浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第2部分 專題一 第3講 分類討論思想

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1、1分類討論思想的含義分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，需要把研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一類分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略2分類討論的常見類型有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學(xué)運算要

2、求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關(guān)系等(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法(6)由實際意義引起的討論：此類問題常常出現(xiàn)在應(yīng)用題中3分類討論解題的步驟(1)確定分類討論的對象：即對哪個變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論(2)對所討論的對象進(jìn)行合理的分類來源:

3、Zxxk.Com(3)逐類討論：即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納角度一由概念、法則、公式引起的分類討論例1設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項和Sn0(n1,2,3，)，則q的取值范圍是_思維流程解析因為an是等比數(shù)列，Sn0，可得a1S10，q0.當(dāng)q1時，Snna10；當(dāng)q1時，Sn0，即0(n1,2,3，)，則有或，由得1q1.故q的取值范圍是(1,0)(0，)答案(1,0)(0，)規(guī)律總結(jié)四步解決由概念、法則、公式引起的分類討論問題第一步：確定需分類的目標(biāo)與對象即確定需要分類的目標(biāo)，一般把需要用到公式、定理解決問題的對象作為分類目標(biāo)第二步：根據(jù)公式、定理確定

4、分類標(biāo)準(zhǔn)運用公式、定理對分類對象進(jìn)行區(qū)分第三步：分類解決“分目標(biāo)”問題對分類出來的“分目標(biāo)”分別進(jìn)行處理第四步：匯總“分目標(biāo)”將“分目標(biāo)”問題進(jìn)行匯總，并作進(jìn)一步處理1設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線C的離心率等于()A.或B.或2C.或2 D.或解析：選A不妨設(shè)|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0，若該曲線為橢圓，則有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若該曲線為雙曲線，則有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.角度二由參數(shù)變化而引起的分類討論來源:學(xué)科網(wǎng)例2已知a

5、R，求函數(shù)f(x)x2|xa|在區(qū)間1,2上的最小值思維流程解設(shè)函數(shù)f(x)x2|xa|在區(qū)間1,2上的最小值為m.當(dāng)a1時，在區(qū)間1,2上，f(x)x3ax2，因為f(x)3x22ax3x0，x(1,2)，則f(x)是區(qū)間1,2上的增函數(shù)，所以mf(1)1a.當(dāng)12時，在區(qū)間1,2上，f(x)ax2x3，f(x)2ax3x23x.若a3，在區(qū)間(1,2)上，f(x)0，則f(x)是區(qū)間1,2上的增函數(shù)，所以mf(1)a1；若2a3，則1a2，當(dāng)1x0，則f(x)是區(qū)間上的增函數(shù)，當(dāng)ax2時，f(x)0，則f(x)是區(qū)間上的減函數(shù)，因此當(dāng)2a3時，mf(1)a1或mf(2)4(a2)當(dāng)2a時，

6、4(a2)a1，故mf(2)4(a2)，當(dāng)aa1，故mf(1)a1.綜上所述，函數(shù)的最小值m規(guī)律總結(jié)兩類與參數(shù)有關(guān)的分類討論問題(1)由于所求的變量或參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致結(jié)果不同，所以要對某些問題中所求的變量進(jìn)行討論；(2)有的問題中雖然不需要對變量討論，但卻要對參數(shù)討論在求解時要注意討論的對象，同時應(yīng)理順討論的目的2(2013東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax3x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)若在區(qū)間上，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲線yf

7、(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分兩種情況討論：若00等價于即解不等式組得5a5.因此02，則00等價于即解不等式組得a5或a.因此2a5.綜合，可知a的取值范圍為(0,5).角度三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論例3(2013長沙模擬) 在約束條件下，當(dāng)3s5時，z3x2y的最大值的變化范圍是()A6,15 B7,15C6,8 D7,8思維流程解析由取點A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4)(1)當(dāng)3s4時，可行域是四邊形OABC，如圖(1)所示此時，7z0)的焦點為F，

8、P為其上的一點，O為坐標(biāo)原點，若OPF為等腰三角形，則這樣的P點的個數(shù)為()A2 B3C4 D6解析：選C當(dāng)|PO|PF|時，點P在線段OF的中垂線上，此時，點P的位置有兩個；當(dāng)|OP|OF|時，點P的位置也有兩個；對|FO|FP|的情形，點P不存在事實上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|p，|FP|，若 p，則有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當(dāng)x0時，不構(gòu)成三角形；當(dāng)x2p時，與點P在拋物線上矛盾所以符合要求的P點一共有4個1中學(xué)數(shù)學(xué)教材中與分類討論有關(guān)的知識點(1)絕對值的定義；(2)一元二次方程根的判別式與根的情況；(3)二次函數(shù)二次項系數(shù)的正

9、負(fù)與拋物線的開口方向；(4)反比例函數(shù)y(x0)的反比例系數(shù)k，正比例函數(shù)ykx的比例系數(shù)k，一次函數(shù)ykxb的斜率k與圖像位置及函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；(5)冪函數(shù)yx的冪指數(shù)的正、負(fù)與定義域、單調(diào)性、奇偶性的關(guān)系；(6)指數(shù)函數(shù)yax及其反函數(shù)yloga x中底數(shù)a1及0a0，則f(a)2a，因為2a201，所以f(a)2無解；若a0，則f(a)a1，由f(a)2，即a12，解得a3，顯然滿足a0.綜上所述，a3.3正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為()A. B4C. D4或解析：選D當(dāng)矩形長、寬分別為6和4時，體積V244；當(dāng)長、寬分別為4和6時，體積V6.4a、b、c

10、、d是空間的四條直線，如果ac，bc，ad，bd，那么()Aab或cdBa、b、c、d中任何兩條直線都不平行Cab且cdDa、b、c、d中至多有一對直線平行解析：選A(1)若a、b相交，必須確定一個平面，由題設(shè)知c，d，則cd；(2)若ab，則滿足題設(shè)條件的直線c、d的位置關(guān)系不確定，可能平行，可能相交，也可能異面；(3)若a、b異面，由ca，cb，得c平行或重合于a、b的公垂線，同理d也平行或重合于a、b的公垂線，于是cd.綜上所述，ab或cd必有一個成立5設(shè)集合Ax|x2x120，集合Bx|kx10，如果ABA，則由實數(shù)k組成的集合中所有元素的和與積分別為()A，0 B.，0C.， D.，

11、來源:Zxxk.Com解析：選AA4,3當(dāng)k0時，B，符合要求；當(dāng)k0時，x.由ABA知BA，所以4或3，所以k或k，所以實數(shù)k組成的集合中所有元素的和與積分別為，0.6若不等式(a2)x22(a2)x40對一切xR恒成立，則a的取值范圍是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)解析：選C當(dāng)a20即a2時，不等式為40，恒成立，所以a2；當(dāng)a20時，則a滿足解得2a2，所以a的范圍是a|20且x1，則函數(shù)ylg xlogx10的值域為_解析：當(dāng)x1時，ylg xlogx10lg x2 2；當(dāng)0x2時，求函數(shù)f(x)的極小值；(2)試討論函數(shù)yf(x)的圖像與x軸公共點的個數(shù)解：(1)f(x

12、)3ax23(a2)x63a(x1)，易求得函數(shù)f(x)的極小值為f(1).(2)a0，則f(x)3(x1)2，f(x)的圖像與x軸只有1個交點；若a0，f(x)的極小值為f0，f(x)的圖像與x軸有3個交點；若0a2，則f(x)的極大值為f(1)0，f(x)的極小值為f2，由(1)知f(x)的極大值為f420，f(x)的極小值為f(1)0，f(x)的圖像與x軸只有1個交點；綜上知，若a0，則f(x)的圖像與x軸只有1個交點；若a0.來源:Zxxk.Com(1)若a2，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間2,3上的最小值解：(1)f(x)的定義域為R，且f(x

13、)2x24x2a.當(dāng)a2時，f(1)，f(1)2，所以曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y2(x1)，即切線方程為6x3y50.(2)方程f(x)0的判別式為8a0.令f(x)0，得x11或x21.f(x)和f(x)的變化情況如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)0a2時，x22，此時f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(2)2a.當(dāng)2a8時，x12x23，此時f(x)在區(qū)間(2，x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2,3)上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(x

14、2)a.當(dāng)a8時，x123x2，此時f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值是f(3)73a.綜上，當(dāng)0a2時，f(x)在區(qū)間2,3的最小值是2a；當(dāng)2ab0)，則a2b21.當(dāng)l垂直于x軸時，A，B兩點坐標(biāo)分別是和，1，則1，即a22b4.由消去a得2b4b210.b21或b2(舍去)當(dāng)b21時，a22，因此橢圓C的方程為y21.(2)當(dāng)直線斜率不存在時，易求A，B，P(0,1)，所以，(1，1)，由t使t，得t2，直線l的方程為x1，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x1，y11)，(x2，y21)，(1，1)，由t，得即因為y1k(x11)，y2k(x21)，所以y1y2k(x1x22)，解得k1，此時，直線l的方程為yx1，聯(lián)立得3x24x0，tx1x2，所以，當(dāng)直線斜率存在時，t，直線l的方程為yx1，綜上所述，存在實數(shù)t且t2時，直線方程為x1；當(dāng)t時，直線l的方程為yx1.