浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第2部分 專題一 第3講 分類討論思想

1分類討論思想的含義分類討論思想就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要把研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的解題策略2分類討論的常見(jiàn)類型有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要運(yùn)用分類討論思想來(lái)解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法(6)由實(shí)際意義引起的討論：此類問(wèn)題常常出現(xiàn)在應(yīng)用題中3分類討論解題的步驟(1)確定分類討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論(2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理的分類來(lái)源:Zxxk.Com(3)逐類討論：即對(duì)各類問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納角度一由概念、法則、公式引起的分類討論例1設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n1,2,3，)，則q的取值范圍是_思維流程解析因?yàn)閍n是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1S1>0，q0.當(dāng)q1時(shí)，Snna1>0；當(dāng)q1時(shí)，Sn>0，即>0(n1,2,3，)，則有或，由得1<q<1，由得q>1.故q的取值范圍是(1,0)(0，)答案(1,0)(0，)規(guī)律·總結(jié)四步解決由概念、法則、公式引起的分類討論問(wèn)題第一步：確定需分類的目標(biāo)與對(duì)象即確定需要分類的目標(biāo)，一般把需要用到公式、定理解決問(wèn)題的對(duì)象作為分類目標(biāo)第二步：根據(jù)公式、定理確定分類標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)用公式、定理對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行區(qū)分第三步：分類解決“分目標(biāo)”問(wèn)題對(duì)分類出來(lái)的“分目標(biāo)”分別進(jìn)行處理第四步：匯總“分目標(biāo)”將“分目標(biāo)”問(wèn)題進(jìn)行匯總，并作進(jìn)一步處理1設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線C的離心率等于()A.或B.或2C.或2 D.或解析：選A不妨設(shè)|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0，若該曲線為橢圓，則有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若該曲線為雙曲線，則有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.角度二由參數(shù)變化而引起的分類討論來(lái)源:學(xué)§科§網(wǎng)例2已知aR，求函數(shù)f(x)x2|xa|在區(qū)間1,2上的最小值思維流程解設(shè)函數(shù)f(x)x2|xa|在區(qū)間1,2上的最小值為m.當(dāng)a1時(shí)，在區(qū)間1,2上，f(x)x3ax2，因?yàn)閒(x)3x22ax3x>0，x(1,2)，則f(x)是區(qū)間1,2上的增函數(shù)，所以mf(1)1a.當(dāng)1<a2時(shí)，在區(qū)間1,2上，f(x)x2|xa|0，由f(a)0，知mf(a)0.當(dāng)a>2時(shí)，在區(qū)間1,2上，f(x)ax2x3，f(x)2ax3x23x.若a3，在區(qū)間(1,2)上，f(x)>0，則f(x)是區(qū)間1,2上的增函數(shù)，所以mf(1)a1；若2<a<3，則1<a<2，當(dāng)1<x<a時(shí)，f(x)>0，則f(x)是區(qū)間上的增函數(shù)，當(dāng)a<x<2時(shí)，f(x)<0，則f(x)是區(qū)間上的減函數(shù)，因此當(dāng)2<a<3時(shí)，mf(1)a1或mf(2)4(a2)當(dāng)2<a時(shí)，4(a2)a1，故mf(2)4(a2)，當(dāng)<a<3時(shí)，4(a2)>a1，故mf(1)a1.綜上所述，函數(shù)的最小值m規(guī)律·總結(jié)兩類與參數(shù)有關(guān)的分類討論問(wèn)題(1)由于所求的變量或參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不同，所以要對(duì)某些問(wèn)題中所求的變量進(jìn)行討論；(2)有的問(wèn)題中雖然不需要對(duì)變量討論，但卻要對(duì)參數(shù)討論在求解時(shí)要注意討論的對(duì)象，同時(shí)應(yīng)理順討論的目的2(2013·東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax3x21(xR)，其中a>0.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)若在區(qū)間上，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分兩種情況討論：若0<a2，則.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0f(x)0f(x)極大值當(dāng)x時(shí)，f(x)>0等價(jià)于即解不等式組得5<a<5.因此0<a2.若a>2，則0<<.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0f(x)00f(x)極大值極小值當(dāng)x時(shí)，f(x)>0等價(jià)于即解不等式組得<a<5或a<.因此2<a<5.綜合，可知a的取值范圍為(0,5).角度三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論例3(2013·長(zhǎng)沙模擬) 在約束條件下，當(dāng)3s5時(shí)，z3x2y的最大值的變化范圍是()A6,15 B7,15C6,8 D7,8思維流程解析由取點(diǎn)A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4)(1)當(dāng)3s<4時(shí)，可行域是四邊形OABC，如圖(1)所示此時(shí)，7z<8. 圖(1) 圖(2)(2)當(dāng)4s5時(shí)，此時(shí)可行域是OAC，如圖(2)所示zmax8.綜上，z3x2y最大值的變化范圍是7,8答案D規(guī)律·總結(jié)幾類常見(jiàn)的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論(1)二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化；(2)函數(shù)問(wèn)題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖像形狀的變化；(4)直線由斜率引起的位置變化；(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等3拋物線y24px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPF為等腰三角形，則這樣的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A2 B3C4 D6解析：選C當(dāng)|PO|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對(duì)|FO|FP|的情形，點(diǎn)P不存在事實(shí)上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|p，|FP|，若 p，則有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當(dāng)x0時(shí)，不構(gòu)成三角形；當(dāng)x2p時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾所以符合要求的P點(diǎn)一共有4個(gè)1中學(xué)數(shù)學(xué)教材中與分類討論有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)(1)絕對(duì)值的定義；(2)一元二次方程根的判別式與根的情況；(3)二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)與拋物線的開口方向；(4)反比例函數(shù)y(x0)的反比例系數(shù)k，正比例函數(shù)ykx的比例系數(shù)k，一次函數(shù)ykxb的斜率k與圖像位置及函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；(5)冪函數(shù)yx的冪指數(shù)的正、負(fù)與定義域、單調(diào)性、奇偶性的關(guān)系；(6)指數(shù)函數(shù)yax及其反函數(shù)yloga x中底數(shù)a>1及0<a<1對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響；(7)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中q1與q1的區(qū)別；(8)不等式性質(zhì)中兩邊同乘(除)以正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)對(duì)不等號(hào)方向的影響；(9)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論；(10)運(yùn)用點(diǎn)斜式、斜截式直線方程時(shí)斜率k是否存在2利用分類討論思想應(yīng)注意以下問(wèn)題(1)分類討論要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”(2)分類討論時(shí)要根據(jù)題設(shè)條件確定討論的級(jí)別，再確定每級(jí)討論的對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn)，每級(jí)討論中所分類別應(yīng)做到與前面所述不重不漏，最后將討論結(jié)果歸類合并其中級(jí)別與級(jí)別之間有嚴(yán)格的先后順序、類別和類別之間沒(méi)有先后；最后整合時(shí)要注意是取交集、并集，還是既不取交集也不取并集只是分條列出數(shù)學(xué)思想專練(三)一、選擇題1(2013·南昌模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S3S62S9，則數(shù)列的公比q是()A B.C D.解析：選C若q1，則有S33a1，S66a1，S99a1，但a10，即得S3S62S9，與題設(shè)矛盾，故q1.又依題意S3S62S9，即2·，化簡(jiǎn)得q3(2q6q31)0，即(2q31)·(q31)0，因?yàn)閝1，所以q310，則2q310，解得q.2. 已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實(shí)數(shù)a的值等于()A3 B1C1 D3解析：選Af(1)212，由f(a)f(1)0，得f(a)2.若a>0，則f(a)2a，因?yàn)?a>201，所以f(a)2無(wú)解；若a0，則f(a)a1，由f(a)2，即a12，解得a3，顯然滿足a0.綜上所述，a3.3正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形，則它的體積為()A. B4C. D4或解析：選D當(dāng)矩形長(zhǎng)、寬分別為6和4時(shí)，體積V2×××44；當(dāng)長(zhǎng)、寬分別為4和6時(shí)，體積V×××6.4a、b、c、d是空間的四條直線，如果ac，bc，ad，bd，那么()Aab或cdBa、b、c、d中任何兩條直線都不平行Cab且cdDa、b、c、d中至多有一對(duì)直線平行解析：選A(1)若a、b相交，必須確定一個(gè)平面，由題設(shè)知c，d，則cd；(2)若ab，則滿足題設(shè)條件的直線c、d的位置關(guān)系不確定，可能平行，可能相交，也可能異面；(3)若a、b異面，由ca，cb，得c平行或重合于a、b的公垂線，同理d也平行或重合于a、b的公垂線，于是cd.綜上所述，ab或cd必有一個(gè)成立5設(shè)集合Ax|x2x120，集合Bx|kx10，如果ABA，則由實(shí)數(shù)k組成的集合中所有元素的和與積分別為()A，0 B.，0C.， D.，來(lái)源:Zxxk.Com解析：選AA4,3當(dāng)k0時(shí)，B，符合要求；當(dāng)k0時(shí)，x.由ABA知BA，所以4或3，所以k或k，所以實(shí)數(shù)k組成的集合中所有元素的和與積分別為，0.6若不等式(a2)x22(a2)x4<0對(duì)一切xR恒成立，則a的取值范圍是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)解析：選C當(dāng)a20即a2時(shí)，不等式為4<0，恒成立，所以a2；當(dāng)a20時(shí)，則a滿足解得2<a<2，所以a的范圍是a|2<a2二、填空題7對(duì)于任意的兩個(gè)正數(shù)m，n，定義運(yùn)算：當(dāng)m，n都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時(shí)，mn；當(dāng)m，n為一奇一偶時(shí)，mn，設(shè)集合A(a，b)|ab6，a，bN*，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為_解析：(1)當(dāng)a，b都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時(shí)，6ab12，即2104866111395712，故符合題意的點(diǎn)(a，b)有2×5111個(gè)(2)當(dāng)a，b為一奇一偶時(shí)，6ab36，即1×363×124×936，故符合題意的點(diǎn)(a，b)有2×36個(gè)綜上所述，集合A中的元素共有17個(gè)答案：178已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2ansin2，則該數(shù)列的前20項(xiàng)的和為_解析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an2an1，故奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，其前10項(xiàng)之和等于1×1055；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an22an，故偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，其前10項(xiàng)之和為21122 046.所以，數(shù)列an的前20項(xiàng)之和為552 0462 101.答案：2 1019若x>0且x1，則函數(shù)ylg xlogx10的值域?yàn)開解析：當(dāng)x>1時(shí)，ylg xlogx10lg x2 2；當(dāng)0<x<1時(shí)，ylg xlogx102 2.所以函數(shù)的值域?yàn)?，22，)答案：(，22，)三、解答題10已知函數(shù)f(x)ax3(a2)x26x3.(1)當(dāng)a>2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極小值；(2)試討論函數(shù)yf(x)的圖像與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：(1)f(x)3ax23(a2)x63a(x1)，易求得函數(shù)f(x)的極小值為f(1).(2)a0，則f(x)3(x1)2，f(x)的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)；若a<0，則f(x)的極大值為f(1)>0，f(x)的極小值為f<0，f(x)的圖像與x軸有3個(gè)交點(diǎn)；若0<a<2，則f(x)的極大值為f(1)<0，f(x)的極小值為f<0，f(x)的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)，若a2，則f(x)6(x1)20，f(x)的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)；若a>2，由(1)知f(x)的極大值為f42<0，f(x)的極小值為f(1)<0，f(x)的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)；綜上知，若a0，則f(x)的圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)；若a<0，則f(x)的圖像與x軸有3個(gè)交點(diǎn)11(2013·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)x32x2(2a)x1，其中a>0.來(lái)源:Zxxk.Com(1)若a2，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間2,3上的最小值解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)2x24x2a.當(dāng)a2時(shí)，f(1)，f(1)2，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y2(x1)，即切線方程為6x3y50.(2)方程f(x)0的判別式為8a>0.令f(x)0，得x11或x21.f(x)和f(x)的變化情況如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)0<a2時(shí)，x22，此時(shí)f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(2)2a.當(dāng)2<a<8時(shí)，x1<2<x2<3，此時(shí)f(x)在區(qū)間(2，x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2,3)上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(x2)a.當(dāng)a8時(shí)，x1<2<3x2，此時(shí)f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(3)73a.綜上，當(dāng)0<a2時(shí)，f(x)在區(qū)間2,3的最小值是2a；當(dāng)2<a<8時(shí)，f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是a；當(dāng)a8時(shí)，f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是73a.12(2013·東莞模擬)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，點(diǎn)F(1,0)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，·.(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)t使t成立，求實(shí)數(shù)t的值和直線l的方程解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，則a2b21.當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，··1，則1，即a22b4.由消去a得2b4b210.b21或b2(舍去)當(dāng)b21時(shí)，a22，因此橢圓C的方程為y21.(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易求A，B，P(0,1)，所以，(1，1)，由t使t，得t2，直線l的方程為x1，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x1，y11)，(x2，y21)，(1，1)，由t，得即因?yàn)閥1k(x11)，y2k(x21)，所以y1y2k(x1x22)，解得k1，此時(shí)，直線l的方程為yx1，聯(lián)立得3x24x0，tx1x2，所以，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，t，直線l的方程為yx1，綜上所述，存在實(shí)數(shù)t且t2時(shí)，直線方程為x1；當(dāng)t時(shí)，直線l的方程為yx1.