F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線;
當(dāng)||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|(a>0)時(shí),點(diǎn)M的軌跡不存在.
4.當(dāng)0°≤α≤180°時(shí),方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲線怎樣變化?
易錯(cuò)點(diǎn)5 忽略雙曲線中的隱含條件
已知M是雙曲線上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且,則______.
【錯(cuò)解】由雙曲線的定義可知,,因?yàn)?,所以或?
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了雙曲線中的一個(gè)隱含條件,即雙曲線上的點(diǎn)到 13、任一焦點(diǎn)的距離都大于等于c-a,從而兩解中要舍去不滿足要求的那個(gè).
【試題解析】由雙曲線方程可得,,,
由雙曲線的圖形可得點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離.
因?yàn)?,,所?舍去)或.
【參考答案】33
1.在求解雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離d時(shí),一定要注意這一隱含條件.
2.雙曲線方程中的大小關(guān)系是不確定的,但必有.
3.由,知≥1,所以x≤-a或x≥a,因此雙曲線位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面區(qū)域內(nèi),同時(shí),也指明了坐標(biāo)系內(nèi)雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
關(guān)于雙曲線內(nèi)線段最長或最短(距離最遠(yuǎn)或最近)問題,有以下結(jié)論:
(1)雙曲線的左、右頂點(diǎn)距離相應(yīng)焦點(diǎn)最近;
(2)雙曲 14、線上一點(diǎn)與某焦點(diǎn)的距離的值最小為c-a;
(3)對(duì)于已知雙曲線內(nèi)(或外)一定點(diǎn)M,求雙曲線上一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P與相應(yīng)焦點(diǎn)的距離與的和最小的問題,當(dāng)涉及的三點(diǎn)共線時(shí)取得最值.
5.已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則·的最小值為_______.?
【答案】-2
【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),其中x≥1.
依題意,得A1(-1,0),F2(2,0),則·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4(x-)2-.
因此當(dāng)x=1時(shí),·取得最小值-2.
易錯(cuò)點(diǎn)6 忽略雙曲線的焦點(diǎn)所 15、在位置的討論
已知雙曲線的漸近線方程是,焦距為,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【錯(cuò)解】由題意知,且,兩式聯(lián)立解得,,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解的原因是未審清題目條件,而誤認(rèn)為焦點(diǎn)一定在x軸上,從而導(dǎo)致漏解.
【試題解析】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),由且,兩式聯(lián)立解得,,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),由且,兩式聯(lián)立解得,,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
綜上,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
【參考答案】或.
1.求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),先確定雙曲線的類型,也就是確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸,從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后利用 16、待定系數(shù)法求出方程中的的值,最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
對(duì)于方程
表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
表示雙曲線
對(duì)于雙曲線的漸近線,有下面兩種考查方式:
(1)已知雙曲線的方程求其漸近線方程;
(2)給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程,由漸近線方程可確定a,b的關(guān)系,結(jié)合已知條件可解.
注意:焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為;焦點(diǎn)在y軸上,漸近線方程為.
2.在求雙曲線的方程時(shí),若不知道焦點(diǎn)的位置,則進(jìn)行討論,或可直接設(shè)雙曲線的方程為.
已知雙曲線的漸近線方程,而不知焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時(shí),雙曲線的方程有兩個(gè),為避免分類討論,可設(shè)雙曲線方程為.
因此,與 17、雙曲線(a>0,b>0)有共同漸近線的雙曲線方程為;與雙曲線(a>0,b>0)有共同漸近線的雙曲線方程為.
6.雙曲線的漸近線方程為y=±x,則離心率為
A. B.
C.或 D.或
【答案】C
由條件尋找滿足的等式或不等式,一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心
率公式變形,即,注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系,在橢圓中,而在雙曲線中.
易錯(cuò)點(diǎn)7 忽略直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況
若過點(diǎn)且斜率為k的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則___________.
【錯(cuò)解】由題意可得,代入雙曲線方程得.
由題意可知,解得.
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了直線與雙 18、曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).
【試題解析】由題意可得,代入雙曲線方程得.
當(dāng),即時(shí),直線l與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)時(shí),,解得.
綜上,當(dāng)或時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).
【方法點(diǎn)睛】解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時(shí),要注意討論聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元后得到的方程是否為一元一次方程,即二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,因?yàn)橹本€與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況.
【參考答案】或.
1. 直線與雙曲線有三種位置關(guān)系:
(1)無公共點(diǎn),此時(shí)直線有可能為雙曲線的漸近線.
(2)有一個(gè)公共點(diǎn),分兩種情況:
①直線是雙 19、曲線的切線,特別地,直線過雙曲線一個(gè)頂點(diǎn),且垂直于實(shí)軸;
②直線與雙曲線的一條漸近線平行,與雙曲線的一支有一個(gè)公共點(diǎn).
(3)有兩個(gè)公共點(diǎn),可能都在雙曲線一支上,也可能兩支上各有一點(diǎn).
2.研究直線與雙曲線位置關(guān)系的一般思路仍然是聯(lián)立二者的方程,解方程組或者轉(zhuǎn)化為一元二次方程,依據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解.要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項(xiàng)系數(shù),即若二次項(xiàng)系數(shù)為0,則直線與雙曲線的漸近線平行或重合;若二次項(xiàng)系數(shù)不為0,則進(jìn)一步研究二次方程的根的判別式,得到直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
7.已知雙曲線C:2x2-y2=2與點(diǎn)P(1,2).
(1)若直線l過點(diǎn)P,求當(dāng)直線l與雙曲線C 20、分別有一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)時(shí)直線l的斜率k滿足的條件;
(2)若Q(1,1),試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.
【答案】(1)見解析;(2)以Q為中點(diǎn)的弦不存在.
(ii)當(dāng)2-k2≠0,即k≠±時(shí),
Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k).
①當(dāng)Δ=0,即k=時(shí),方程(*)有兩個(gè)相等的實(shí)根,即l與C有一個(gè)交點(diǎn).
②當(dāng)Δ>0時(shí),k<,且k≠±,即當(dāng)k<-或- 21、;
當(dāng) 22、置有嚴(yán)格的要求.若從題意中無法判斷方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程,可按求曲線方程的一般步驟求解.
2.拋物線定義中要求直線l不經(jīng)過點(diǎn)F,若l經(jīng)過F點(diǎn),則軌跡為過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線.因此當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離相等時(shí),不能盲目套用拋物線定義.
8.動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,1)的距離與它到直線的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.直線
【答案】D
易錯(cuò)點(diǎn)9 忽略拋物線的焦點(diǎn)所在位置的討論
設(shè)拋物線y2=mx的準(zhǔn)線與直線x=1的距離為3,求拋物線的方程.
【錯(cuò)解】易知準(zhǔn)線方程為x=-,
因?yàn)闇?zhǔn)線與直線x=1的距離為3,
23、所以準(zhǔn)線方程為x=-2,
所以-=-2,解得m=8,
故拋物線方程為y2=8x.
【錯(cuò)因分析】題目條件中未給出m的符號(hào),當(dāng)m>0或m<0時(shí),拋物線的準(zhǔn)線是不同的,錯(cuò)解中考慮問題欠周到.
【試題解析】當(dāng)m>0時(shí),準(zhǔn)線方程為x=-,
由條件知1-(-)=3,所以m=8.
此時(shí)拋物線方程為y2=8x;
當(dāng)m<0時(shí),準(zhǔn)線方程為x=-,
由條件知--1=3,所以m=-16,
此時(shí)拋物線方程為y2=-16x.
所以所求拋物線方程為y2=8x或y2=-16x.
【參考答案】y2=8x或y2=-16x.
1.拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程與對(duì)應(yīng)圖形如下表所示:
圖 形
標(biāo) 24、準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
注:拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是:拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,所以p的值永遠(yuǎn)大于0.
2.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)的位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下,由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù),只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟:
若無法確定拋物線的位置,則需分類討論.特別地,已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo),一般有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.
9.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上且通徑長為6的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
【答案】y2=±6x.
25、
本題若只考慮焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的情況,而忽略了焦點(diǎn)也可能在x軸的負(fù)半軸上的情況,則會(huì)出現(xiàn)漏解.
易錯(cuò)點(diǎn)10 忽略直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況
求過定點(diǎn),且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程.
【錯(cuò)解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足題意.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,
由消去x,得,
則,解得.
故所求直線l的方程為或.
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn),故產(chǎn)生漏解.
【試題解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足題意.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l:,
當(dāng)時(shí),直線l的方程為,此時(shí)直線l與拋物線只有一 26、個(gè)公共點(diǎn).
當(dāng)時(shí),與拋物線方程聯(lián)立消去x,得,
則,解得,
此時(shí)直線l的方程為或.
綜上,直線l的方程為或或.
【參考答案】直線l的方程為或或.
直線與拋物線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組的解的個(gè)數(shù).
(1)若,則當(dāng)時(shí),直線和拋物線相交,有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線和拋物線相切,有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線和拋物線相離,無公共點(diǎn).
(2)若,則直線與拋物線相交,有一個(gè)公共點(diǎn).特別地,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè),則當(dāng)時(shí),直線l與拋物線相交,有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線l與拋物線相切,有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線l與拋物線相離,無公共點(diǎn).
10.若直線y=kx-1與拋物線y2=4x有且只有一個(gè) 27、公共點(diǎn),則k的值為_______.
【答案】-1或0
【解析】當(dāng)k=0時(shí),數(shù)形結(jié)合知,直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k≠0時(shí),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,得,消去x,得y2-y-=0,
因而Δ=+=0,即k=-1.
從而k=-1或0.
本題易忽略直線平行于拋物線的對(duì)稱軸時(shí),直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn),而漏掉k=0.
一、橢圓
1.橢圓的定義
平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)之間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距,記作.
定義式:.
要注意,該常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離,才能構(gòu)成橢圓.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 28、方程
焦點(diǎn)在軸上,;
焦點(diǎn)在軸上,.
說明:要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系:.
3.橢圓的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
(a>b>0)
(a>b>0)
圖形
范圍
,
,
對(duì)稱性
對(duì)稱軸:x軸、y軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn)
焦點(diǎn)
左焦點(diǎn)F1 (-c,0),右焦點(diǎn)F2 (c,0)
下焦點(diǎn)F1 (0,-c),上焦點(diǎn)F2 (0,c)
頂點(diǎn)
軸
線段A1A2,B1B2分別是橢圓的長軸和短軸;
長軸長|A1A2|=2a,短軸長|B1B2|=2b,長半軸長為a,短半軸長為b
離心率e
橢圓的離心率是橢圓最重要的幾 29、何性質(zhì),求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)有兩種方法:
(1)求出a,c,代入公式.
(2)只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).
二、雙曲線
1. 雙曲線的定義
(1)定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.
這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
(2)符號(hào)語言:.
(3)當(dāng)時(shí),曲線僅表示焦點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支;
當(dāng)時(shí),曲線僅表示焦點(diǎn)所對(duì) 30、應(yīng)的雙曲線的一支;
當(dāng)時(shí),軌跡為分別以F1,F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線;
當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0),焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),焦距為2c,且.
(2)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0),焦點(diǎn)分別為F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c),焦距為2c,且.
3.雙曲線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
圖形
范圍
,
,
對(duì)稱性
對(duì)稱軸:x軸、y軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn)
焦點(diǎn)
左焦點(diǎn)F1(-c,0),右焦點(diǎn)F2(c,0)
下焦點(diǎn)F1(0 31、,-c),上焦點(diǎn)F2(0,c)
頂點(diǎn)
軸
線段A1A2是雙曲線的實(shí)軸,線段B1B2是雙曲線的虛軸;
實(shí)軸長|A1A2|=2a,虛軸長|B1B2|=2b
漸近線
離心率e
在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí),首先要注意定義中的條件的應(yīng)用;其次是要利用余弦定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算,在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用.
4.等軸雙曲線
實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線.等軸雙曲線具有以下性質(zhì):
(1)方程形式為;
(2)漸近線方程為,它們互相垂直,并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角;
(3)實(shí)軸長和虛軸長都等于,離心率.
1 32、.求雙曲線的離心率一般有兩種方法:
(1)由條件尋找滿足的等式或不等式,一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形,即.
(2)根據(jù)條件列含的齊次方程,利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程,求解可得,注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對(duì)解進(jìn)行取舍.
2.求解雙曲線的離心率的范圍,一般是根據(jù)條件,結(jié)合和,得到關(guān)于的不等式,求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍,橢圓離心率的范圍.另外,在建立關(guān)于的不等式時(shí),注意雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最值的應(yīng)用.
三、拋物線
1.拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F) 距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.
點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線 33、l叫做拋物線的準(zhǔn)線.拋物線關(guān)于過焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線垂直的直線對(duì)稱,這條直線叫拋物線的對(duì)稱軸,簡稱拋物線的軸.
注意:直線l不經(jīng)過點(diǎn)F,若l經(jīng)過F點(diǎn),則軌跡為過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線.
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(3)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(4)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
注意:拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,所以p的值永遠(yuǎn)大于0,當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)為 34、負(fù)值時(shí),不要出現(xiàn)p<0的錯(cuò)誤.
3.拋物線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖 形
幾
何
性
質(zhì)
范 圍
對(duì)稱性
關(guān)于x軸對(duì)稱
關(guān)于x軸對(duì)稱
關(guān)于y軸對(duì)稱
關(guān)于y軸對(duì)稱
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線方程
頂 點(diǎn)
坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)
離心率
4.拋物線的焦半徑
拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)F的連線段,叫做拋物線的焦半徑.
根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表:
拋物線方程
焦半徑公式
5.拋物線的焦點(diǎn)弦
拋物線的焦點(diǎn)弦即過焦點(diǎn)F的直線與拋物線所成的相交弦.
35、
焦點(diǎn)弦公式既可以運(yùn)用兩次焦半徑公式得到,也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點(diǎn)坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到,設(shè)AB為焦點(diǎn)弦,,,則
拋物線方程
焦點(diǎn)弦公式
其中,通過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸而交拋物線于A,B兩點(diǎn)的線段AB,稱為拋物線的通徑.
對(duì)于拋物線,由,,可得,故拋物線的通徑長為2p.
1.拋物線的離心率e=1,體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,因此,涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦的問題,可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,即或,使問題簡化.
2.有關(guān)拋物線上一點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F和到已 36、知點(diǎn)E(E在拋物線內(nèi))的距離之和的最小值問題,可依據(jù)拋物線的圖形,過點(diǎn)E作準(zhǔn)線l的垂線,其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E的距離之和是最小值.
四、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1.曲線的交點(diǎn)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,給定兩條曲線,已知它們的方程為,求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),即求方程組的實(shí)數(shù)解.
方程組有幾組實(shí)數(shù)解,這兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn).若方程組無實(shí)數(shù)解,則這兩條曲線沒有交點(diǎn).
2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線與圓錐曲線相交時(shí),直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),與雙曲線、拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn).
(1)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)相交;直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)相切;直線與橢圓沒有交點(diǎn)相離.
(2 37、)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)相交.
當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),除了直線與雙曲線相切外,還有可能是直線與雙曲線相交,此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行.
直線與雙曲線沒有交點(diǎn)相離.
(3)直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)相交.
當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),除了直線與拋物線相切外,還有可能是直線與拋物線相交,此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.
直線與拋物線沒有交點(diǎn)相離.
3.弦長的求解
(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解;
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),則弦長.
(3)當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.
4 38、.中點(diǎn)弦問題
(1)AB為橢圓的弦,,弦中點(diǎn)M(x0,y0),則AB所在直線的斜率為,弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.
(2)AB為雙曲線的弦,,弦中點(diǎn)M(x0,y0),則AB所在直線的斜率為,弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和雙曲線中心O的連線的斜率之積為定值.
(3)在拋物線中,以M(x0,y0) 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.
1.若橢圓的焦距為2,則的值為
A.9 B.9或16
C.7 D.9或7
【答案】D
2.若雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn),則該雙曲線的方程為
A.??????????? B.
C.???????? ?? 39、? D.
【答案】A
【解析】依題意,由橢圓的方程可得雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為與,
則c=,a=1,所以b=1,
所以雙曲線的方程為.
3.“”是“曲線=為雙曲線”的
A.充分不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
4.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,又過點(diǎn)的拋物線方程是
A. B.
C.或 D.或
【答案】D
【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,并且經(jīng)過點(diǎn)(?2,3),
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=?2px(p>0),∴9=4p,解得p=,
∴.
(2)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸 40、,并且經(jīng)過點(diǎn)(?2,3),
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0),∴4=6p,解得p=.
∴.
∴拋物線方程是或.故選D.
5.已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,
設(shè)到準(zhǔn)線的距離為,則====,
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,為.
6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為,則此雙曲線方程為
A. B.
C. D.
【答案】B
7.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為為拋物線上的一點(diǎn),且滿足,則點(diǎn)到的距離為
A. B.1
C. D.2 41、
【答案】B
【名師點(diǎn)睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ),它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,又能與距離聯(lián)系起來,那么用拋物線定義就能解決問題.因此,涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題,可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,這樣就可以使問題簡單化.
8.橢圓=和雙曲線=的公共焦點(diǎn)為是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),那么的值是______.
【答案】
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)P是第一象限的點(diǎn),
由題意可得==,
所以,
則=.
9.已知拋物線C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是拋物線上的點(diǎn).若存在 42、斜率為-2的直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且點(diǎn)A到直線l的距離等于,則直線l的方程是______.
【答案】2x+y-1=0
【解析】根據(jù)題意,得4=2p,得p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.設(shè)直線l的方程為y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0,因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由點(diǎn)A到直線l的距離d=,可得,解得t=±1.因?yàn)閠≥-,所以t=1,所以直線l的方程為2x+y-1=0.
10.已知雙曲線8kx2-ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3),求k的值.
【答案】-1
11.已知命題“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”,命題“方程表示雙曲線”.
(1 43、)若是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若“或”是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)或.
【解析】(1)命題:“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”,則,
解得.
(2)命題?“方程表示雙曲線”,則,
解得或.
若“或”是真命題,則至少一個(gè)是真命題,即一真一假或全為真.
則或或,
所以或或或.
所以或.
12.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,它的兩條漸近線的夾角為,焦距為12,求此雙曲線的方程及離心率.
【答案】見解析
13.已知拋物線=,直線=與交于兩點(diǎn),且=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為,記直線的斜率分別為,證明:為定值.
【答案 44、】(1)=;(2)見解析.
【解析】(1)將代入,得,
其中,
設(shè),則==,
所以===,
由已知==,
所以拋物線的方程為=.
14.已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)(2).
【解析】(1)由題意知.
又∵雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
,
橢圓的方程為.
(2)若直線的傾斜角為,則=,
當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí),直線的方程可設(shè)為,
由=,
由,
設(shè),
則==,
=,
,,
故的取值范圍為.
15.已知分別是橢圓的長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn) 45、,是橢圓的左、右焦點(diǎn),以點(diǎn)為圓心、3為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓的交點(diǎn)在橢圓上,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),求證:.
【答案】(1);(2)見解析.
(2)由(1)及題意可畫圖,如圖,不妨令.設(shè),則.
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___________________________________________________________________________________ 47、_____
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_______________________ 48、_________________________________________________________________
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_____________________________________________________ 49、___________________________________
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