（江蘇專版）2018年高考數學二輪復習 3個附加題專項強化練（一）選修4系列 理

3個附加題專項強化練(一)選修4系列(理科)A組1本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A選修41：幾何證明選講如圖，已知圓O的直徑AB4，C為AO的中點，弦DE過點C且滿足CE2CD，求OCE的面積解：設CDx，則CE2x.因為CA1，CB3，由相交弦定理，得CA·CBCD·CE，所以1×32x2，解得x.取DE的中點H，連結OH，則OHDE.因為EHCD，所以OH2OE2EH2222，所以OH.又因為CE2x，所以OCE的面積SOH·CE××.B選修42：矩陣與變換已知a，b是實數，如果矩陣A所對應的變換T把點(2,3)變成點(3,4)(1)求a，b的值；(2)若矩陣A的逆矩陣為B，求B2.解：(1)由題意，得，即解得(2)由(1)，得A.由矩陣的逆矩陣公式得B.所以B2.C選修44：坐標系與參數方程已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為2，22cos2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經過兩圓交點的直線的極坐標方程解：(1)由2x2y2，且得圓O1的直角坐標方程為x2y24，由22cos2，得22(cos sin )2，x2y22(xy)2，故圓O2的直角坐標方程為x2y22x2y20.(2)聯(lián)立方程兩式相減，得經過兩圓交點的直線方程為xy10，該直線的極坐標方程為cos sin 10.D選修45：不等式選講解不等式：|x2|x|x2|2.解：當x2時，不等式化為(2x)x(x2)2，即x23x>0，解得3x2；當2x2時，不等式化為(2x)x(x2)2，即x2x>0，解得2x1或0x2；當x2時，不等式化為(x2)x(x2)2，即x23x4>0，解得x2.所以原不等式的解集為x|3x1或x02本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A選修41：幾何證明選講如圖，圓O是ABC的外接圓，點D是劣弧BC的中點，連結AD并延長，與以C為切點的切線交于點P，求證：.證明：連結CD，因為CP為圓O的切線，所以PCDPAC，又P是公共角，所以PCDPAC，所以，因為點D是劣弧BC的中點，所以CDBD，即.B選修42：矩陣與變換已知矩陣A，若A，求矩陣A的特征值解：因為A，所以 解得所以A.所以矩陣A的特征多項式為f()(2)(1)6234，令f()0，解得矩陣A的特征值為11，24.C選修44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：(t為參數)與橢圓C：(為參數，a0)的一條準線的交點位于y軸上，求實數a的值解：由題意，直線l的普通方程為2xy9，橢圓C的普通方程為1(0a3)，橢圓C的準線方程為y±，故9，解得a2(負值舍去)D選修45：不等式選講求函數y3sin x2的最大值解：y3sin x23sin x4，由柯西不等式得y2(3sin x4)2(3242)(sin2xcos2x)25，當且僅當4sin x3|cos x|，即sin x，|cos x|時等號成立，所以ymax5.所以函數y3sin x2的最大值為5.3本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A選修41：幾何證明選講如圖，ABC的頂點A，C在圓O上，B在圓外，線段AB與圓O交于點M.(1)若BC是圓O的切線，且AB8，BC4，求線段AM的長度；(2)若線段BC與圓O交于另一點N，且AB2AC，求證：BN2MN.解：(1)設AMt，則BM8t(0<t<8)，由切割線定理可得BC2BM·BA.168(8t)，解得t6，即線段AM的長度為6.(2)證明：由題意，AMNB，BB，BMNBCA，AB2AC，BN2MN.B選修42：矩陣與變換已知變換T把平面上的點(3，4)，(5,0)分別變換成(2，1)，(1,2)，試求變換T對應的矩陣M.解：設M，由題意得，解得即M.C選修44：坐標系與參數方程在極坐標系中，求直線(R)被曲線4sin 所截得的弦長解：法一：在4sin 中，令，得4sin2，即所求弦長為2.法二：以極點O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系直線(R)的直角坐標方程為yx，曲線4sin 的直角坐標方程為x2y24y0，由得或故直線(R)被曲線4sin 所截弦長的端點坐標分別為(0,0)，(2,2)，所以直線(R)被曲線4sin 所截得的弦長為2.D選修45：不等式選講已知ab，求證：a46a2b2b44ab(a2b2)證明：a46a2b2b44ab(a2b2)a46a2b2b44a3b4b3aa44a3b6a2b24b3ab4(ab)4，ab，a46a2b2b44ab(a2b2)>0，a46a2b2b4>4ab(a2b2)4本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A選修41：幾何證明選講如圖，AB是圓O的直徑，弦CA，BD的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F，連結FD.求證：DEADFA.證明：連結AD，AB是圓O的直徑，ADB90°，ADE90°，又EFFB，AFE90°，A，F(xiàn)，E，D四點共圓，DEADFA.B選修42：矩陣與變換已知矩陣M的一個特征值1及對應的特征向量e，求矩陣M的逆矩陣解：由題知，1·，即解得M.det(M)1×22×34，M1.C選修44：坐標系與參數方程已知直線l的參數方程為(t為參數)，曲線C的極坐標方程為3cos ，試判斷直線l與曲線C的位置關系解：由題意知，直線l的普通方程為2xy20，由2x2y2，且得曲線C的直角坐標方程為2y2，它表示圓由圓心到直線l的距離d，得直線l與曲線C相交D選修45：不等式選講設x，y，z均為正實數，且xyz1，求證：xyyzzx.證明：x，y，z均為正實數，且xyz1，由柯西不等式可得(xyyzzx)22(xyyzzx)2.xyyzzx.B組1本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A選修41：幾何證明選講如圖，已知ABC內接于O，連結AO并延長交O于點D，ACBADC.求證：AD·BC2AC·CD.證明：ACBADC，AD是O的直徑，AD垂直平分BC，設垂足為E，ACBEDC，ACDCED，ACDCED，AD·BCAC·CD，AD·BC2AC·CD.B選修42：矩陣與變換在平面直角坐標系xOy中，設點A(1,2)在矩陣M對應的變換作用下得到點A，將點B(3,4)繞點A逆時針旋轉90°得到點B，求點B的坐標解：設B(x，y)，依題意，由，得A(1,2)則(2,2)，(x1，y2)記旋轉矩陣N，則，即，得所以點B的坐標為(1,4)C選修44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，曲線C的參數方程為(s為參數)設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值解：直線l的普通方程為x2y80.因為點P在曲線C上，設P(2s2,2s)，從而點P到直線l的距離d.當s時，dmin.因此當點P的坐標為(4,4)時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值.D選修45：不等式選講已知a，b，cR,4a2b22c24，求2abc的最大值解：由柯西不等式，得(2a)2b2(c)2·(2abc)2.因為4a2b22c24，所以(2abc)210.所以2abc，所以2abc的最大值為，當且僅當a，b，c時等號成立2本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A選修41：幾何證明選講如圖，AB是圓O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，過E作BA的延長線的垂線，垂足為F.求證：AB2BE·BDAE·AC.證明：如圖，連結AD，因為AB為圓O的直徑，所以ADBD.又EFAB，則A，D，E，F(xiàn)四點共圓，所以BD·BEBA·BF.連結BC，則AFEACB，BACEAF，得ABCAEF，所以，即AB·AFAE·AC，所以BE·BDAE·ACBA·BFAB·AFAB·(BFAF)AB2.B選修42：矩陣與變換已知二階矩陣M有特征值8及對應的一個特征向量e1，并且矩陣M對應的變換將點(1,2)變換成(2,4)(1)求矩陣M；(2)求矩陣M的另一個特征值解：(1)設M，由題意，M8，M，解得即M.(2)令特征多項式f()(6)·(4)80，解得18，22.矩陣M的另一個特征值為2.C選修44：坐標系與參數方程在極坐標系中，直線l的極坐標方程為(R)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數方程為(為參數)求直線l與曲線C的交點P的直角坐標解：由題意得，直線l的直角坐標方程為yx，曲線C的普通方程為yx2(x2,2)，聯(lián)立解方程組得或(舍去)故P點的直角坐標為(0,0)D選修45：不等式選講已知a，b，c為正實數，求證：abc.證明：法一：(基本不等式)a2b，b2c，c2a，abc2a2b2c，abc.法二：(柯西不等式)由柯西不等式得(abc)(bca)2，abc.3本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A選修41：幾何證明選講如圖，已知AB為圓O的一條弦，點P為弧AB的中點，過點P任作兩條弦PC，PD分別交AB于點E，F(xiàn).求證：PE·PCPF·PD.證明：連結PA，PB，CD，BC.因為點P為弧AB的中點，所以PAB PBA.又因為PAB PCB，所以PCB PBA. 又DCB DPB，所以PFE PBADPB PCBDCB PCD，所以E，F(xiàn)，D，C四點共圓所以PE·PCPF·PD.B選修42：矩陣與變換已知曲線C：x22xy2y21，矩陣A所對應的變換T把曲線C變換成曲線C1，求曲線C1的方程解：設曲線C上的任意一點P(x，y)，點P在矩陣A所對應的變換T作用下得到點Q(x，y)則，即所以代入x22xy2y21，得y22y·221，即x2y22，所以曲線C1的方程為x2y22.C選修44：坐標系與參數方程在極坐標系中，已知點A，點B在直線l：cos sin 0(0<2)上當線段AB最短時，求點B的極坐標解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，則點A的直角坐標為(0,2)，直線l的直角坐標方程為xy0.AB最短時，點B為直線xy20與直線l的交點，解得所以點B的直角坐標為(1，1). 所以點B的極坐標為.D選修45：不等式選講求函數f(x)5的最大值解：易知函數f(x)的定義域為0,4，且f(x)0.由柯西不等式得52()2()2()2(5··)2，即27×4(5··)2，所以56.當且僅當×5，即x時取等號所以函數f(x)5的最大值為6.4本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答A選修41：幾何證明選講如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側的兩點證明：OCBD.證明：因為B，C是圓O上的兩點，所以OBOC.故OCBB.又因為C，D是圓O上位于AB異側的兩點，故B，D為同弧所對的兩個圓周角，所以BD.因此OCBD.B選修42：矩陣與變換已知矩陣A，設曲線C：(xy)2y21在矩陣A對應的變換下得到曲線C，求C的方程解：設P(x0，y0)為曲線C上任意一點，點P在矩陣A對應的變換下得到點Q(x，y)，則，即解得又(x0y0)2y1，2y21，即y21，曲線C的方程為y21.C選修44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，C的極坐標方程為2sin .設P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求點P的直角坐標解：由2sin ，得22sin ，從而有x2y22y，所以x2(y)23.設P，又C(0，)，則PC，故當t0時，PC取得最小值，此時點P的直角坐標為(3,0)D選修45：不等式選講已知a，b，c，d是正實數，且abcd1，求證：a5b5c5d5abcd.證明：因為a，b，c，d是正實數，且abcd1, 所以a5bcd44a.同理b5cda4b，c5dab4c，d5abc4d，將式相加并整理，得a5b5c5d5abcd.當且僅當“abcd1”時等號成立11