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1、
能 力 提 升
一、選擇題
1．定義在R上的函數(shù)f(x)，存在無數(shù)個實數(shù)x滿足f(x＋2)＝f(x)，則f(x)( )
A．是周期為1的周期函數(shù)
B．是周期為2的周期函數(shù)
C．是周期為4的周期函數(shù)
D．不一定是周期函數(shù)
[答案] D
2．函數(shù)y＝2cos的最小正周期是4π，則ω等于( )
A．2 B.
C．±2 D．±
[答案] D
[解析] 4π＝，∴ω＝±.
3．(2013山師附中期中)函數(shù)y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期為( )
A. B．π
C．2π D．4π
[答案] A
[解析] ∵＋＝|sinx|＋|c
2、osx|.∴原函數(shù)的最小正周期為.
4．函數(shù)y＝的周期是( )
A．2π B．π
C. D.
[答案] C
[解析] T＝·＝.
5．函數(shù)y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，則正整數(shù)k的最小值應(yīng)是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
[答案] D
[解析] T＝＝≤2 ∴k≥4π又k∈N*
∴k最小為13，故選D.
6．定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈時，f(x)＝sinx，則f等于( )
A．－ B．1
C．－ D.
[答案] D
[解析]
3、f＝f＝f
＝f＝f＝f
＝sin＝.
二、填空題
7．(2013·江蘇)函數(shù)y＝3sin(2x＋)的最小正周期為________．
[答案] π
[解析] 本題考查三角函數(shù)的周期．T＝＝π.
8．若函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期為T，且T∈(1,3)，則正整數(shù)ω的最大值是________．
[答案] 6
[解析] T＝，又10，x∈(－∞，＋∞)，且以為最小正周期．若f＝，則sinα的值為________．
[答案] ±
[
4、解析] ∵f(x)的最小正周期為，ω>0，
∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.
由f＝3sin＝3cosα＝，
∴cosα＝.
∴sinα＝±＝±.
三、解答題
10．求下列函數(shù)的周期．
(1)y＝sin2x；
(2)y＝－cos(x＋)；
(3)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)．
[解析] 由周期函數(shù)的定義求．
(1)令f(x)＝sin2x，
∵f(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x＝f(x)．
∴函數(shù)y＝sin2x的周期為π.
(2)令f(x)＝－cos(x＋)，
∵f(x＋2π)＝－cos[(x＋2π)＋]＝－cos(x＋)＝f(x)．
∴函數(shù)y＝－
5、cos(x＋)的周期為2π.
(3)令f(x)＝sin(ωx＋φ)，
∵f(x＋)＝sin[ω(x＋)＋φ]＝sin(ωx＋φ＋2π)＝sin(ωx＋φ)＝f(x)，
∴函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期為.
11．已知函數(shù)y＝sinx＋|sinx|.
(1)畫出函數(shù)的簡圖．
(2)這個函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如果是，求出它的最小正周期．
[解析] (1)y＝sinx＋|sinx|
＝
函數(shù)圖象如圖所示．
(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，其圖象每隔2π重復一次，則函數(shù)的周期是2π.
12．已知函數(shù)y＝5cos(其中k∈N)，對任意實數(shù)a，在區(qū)間[a，a＋3]上要使函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，求k值．
[解析] 由5cos(πx－)＝，
得cos(πx－)＝.
∵函數(shù)y＝cosx在每個周期內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值為的有兩次，而區(qū)間[a，a＋3]長度為3，為了使長度為3的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值不少于4次且不多于8次，必須使3不小于2個周期長度且不大于4個周期長度．
即2×≤3，且4×≥3.
∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.
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