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新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題22 隨機變量及其分布列 理含解析

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新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題22 隨機變量及其分布列 理含解析

1 1【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題22 隨機變量及其分布列 理(含解析)一、解答題1(20xx·安徽理,17)甲、乙兩人進行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完 5 局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨立(1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率;(2)記 X 為比賽決出勝負時的總局數(shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)分析甲在四局內(nèi)贏得比賽,即甲前兩局勝,或第一局敗,二、三局勝,或第一局勝,第二局敗,第三、四局勝比賽總局數(shù)最少2局,最多5局,求概率時,既要考慮甲勝結(jié)束,又要考慮乙勝結(jié)束由于各局比賽結(jié)果相互獨立,故按獨立事件公式計算積事件的概率解析用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,則P(Ak),P(Bk),k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)()2×()2××()2.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2),P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3),P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4),P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列為X2345PE(X)2×3×4×5×.方法點撥1.求復(fù)雜事件的概率的一般步驟:1°列出題中涉及的各事件,并且用適當?shù)姆柋硎荆?°理清各事件之間的關(guān)系,列出關(guān)系式;3°根據(jù)事件之間的關(guān)系準確選取概率公式進行計算2直接計算符合條件的事件的概率較繁時,可先間接地計算對立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率3要準確理解隨機變量取值的意義,準確把握每一個事件所包含的基本事件,然后依據(jù)類型代入概率公式進行計算4概率與統(tǒng)計知識結(jié)合的問題,先依據(jù)統(tǒng)計知識明確條件,求出有關(guān)統(tǒng)計的結(jié)論,再將所求問題簡化為純概率及其分布的問題,依據(jù)概率及其分布列、期望、方差的知識求解5離散型隨機變量的分布列的性質(zhì):設(shè)離散型隨機變量X的分布列為:Xx1x2xixnPp1p2pipn則pi0,i1,2,n;p1p2pipn1.2(20xx·重慶理,17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(1)求三種粽子各取到1個的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望分析考查了古典概型的概率以及分布列、數(shù)學(xué)期望,屬于簡單題型(1)由古典概型概率公式計算;(2)從含有2個豆沙粽的10個粽子中取3個,據(jù)此可得出X的可能取值及其概率,列出分布列求得期望解析(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”,由古典概型的概率計算公式有P(A).(2)X的可能取值為0,1,2,且P(X0),P(X1),P(X2)綜上知,X的分布列為:X012P故E(X)0×1×2×(個)方法點撥如果題目條件是從含A類物品M件,總數(shù)為N的A、B兩類物品中,抽取n件,其中含有A類物品件數(shù)X為隨機變量,則按超幾何分布公式直接計算請練習(xí)下題:一盒中有12個零件,其中有3個次品,從盒中每一次取出一個零件,取后不放回,求在取到正品前已取次數(shù)X的分布列和期望分析由于題設(shè)中要求取出次品不再放回,故應(yīng)仔細分析每一個X所對應(yīng)的事件的準確含義據(jù)此正確地計算概率p.解析X可能的取值為0、1、2、3這四個數(shù),而Xk表示,共取了k1次零件,前k次取得的是次品,第k1次取得正品,其中k0、1、2、3.(1)當X0時,第1次取到正品,試驗中止,此時P(X0).(2)當X1時,第1次取到次品,第2次取到正品,P(X1)×.(3)當X2時,前2次取到次品,第3次取到正品,P(X2)××.當X3時,前3次將次品全部取出,P(X3)××.所以X的分布列為:X0123PE(X)0×1×2×3×.3(20xx·石家莊質(zhì)檢)某商場為了了解顧客的購物信息,隨機的在商場收集了100位顧客購物的相關(guān)數(shù)據(jù),整理如下:一次購物款(單位:元)0,50)50,100)100,150)150,200)200,)顧客人數(shù)m2030n10統(tǒng)計結(jié)果顯示:100位顧客中購物款不低于100元的顧客占60%.據(jù)統(tǒng)計該商場每日大約有5000名顧客,為了增加商場銷售額度,對一次性購物不低于100元的顧客發(fā)放紀念品(每人一件)(注:視頻率為概率) (1)試確定m、n的值,并估計該商場每日應(yīng)準備紀念品的數(shù)量;(2)現(xiàn)有4人去該商場購物,求獲得紀念品的人數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望解析(1)由已知,100位顧客中購物款不低于100元的顧客有n40100×60%,n20;m100(20302010)20.該商場每日應(yīng)準備紀念品的數(shù)量大約為5000×3000件(2)由(1)可知1人購物獲得紀念品的頻率即為概率p.故4人購物獲得紀念品的人數(shù)服從二項分布B(4,)P(0)C()0()4,P(1)C()1()3,P(2)C()2()2,P(3)C()3()1,P(4)C()4()0,的分布列為01234P數(shù)學(xué)期望為E()0×1×2×3×4×.或由E()4×.方法點撥1.獨立重復(fù)試驗與二項分布一般地,如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk(k0,1,2,n)稱事件A發(fā)生的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項分布若XB(n,p),則E(X)np,D(X)np(1p)2離散型隨機變量的期望:設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則E(X)x1p1x2p2xipixnpn,D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn.3準確辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征(在每次試驗中,試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同),牢記公式Pn(k)Cpk(1p)nk,k0,1,2,n,并深刻理解其含義,是解二項分布問題的關(guān)鍵4對于復(fù)雜事件,要先辨析其構(gòu)成,依據(jù)互斥事件,或者相互獨立事件按事件的和或積的概率公式求解,還要注意含“至多”,“至少”類詞語的事件可轉(zhuǎn)化為對立事件的概率求解請練習(xí)下題:為了了解今年某校高三畢業(yè)班準備報考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì),學(xué)校對他們的體重進行了測量,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖),已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123,其中第2小組的頻數(shù)為12.(1)求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù);(2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù),若從全省報考飛行員的學(xué)生中(人數(shù)很多)任選3人,設(shè)X表示體重超過60kg的學(xué)生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望分析先由頻率直方圖中前三組頻率的比及第2小組頻數(shù)及頻率分布直方圖的性質(zhì)求出n的值和任取一個報考學(xué)生體重超過60kg的概率再由從報考飛行員的學(xué)生中任選3人知,這是三次獨立重復(fù)試驗,故X服從二項分布解析(1)設(shè)報考飛行員的人數(shù)為n,前3個小組的頻率分別為p1,p2,p3,則由條件可得:解得p10.125,p20.25,p30.375.又因為p20.25,故n48.(2)由(1)可得,一個報考學(xué)生體重超過60kg的概率為Pp3(0.0370.013)×5,由題意知X服從二項分布B(3,),P(xk)C()k()3k(k0,1,2,3),所以隨機變量X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.4(20xx·江西省質(zhì)量監(jiān)測)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示:老板根據(jù)銷售量給予店員獎勵,具體獎勵規(guī)定如下表銷售量X個X<100100X<150150X<200X200獎勵金額(元)050100150(1)求在未來連續(xù)3天里,店員共獲得獎勵150元的概率;(2)記未來連續(xù)2天,店員獲得獎勵X元,求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)解析(1)由頻率分布直方圖得店員一天獲得50元、100元、150元的概率分別是0.3,0.2,0.1,不得獎勵的概率是0.4,所以未來連續(xù)3天里,店員共獲得獎勵150元的概率P0.33A×0.3×0.2×0.4C×0.42×0.10.219;(2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300.P(X0)0.420.16,P(X50)2×0.4×0.30.24.P(X100)0.322×0.4×0.20.25,P(X150)2×0.4×0.12×0.3×0.20.20.P(X200)0.222×0.3×0.10.10,P(X250)2×0.2×0.10.04,P(X300)0.120.01,所以隨機變量X的分布列是:X050100150200250300P(X)0.160.240.250.200.100.040.01E(X)0×0.1650×0.24100×0.25150×0.20200×0.10250×0.04300×0.01100(或E(X)2(0×0.450×0.3100×0.2150×0.1)100)方法點撥概率與統(tǒng)計知識相結(jié)合是高考主要命題方式之一一般先解答統(tǒng)計問題,最后依據(jù)條件確定隨機變量的取值及其概率,再列出分布列求期望請練習(xí)下題:(20xx·江西上饒市三模)對某校高二年級學(xué)生暑期參加社會實踐次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社會實踐的次數(shù)根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:分組頻數(shù)頻率10,15)200.2515,20)48n20,25)mp25,30)40.05合計M1(1)求出表中M,p及圖中a的值;(2)在所取樣本中,從參加社會實踐的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選3人,記參加社會實踐次數(shù)在區(qū)間25,30)內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列和期望解析(1)由頻率分布表和頻率分布直方圖的知識與性質(zhì)知,0.25,n,0.25np0.051,a,解之可得M80,p0.1,a0.12.(2)參加社會實踐次數(shù)分別在20,25和25,30)的人數(shù)依次為0.1×808人,0.05×804人,從這12人中隨機抽取3人,隨機變量X的取值為0,1,2,3.P(X0),P(X1),P(X2),P(X3).分布列如下:X0123P可得E(X)1.5(20xx·河南八市質(zhì)量監(jiān)測)某市在20xx年2月份的高三期末考試中對數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示,全市10000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(115,25),現(xiàn)某校隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析,結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分到140分之間現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組,第一組80,90),第二組90,100),第六組130,140,得到如下圖所示的頻率分布直方圖(1)試估計該校數(shù)學(xué)的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);(2)這50名學(xué)生中成績在120分(含120分)以上的同學(xué)中任意抽取3人,該3人在全市前13名的人數(shù)記為X,求X的分布列和期望附:若XN(,2),則P(<X<)0.6826,P(2<X<2)0.9544,P(3<X<3)0.9974.解析(1)由頻率分布直方圖可知120,130)的頻率為:1(0.01×100.024×100.03×100.016×100.008×10)10.880.12,所以估計該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為85×0.195×0.24105×0.3115×0.16125×0.12135×0.088.522.831.518.41510.8107,所以該校的平均成績?yōu)?07.(2)由于0.0013,根據(jù)正態(tài)分布:P(1153×5<X<1153×5)0.9974,P(X130)0.0013,即0.0013×1000013,所以前13名的成績?nèi)吭?30分以上,根據(jù)頻率分布直方圖這50人中成績在130分以上(包括130分)的有0.08×504人,而在120,140的學(xué)生共有0.12×500.08×5010,所以X的取值為0,1,2,3,所以P(X0),P(X1),P(X2),P(X3).所以X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×1.2.方法點撥1.正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望為,標準差為的正態(tài)隨機變量概率密度函數(shù)為f(x)e,xR.2正態(tài)曲線的特點曲線位于x軸上方,與x軸不相交;曲線是單峰的,它關(guān)于直線x對稱;曲線在x處達到峰值;曲線與x軸之間的面積為1;當一定時,曲線隨著的變化而沿x軸平移,如圖所示;當一定時,曲線的形狀由確定越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖所示3正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值正態(tài)變量在區(qū)間(,)內(nèi)取值的概率為68.3%;正態(tài)變量在區(qū)間(2,2)內(nèi)取值的概率為95.4%;正態(tài)變量在區(qū)間(3,3)內(nèi)取值的概率為99.7%.4期望、方差的性質(zhì)E(aXb)aE(X)b;D(aXb)a2D(X)6(20xx·石家莊市一模)集成電路E由3個不同的電子元件組成,現(xiàn)由于元件老化,三個電子元件能正常工作的概率分別降為,且每個電子元件能否正常工作相互獨立若三個電子元件中至少有2個正常工作,則E能正常工作,否則就需要維修,且維修集成電路E所需費用為100元(1)求集成電路E需要維修的概率;(2)若某電子設(shè)備共由2個集成電路E組成,設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成電路所需的費用,求X的分布列和期望解析(1)三個電子元件能正常工作分別記為事件A,B,C,則P(A),P(B),P(C).依題意,集成電路E需要維修有兩種情形:3個元件都不能正常工作,概率為P1P( )P()P()P()××;3個元件中的2個不能正常工作,概率為P2P(A B C)P(A)P(B)P( C)××××××所以,集成電路E需要維修的概率為P1P2.(2)設(shè)為維修集成電路的個數(shù),則B,而X100,P(X100k)P(k)Ck2k,k0,1,2.X的分布列為:X0100200PE(X)0×100×200×或E(X)100E()100×2×.7(20xx·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接20xx年3月30日在鄭州舉行的“中國鄭州國際馬拉松賽”,舉辦單位在活動推介晚會上進行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動. 抽獎盒中裝有6個大小相同的小球,分別印有“鄭開馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標志. 搖勻后,參加者每次從盒中同時抽取兩個小球(取出后不再放回),若抽到兩個球都印有“鄭開馬拉松”標志即可獲獎,并停止取球;否則繼續(xù)抽取第一次取球就抽中獲一等獎,第二次取球抽中獲二等獎,第三次取球抽中獲三等獎,沒有抽中不獲獎活動開始后,一位參賽者問:“盒中有幾個印有鄭開馬拉松的小球?”主持人說“我只知道第一次從盒中同時抽兩球,不都是美麗綠城行標志的概率是.”(1)求盒中印有“鄭開馬拉松”小球的個數(shù); (2)若用表示這位參加者抽取的次數(shù),求的分布列及期望解析(1)設(shè)印有“美麗綠城行”的球有n個,同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標志為事件A, 則同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標志的概率是P(),由對立事件的概率知P(A)1P().即P(),解得n3.(2)由已知,兩種球各三個,可能取值分別為1、2、3,則2的含義是第一次取到兩球都印有“美麗綠城行”,第二次取球中獎;或第一次取到兩類球各一個,第二次取球中獎,P(1),P(2)··,P(3)1P(1)P(2),則的分布列為:123所以E()1×2×3×.方法點撥解決概率的實際應(yīng)用問題,先通過審題,將條件翻譯為解題需要的數(shù)學(xué)語言,再依據(jù)條件判明概率類型、弄清隨機變量取值時所表示事件的含義,并把復(fù)雜事件進行合理的分拆,轉(zhuǎn)化為簡單事件,最后代入對應(yīng)公式進行計算請再練習(xí)下題:(20xx·福建理,18)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元,其余3個均為10元,求:顧客所獲的獎勵額為60元的概率;顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成,或標有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計,并說明理由解析(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X,()依題意,得P(X60),顧客所獲的獎勵額為60元的概率為;()依題意,得X的所有可能取值為20,60,P(X60),P(X20).即X的分布列為X2060P0.50.5顧客所獲的獎勵額的期望E(X)20×0.560×0.540(元)(2)根據(jù)商場的預(yù)算,每個顧客的平均獎勵為60元,所以先尋找期望為60的可能方案,對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能是60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面積之和最小值,所以期望也不可能是60元,因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1,對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2,以下是對兩個方案的評價:對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲獎勵額為X1,則X1的分布列為X12060100PX1的期望為E(X1)20×60×100×60,X1的方差為D(X1)(2060)2×(6060)2×(10060)2× .對于方案2,即方案(20,20,40,40)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2,則X2的分布列為X2406080PX2的期望為E(X2)40×60×80×60,X2的方差為D(X2)(4060)2×(6060)2×(8060)2×.由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求,但方案2獎勵額的方差比方案1的小,所以應(yīng)選擇方案2.

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