《數(shù)學理高考二輪專題復(fù)習與測試:第二部分 專題三 第3講 立體幾何中的向量方法 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學理高考二輪專題復(fù)習與測試:第二部分 專題三 第3講 立體幾何中的向量方法 Word版含解析(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
A級 基礎(chǔ)通關(guān)
一、選擇題
1.如圖,F(xiàn)是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點.E是BB1上一點,若D1F⊥DE,則有( )
A.B1E=EB B.B1E=2EB
C.B1E=EB D.E與B重合
解析:以D為坐標原點,以DA,DC,DD1所在直線為坐標軸建立坐標系,設(shè)正方體的棱長為2,則D(0,0,0),F(xiàn)(0,1,0),D1(0,0,2),設(shè)E(2,2,z),則=(0,1,-2),=(2,2,z),因為·=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.
答案:A
2.如圖,點A,B,C分別在空間直角坐標系O-xyz的三條坐
2、標軸上,=(0,0,2),平面ABC的法向量為n=(2,1,2),設(shè)二面角C-AB-O的大小為θ,則cos θ等于( )
A. B. C. D.-
解析:由題意可知,平面ABO的一個法向量為=(0,0,2),
由圖可知,二面角C-AB-O為銳角,
由空間向量的結(jié)論可知,cos θ===.
答案:C
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為1的正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,點D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1C1C所成的角為α,則sin α的值是( )
A. B. C. D.
解析:如圖,建立空間直角坐標系,易求點D,
3、平面AA1C1C的一個法向量是n=(1,0,0),
所以sin α=|cos〈n,〉|==.
答案:D
4.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點M,P,Q分別為棱AB,CD,BC的中點,若平行六面體的各棱長均相等,則:
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1.
以上說法正確的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:=+=+,=+=+,所以∥,所以A1M∥D1P,由線面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正確.
答案:C
4、5.(2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
解析:以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.
由條件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),
所以=(-1,0,),=(1,1,).
則cos〈,〉===.
故異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.
答案:C
二、填空題
6.(2019·東莞中學檢測)在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形
5、的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與BD所成的角的大小是________.
解析:依題意,以C為原點,建立如圖所示的直角坐標系,
設(shè)AB=BC=CD=a,AB⊥平面BCD.
則B(a,0,0),D(0,a,0),C(0,0,0),A(a,0,a).
所以=(-a,a,0),=(a,0,a).
所以cos〈,〉===-,
則〈,〉=,故AC與BD所成角為.
答案:
7.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1C1∩B1D1=E,直線AC與直線DE所成的角為α,直線DE與平面BCC1B1所成的
6、角為β,則cos(α-β)=________.
解析:因為AC⊥BD且AC⊥BB1,BD∩BB1=B,
所以AC⊥平面BB1D1D?AC⊥DE,
所以α=.
取A1D1的中點F,連EF,F(xiàn)D,易知EF⊥平面ADD1A1,則β=∠EDF.
cos(α-β)=cos=
sin∠EDF==.
答案:
三、解答題
8.(2018·北京卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F(xiàn),G分別為AA1,AC,A1C1,BB1的中點,AB=BC=,AC=AA1=2.
(1)求證:AC⊥平面BEF;
(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(3)證明
7、:直線FG與平面BCD相交.
(1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,因為CC1⊥平面ABC,
所以四邊形A1ACC1為矩形.
又E,F(xiàn)分別為AC,A1C1的中點,
所以AC⊥EF.
因為AB=BC,所以AC⊥BE.
又EF∩BE=E,
所以AC⊥平面BEF.
(2)解:由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC,
所以EF⊥平面ABC.
因為BE?平面ABC,所以EF⊥BE.
如圖建立空間直角坐標系E-xyz.由題意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),E(0,0,0),F(xiàn)(0,0,2),G(0,2,1).
所
8、以=(-1,-2,0),=(1,-2,1).
設(shè)平面BCD的法向量為n=(x0,y0,z0).
則即
令y0=-1,則x0=2,z0=-4.
于是n=(2,-1,-4).
又因為平面CC1D的法向量為=(0,2,0),
所以cos〈n,〉==-.
由題意知二面角B-CD-C1為鈍角,所以其余弦值為-.
(3)證明:由(2)知平面BCD的法向量為n=(2,-1,-4),=(0,2,-1).
因為n·=2×0+(-1)×2+(-4)×(-1)=2≠0,
所以直線FG與平面BCD相交.
9.(2019·長郡中學模擬)如圖1,直角梯形ABCD中,AD∥BC中,∠ABC=90°,E
9、,F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點,且EF∥AB,AD=2AE=2AB=4FC=4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置,使AD=AE.
(1)求證:AF∥平面CBD;
(2)求平面CBD與平面DAE所成銳角的余弦值.
(1)證明:取DE中點G,連接FG,AG,CG.
由條件CFDG,所以CFGD為平行四邊形,
所以FG∥CD.
又FG?平面CBD,CD?平面CBD,
所以FG∥平面CBD.
同理AG∥平面CBD.
又FG∩AG=G,F(xiàn)G?平面AFG,AG?平面AFG.
所以平面AFG∥平面CBD.
又AF?平面AFG,
所以AF∥平面CBD.
(2)解:因為E
10、F⊥AE,EF⊥DE,AE∩DE=E,所以EF⊥平面ADE.
又AD=AE=DE,
以AE中點H為原點,AE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(-1,0,0),D(0,0,),B(-1,-2,0),E(1,0,0),
F(1,-2,0).
因為=,所以C,
所以=,=(1,2,).
易知是平面ADE的一個法向量,=n1=(0,2,0),
設(shè)平面BCD的一個法向量為n2=(x,y,z),
由
令x=2,則y=2,z=-2,所以n2=(2,2,-2).
cos〈n1,n2〉===.
所以平面CBD與平面DAE所成銳角的余弦值為.
B級 能力提升
10.(2019
11、·天津卷)如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,
AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求證:BF∥平面ADE;
(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值為,求線段CF的長.
(1)證明:依題意,建立以A為原點,分別以,,的方向為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標系(如圖),可得A(0,0,0),
B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),
E(0,0,2).
設(shè)CF=h(h>0),則F(1,2,h).
依題意,=(1,0,0)是平面ADE的法向量.
又=(0,2,h),可得·=0,
12、又因為直線BF?平面ADE.
所以BF∥平面ADE.
(2)解:依題意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).
設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,
則即
不妨令z=1,可取n=(2,2,1).
因此有cos〈·n〉==-.
所以直線CE與平面BDE所成角的正弦值為.
(3)解:設(shè)m=(x1,y1,z1)為平面BDF的法向量,
則即
不妨令y1=1,可得m=.
由題意,有|cos〈m,n〉|===,
解得h= .經(jīng)檢驗,符合題意.
所以線段CF的長為.
11.(2019·六安一中模擬)如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長
13、都是底面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點.
(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大??;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.
(1)證明:連接BD,設(shè)AC交BD于點O,連接SO,
由題意知SO⊥平面ABCD,以O(shè)為坐標原點,
,,分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立坐標系O-xyz,
設(shè)底面邊長為a,
則高SO=a,于是S,D,C,
于是,=,=.
則·=0,故OC⊥SD,從而AC⊥SD.
(2)解:由題設(shè)知,平面PAC的一個法向量=,平面DAC的一個法向量=.
設(shè)所求二面角為θ,則cos θ==,
所以所求二面角的大小為30°.
(3)解:在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC.
根據(jù)第(2)問知是平面PAC的一個法向量,且=,=.
設(shè)=t.
則=+=+t=.
由·=0,得-+0+a2t=0,則t=.
所以當SE∶EC=2∶1時,⊥.
由于BE?平面PAC,故BE∥平面PAC.
因此在棱SC上存在點E,使BE∥平面PAC,此時SE∶EC=2∶1.