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1、
第5練 導(dǎo)數(shù)與幾何意義
一.強(qiáng)化題型考點(diǎn)對對練
1. (導(dǎo)數(shù)的幾何意義)【2018屆山東省菏澤期中】已知函數(shù)的圖像為曲線,若曲線存在與直線少垂直的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
2.(導(dǎo)數(shù)的幾何意義與不等式的結(jié)合)已知,曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,則當(dāng)取最小值時(shí)的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可得, ,則當(dāng)時(shí), 取最小值為4,故選A.
3. (導(dǎo)數(shù)的幾何意義)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線過點(diǎn),則( )
A. B.
2、 C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?,所以切線斜率為,,切線方程為,整理得:,代入,解得,故選B.
4. (導(dǎo)數(shù)的幾何意義與不等式的結(jié)合)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率的最小值是( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為,所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率的最小值是,故選.
5.(導(dǎo)數(shù)的幾何意義)【2018屆山東省德州期中】 函數(shù)的圖像在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為( )
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
6.(導(dǎo)數(shù)的幾何意義)已知函數(shù)是定義
3、在的可導(dǎo)函數(shù), 為其導(dǎo)函數(shù),當(dāng)且時(shí), ,若曲線在處的切線的斜率為,則( )
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】令 ,則 ,所以當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí), , 所以函數(shù) 在 內(nèi)為減函數(shù), 在 內(nèi)為增函數(shù), 且在 時(shí)取得極小值,所以 , 故有 , 又 , 所以 .
7.(導(dǎo)數(shù)的幾何意義)若曲線(為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
8.(導(dǎo)數(shù)的計(jì)算)【2018屆福建省福安期中】已知的導(dǎo)函數(shù),則
A. B. C. D.
【
4、答案】A
【解析】,選A.
9. (導(dǎo)數(shù)的幾何意義)【2018屆福建省福州期中】已知函數(shù),若曲線在點(diǎn),( ,其中互不相等)處的切線互相平行,則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】函數(shù), 曲線在點(diǎn),其中互不相等)處的切線互相平行,即在點(diǎn)處的值相等,畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象,如圖, 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), 必須滿足, ,故答案為.
10. (導(dǎo)數(shù)的幾何意義與不等式的結(jié)合)已知函數(shù).
(1)當(dāng),求的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若對任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
11(導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用)【2018屆山東省菏澤期中】已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程;
(2)試判
5、斷在區(qū)間上有沒有零點(diǎn)?若有則判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【解析】(1)由已知得,有, ,∴在處的切線方程為: ,化簡得
(2)由(1)知,因?yàn)?,令,得,所以?dāng)時(shí),有,則是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)時(shí),有,則是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;又因?yàn)椋?, ,所以在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).
二.易錯(cuò)問題糾錯(cuò)練
12. (不能靈活分析問題和解決問題而致錯(cuò))已知函數(shù).
(1)過原點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線,求切點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(2)對,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)方法一:∵不等式對, 恒成立,∴對, 恒成立.設(shè), , , .①當(dāng)時(shí), , 在, 上單調(diào)遞減,即, 不符合題
6、意. ②當(dāng)時(shí), .設(shè),在, 上單調(diào)遞增,即. (?。┊?dāng)時(shí),由,得, 在, 上單調(diào)遞增,即, 符合題意; (ii)當(dāng)時(shí), , , 使得,則在, 上單調(diào)遞減,在, 上單調(diào)遞增,,則不合題意. 綜上所述, .
(Ⅱ)方法二:∵不等式對, 恒成立,∴對, 恒成立.當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,不恒成立;同理取其他值不恒成立.當(dāng)時(shí), 恒成立;當(dāng)時(shí), ,證明恒成立. 設(shè), , ,
.∴在, 為減函數(shù).,∴.
(Ⅱ)方法三:∵不等式對,恒成立,∴等價(jià)于對, 恒成立. 設(shè),當(dāng)時(shí), ;∴,函數(shù)過點(diǎn)(0,0)和(1,0),函數(shù)過點(diǎn)(1.0)
7、,在恒成立,一定存在一條過點(diǎn)(1,0)的直線和函數(shù)、都相切或,一定存在一條過點(diǎn)(1,0)的直線相切和函數(shù)相交,但交點(diǎn)橫坐標(biāo)小于1,當(dāng)都相切時(shí).不大于等于0. ∴.
【注意問題】利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,解題時(shí)候要注意導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),有時(shí)可將目標(biāo)不等式等價(jià)變形。
13.(分類討論不全而致錯(cuò))已知函數(shù).
(1)若時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,過作切線,已知切線的斜率為,求證: .
調(diào)遞減區(qū)間為;③若,當(dāng)或時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上,當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為, .當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增區(qū)間
8、為 ;單調(diào)遞減區(qū)間為,.
(2) ,設(shè)切點(diǎn),斜率為 ① 所以切線方程為 ,將代入得: ② 由 ① 知代入②得:,令,則恒成立,在單增,且, ,令,則,則,在遞減,且.
【注意問題】討論函數(shù)的單調(diào)性就是研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)問題,而導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)起到關(guān)鍵性作用,解題時(shí)要注意這些零點(diǎn)的大小關(guān)系以及與定義域的關(guān)系。
三.新題好題好好練
14.已知曲線的一條切線方程為,則實(shí)數(shù) ( ?。?
A.1 B. C. D.
【答案】B
15.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足,
若,則( )
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】因?yàn)?,所以,?/p>
9、知,則,所以,于是由,得,解得,故選D.
16.【2018屆甘肅省會(huì)寧第三次月考】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】對函數(shù),求導(dǎo)可得,∵在點(diǎn)處的切線方程為,∴,∴,∴在點(diǎn)處切線斜率為4,故選C.
17.【2018屆廣東省陽春一中第三次月考】設(shè)點(diǎn)為函數(shù)與圖象的公共點(diǎn),以為切點(diǎn)可作直線與兩曲線都相切,則實(shí)數(shù)的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
18已知曲線,則曲線的切線的斜率最小值為___________.
【答案】
【解析】令,則,所以,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,取得最小值.
19.已知曲線:,曲線:,若對于曲線上任意一點(diǎn)的切線,在曲線上總存在與垂直的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
9