高考數(shù)學(xué) 17-18版 附加題部分 第1章 第62課 課時(shí)分層訓(xùn)練6

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(六) A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí):30分鐘) 1.某班從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務(wù),若選出的男生人數(shù)為ξ,求ξ的方差. [解] 依題意,隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布,ξ可能的取值為1,2,3. P(ξ=k)=,k=1,2,3. ξ的概率分布為 ξ 1 2 3 P E(ξ)=1×+2×+3×=2. V(ξ)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=0.4. 2.現(xiàn)有一游戲裝置如圖62-2,小球從最上方入口處投入,每次遇到黑色障礙物等可能地向左、右兩邊落下.游戲規(guī)則為:若小球最終落入A槽,得10張獎(jiǎng)票,若落入B槽,得5張

2、獎(jiǎng)票;若落入C槽,得重投一次的機(jī)會(huì),但投球的總次數(shù)不超過(guò)3次. 圖62-2 (1)求投球一次,小球落入B槽的概率; (2)設(shè)玩一次游戲能獲得的獎(jiǎng)票數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的概率分布及均值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172336】 [解] (1)由題意可知投一次小球,落入B槽的概率為2+2=. (2)落入A槽的概率為2=, 落入B槽的概率為, 落入C槽的概率為2=. X的所有可能取值為0,5,10, P(X=0)=3=, P(X=5)=+×+2×=. P(X=10)=+×+2×=. 所以X的概率分布為 X 0 5 10 P E(X)=0×+5×+10×=

3、. 3.(2017·南通二調(diào))一個(gè)摸球游戲,規(guī)則如下:在一不透明的紙盒中,裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球.參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲,從中有放回地摸球3次.參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球,然后摸球.當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí),游戲費(fèi)被沒(méi)收;當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次,2次,3次時(shí),參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍,1倍,k倍的獎(jiǎng)勵(lì)(k∈N+),且游戲費(fèi)仍退還給參加者.記參加者玩1次游戲的收益為X元. (1)求概率P(X=0)的值; (2)為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元,求k的最小值. (注:概率學(xué)源于賭博,請(qǐng)自覺遠(yuǎn)離不正當(dāng)?shù)挠螒颍? 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172337】 [解] (1)事

4、件“X=0”表示“有放回的摸球3回,所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”, 則P(X=0)=3××2=. (2)依題意,X的可能值為k,-1,1,0, 且P(X=k)=3=,P(X=-1)=3=,P(X=1)=3×2×=,P(X=0)=, 結(jié)合(1)知,參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)=k×+(-1)×+1×=(元). 為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元,所以k≥110,即kmin=110. 4.(2016·山東高考)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ).在一輪活動(dòng)中,如果兩人都猜對(duì),則“星隊(duì)”得3分;如果只有一人猜對(duì),則“星隊(duì)”得1分;如果兩人都沒(méi)猜對(duì),

5、則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是,乙每輪猜對(duì)的概率是;每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng),求: (1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率; (2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X). [解] (1)記事件A:“甲第一輪猜對(duì)”, 記事件B:“乙第一輪猜對(duì)”, 記事件C:“甲第二輪猜對(duì)”, 記事件D:“乙第二輪猜對(duì)”, 記事件E:“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”. 由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC, 由事件的獨(dú)立性與互斥性, P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(A

6、BC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+2×=, 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為. (2)由題意,隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性,得 P(X=0)=×××=, P(X=1)=2× ==, P(X=2)=×××+×××+×××+×××=, P(X=3)=×××+×××==, P(X=4)=2× ==, P(X=6)=×××==. 可得隨機(jī)變量X的概率分布為 X 0 1 2 3 4

7、 6 P 所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=. B組 能力提升 (建議用時(shí):15分鐘) 1.(2016·南京鹽城二模)甲、乙兩人投籃命中的概率分別為與,各自相互獨(dú)立.現(xiàn)兩人做投籃游戲,共比賽3局,每局每人各投一球. (1)求比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)的概率; (2)設(shè)ξ表示比賽結(jié)束后甲、乙兩人進(jìn)球數(shù)的差的絕對(duì)值,求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(ξ). [解] (1)比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)有以下幾種情況: 甲進(jìn)1球,乙進(jìn)0球;甲進(jìn)2球,乙進(jìn)1球;甲進(jìn)3球,乙進(jìn)2球. 所以比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)

8、多1個(gè)的概率 P=C23+C2C3+C3C3=. (2)ξ的取值為0,1,2,3,所以ξ的概率分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1. 2.計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立. (1)求未來(lái)4年中,至多有1年的年入流量超過(guò)120

9、的概率; (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系: 年入流量X 40<X<80 80≤X≤120 X>120 發(fā)電機(jī)最多 可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 1 2 3 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)? [解] (1)依題意,p1=P(40<X<80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7, p3=P(X>120)==0.1. 由二項(xiàng)分布知,在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為 p

10、=C(1-p3)4+C(1-p3)3p3=4+4×3×=0.947 7. (2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位:萬(wàn)元). ①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000. ②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 依題意知,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)X≥80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 000×2=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列

11、如下: Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以,E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840. ③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80≤X≤120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 000×2-800=9 200,因此P(Y=9 200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5 000×3=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1,

12、由此得Y的分布列如下: Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620. 綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái). 3.(2017·南通模擬)一位網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某網(wǎng)店,經(jīng)過(guò)一番瀏覽后,對(duì)該店鋪中的A,B,C三種商品有購(gòu)買意向.已知該網(wǎng)民購(gòu)買A種商品的概率為,購(gòu)買B種商品的概率為,購(gòu)買C種商品的概率為.假設(shè)該網(wǎng)民是否購(gòu)買這三種商品相互獨(dú)立. (1)求該網(wǎng)民至少購(gòu)買2種商品的概率; (2)用隨機(jī)變量h表示該網(wǎng)民購(gòu)買商品的種數(shù),求h的概率分布和數(shù)

13、學(xué)期望. [解] (1)記“該網(wǎng)民購(gòu)買i種商品”為事件Ai,i=2,3,則:P(A3)=××=, P(A2)=××+××+××=, 所以該網(wǎng)民至少購(gòu)買2種商品的概率為P(A3)+P(A2)=+=. 該網(wǎng)民至少購(gòu)買2種商品的概率為. (2)隨機(jī)變量h的可能取值為0,1,2,3, P(h=0)=××=, 又P(h=2)=P(A2)=,P(h=3)=P(A3)=,所以P(h=1)=1---=. 所以隨機(jī)變量h的概率分布為: h 0 1 2 3 P 故數(shù)學(xué)期望E(h)=0×+1×+2×+3×=. 4.(2017·蘇州市期中)某公司對(duì)新招聘的員工張某進(jìn)行綜

14、合能力測(cè)式,共設(shè)置了A,B,C三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目.假定張某通過(guò)項(xiàng)目A的概率為,通過(guò)項(xiàng)目B,C的概率均為a(0

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