高中數(shù)學(xué)課件《極坐標(biāo)系》

極坐標(biāo)系1. 理解極坐標(biāo)系的概念.2. 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐 標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別.（難點）3. 掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.（重點、易錯點）階段1認知預(yù)習(xí)質(zhì)疑（知識梳理要點初1可）基礎(chǔ)初探教材整理1極坐標(biāo)系閱讀教材匕P10,完成下列問題.1.極坐標(biāo)系的概念（1）極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點;自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位（通常取弧度）及其 正方向（通常取逆時針方向）,這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離IOMI叫做點M的 極徑,記為以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角, 記為。有序數(shù)對3, 0)叫做點M的極坐標(biāo),記為&). 一般地，不作 特殊說明時，我們認為"20, 6可取任意實數(shù).2 點與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)3，0)與(A&+2加)伙UZ)表示同一個點.特別地，極點O的坐標(biāo)為(0, 0)(0WR).如果規(guī)定p>0, 0“<2兀，那么除極點外,平面內(nèi)的點可用Jt二的極坐標(biāo) S，&)表示；同時，極坐標(biāo)S，0)表示的點也是_惟一確定的.°微體驗。在極坐標(biāo)系中，p=p»且&1=&2是兩點M（P1，&1）和N0，&2）重合的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【解析】前者顯然能推岀后者，但后者不一定推出前者，因為倂與&2可相差2兀的整數(shù)倍.【答案】A教材整理2極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化閱讀教材Pii，完成下列問題.軸的正半軸作為極軸，1.互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點作為魚雖，X 并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,如圖121所示圖 1-2-12.互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(兀，y),極坐標(biāo)是S，0),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點M直角坐標(biāo)0，y)極坐標(biāo)s，&)互化公式<x= "COS 0y psin 3tan <9=O微體驗O（ TT將點M的極坐標(biāo)10, q化為直角坐標(biāo)是（）A（5,5羽）B（5書,5）C（5,5）D（一5, 5）門71【解析】xpcos 9 10 cos=5,【答案】A質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問:解惑： 疑問2:解惑： 疑問3:解惑： 階段2,合作探究通關(guān)(分組討論疑難細究小組合作型類型1»將點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)寫岀下列各點的直角坐標(biāo)，并判斷所表示的點在第幾象限.r4兀、；2、/ 、713，3);3kJ丿(4)(2, 2).【思路探究】點的極坐標(biāo)Jx=/?cos 3Ly=psin 3»點的直角坐標(biāo)(x,y)判定點所在象限._丄=1, y = 2sin年4tt【自主解答】（1）由題意知x = 2cos 丁 = 2X2X點2, p的直角坐標(biāo)為（一1,羽），是第三象限內(nèi)的點.2 2(2)x=2cos §兀=1, y=2sin 亍=書,2點2,尹的直角坐標(biāo)為（一1,羽），是第二象限內(nèi)的點. A丿、(3)x=2cos1,、點2, _專的直角坐標(biāo)為(1，_羽)，是第四象限內(nèi)的點.(4)兀=2cos (_2)=2cos 2, y=2sin(_2)= _2sin 2,點(2, _2)的直角坐標(biāo)為(2cos2, _2sin2),是第二象限內(nèi)的點名師/1 點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個前提條件：（1）極點與直角坐標(biāo) 系的原點重合；（2）極軸與直角坐標(biāo)系的兀軸的正半軸重合；（3）兩種坐標(biāo)系的長 度單位相同.2.將點的極坐標(biāo)0）化為點的直角坐標(biāo)（X, y）時，運用到求角&的正弦值 和余弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角恒等變換公式是關(guān)鍵.再練一題1.分別把下列點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo):/ / 71小 兀(l) p 力；3,補(3)(71, 71).【解】(1) Vx=pcos &=2cos£=羽， 71y psin 02sin= 1,I點的極坐標(biāo)2,打化為直角坐標(biāo)為(羽，1).71(2) x=pcos &=3cos=0, 71v =/?sin & =3sin=3,/ 、71點的極坐標(biāo)3,勺化為直角坐標(biāo)為(0,3).（3） X=/7COS 0 = 7TCOS 71=兀， y=£sin &=7rsin 兀=0,I點的極坐標(biāo)（兀，兀）化為直角坐標(biāo)為（一兀，0）.類型2將點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)分別把下列點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定”2o,ow&<2心(1)(-2,23); (2)(晶 邁)；(3)號,【思路探究】利用公式p2=x2+y29 tan <9=(x=0),但求角&時，要注意點所在的象限.【自主解答】 S=* I點的直角坐椒一2,2鳥）化為極坐標(biāo)為4, q兀 a ）+p=寸（2）2 + （次庁）2=4, tan&=羽，&丘0,2兀），由于點（一2,2羽）在第二象限， P=a/2+/=a/（&F + （-辺）2=2 辺, tan 0=*= _0W 0,2兀）， 由于點（&,辺）在第四象限， 7T點的直角坐標(biāo)（伍 一辺）化為極坐標(biāo)為2邊，百卩=7工+'tan e='= i,0,2兀），由于點俘，劃在第一象限，71.點的直角坐標(biāo)（夢，剤化為極坐標(biāo)為、呼 4/名師/1.將直角坐標(biāo)（X,刃化為極坐標(biāo)S，&）,主要利用公式p2=x2+y2, tan 0=（兀H0）進行求解，先求極徑，再求極角.2.在0,271）范圍內(nèi)，由tan &=*（詳0）求&時，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號特征 Ji判斷岀點所在的象限.如果允許&WR,再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為0 +2£?；飛 Z）即可.再練一題2.已知下列各點的直角坐標(biāo)，求它們的極坐標(biāo):（1）4（3,萌）；（2）5（-2, 2呵;(3)C(0, -2)； (4)£>(3,0)【解】(1)由題意可知：/>=73?+(羽)2 = 2羽， tan &=¥，所以。=務(wù) 所以點4的極坐標(biāo)為2邁，£ .2 3(2) p=寸(2尸+( 2羽尸=4,罰=二=書,又由于&為第三象限角,4_(4 )故兀，所以B點的極坐標(biāo)為4,尹.(3) 卩=寸幵冃=2, 0為|兀，0在y軸負半軸上，所以C點的極坐標(biāo)為p=32+02 = 3, tan 3=o,故 g=(), 所以D點的極坐標(biāo)為(3,0).類型3»極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 HI素雄關(guān)(u 7T37T在極坐標(biāo)系中，如果A 2,B2,才為等邊三角形4BC的兩個'7 /頂點，求頂點C的極坐標(biāo)3>0,0£&<2兀)【思路探究】 解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點C的直角坐標(biāo)，進而求出點C的極坐標(biāo).【自主解答】 對于點A 2,中有p = 2, &=扌，兀=2cos&=寸, y = 2sin才=寸,則 A（yf，a2）.（5 5對于B（2,利有p=2, &=a兀，* x=2cos°4 = , y 2sin = 2,IB（邁,辺）設(shè)C點的坐標(biāo)為（x,刃，由于4BC為等邊三角形,故 IABI = IBCI = L4CI=4,:有(x邊)2 + (y邊 F= 16, (%+a/2)2+(y+2)2 = 16,解之得.C點的坐標(biāo)為(寸6, 或(6 &),.：/?=寸6+6=2筋,tan B=故點C的極坐標(biāo)為2羽，N或2書,4纖丿 I什丿名師/1.本例綜合考查了點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意 義和性質(zhì).結(jié)合幾何圖形可知，點C的坐標(biāo)有兩解，設(shè)出點的坐標(biāo)尋求等量關(guān) 系建立方程組求解是關(guān)鍵.2若設(shè)岀C(p, &),利用余弦定理亦可求解.再練一題Z3.本例中，如果點的極坐標(biāo)仍為A 2,三角形，如何求直角頂點C的極坐標(biāo)？乳彳2,5兀r tT?且力BC為等腰直角/ 、【解】對于點力2,缶直角坐標(biāo)為（返邊）,（ 斥於點B2,亍J的直角坐標(biāo)為（一邊,設(shè)點C的直角坐標(biāo)為（兀，刃，由題意得AC丄BC,且L4CI = IBCI,4CBC=0,即（x辺，y辺）（x+辺，y+邊）=0,/+y2=4.又IA CI2 = IBCI2,于是（x辺F + Cv辺F=（兀+邁 r+（y+邁）2,y=%,代入，得x2=2,解得x=土邊,I點C的直角坐標(biāo)為（邊，一邊）或（一辺，邊）,.#=寸2+2 = 2, tan 0=_ 1點C的極坐標(biāo)為2,訓(xùn)2,A探究共研型極坐標(biāo)III絳合彳探究1如圖122是某校園的平面示意圖假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓處，請回答下列問題： 他向東偏北60。方向走120 m后到達什么位 置？該位置惟一確定嗎？如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應(yīng) 如何描述？A【提示】 以4為基點，射線AB為參照方向，利用與4的距離、與4B所 成的角，就可以刻畫平面上點的位置.到達圖書館，該位置惟一確定；體 育館在正東方向60 m處，辦公樓在西北方向50 m處.JTJTTTTT探究2在極坐標(biāo)系中，（4,補4,石+2可，4,石+4可，4,廠2可表示 的點有什么關(guān)系？你能從中體會極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)在刻畫點的位置時的區(qū)別 嗎？【提示】 由終邊相同的角的定義可知，上述極坐標(biāo)表示同一個點.實際/ JT上，4, +2Z：7ij（Z：GZ）都表示這個點./ 71設(shè)點A 2, t ,直線I為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A a）關(guān)于極軸，直線人極點的對稱點的極坐標(biāo)（限定°>0,兀<。£兀）【思路探究】 欲寫岀點的極坐標(biāo)，首先應(yīng)確定“和&的值.r自主解答】如圖所示，關(guān)于極軸的對稱點為B2,(2 )關(guān)于直線/的對稱點為2,尹J,( 2 )關(guān)于極點。的對稱點為斗2,齊 四個點A, B, C, D都在以極點為圓心，2為半徑的圓上.名師/1 點的極坐標(biāo)不是惟一的，但若限制>0,0£&<2兀，則除極點外，點的極 坐標(biāo)是惟一確定的.2.寫點的極坐標(biāo)要注意順序：極徑。在前，極角&在后，不能顛倒順序.再練一題4.在極坐標(biāo)系中與點)(2 )A.3,尹(4 )C. 3,蘋A 3,劃關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標(biāo)是/ (71B. 3, q(5 )D.0石兀/ 、7T【解析】 與點A 3, £關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標(biāo)可以表示 D丿/ 、t71為3, 2£兀+三伙WZ).【答案】B極坐標(biāo)系一構(gòu)建體系體驗落實評價(課堂回饋即時達標(biāo)1.極坐標(biāo)系中，點M(1,O)關(guān)于極點的對稱點為()A. (1,0)B(1,兀)C(1, 7i)D(1,2兀)【解析】 v(p, &)關(guān)于極點的對稱點為s，兀+&), M(l,0)關(guān)于極點的對稱點為(1, 71).【答案】c2點4的極坐標(biāo)是2, V-,則點人的直角坐標(biāo)為（） u丿A. （1, a/3）B（一羽，1）C.（羽,-1）D（a/3, -1）【解析】v =/?sin 3 2sin召兀=1.IF3點M的直角坐標(biāo)為0, 3，則點M的極坐標(biāo)可以為（）【答案】C【答案】CA.(71/ 7171c牙£B. 0,/7TD.廠、712)、712）【答案】C【答案】C【解析】 Vp=x2+y2=,且0=號,/ 、IT 7T 的極坐標(biāo)為號，【答案】Cjr4.將極軸Ox繞極點順時針方向旋轉(zhuǎn)石得到射線OP,在OP上取點M,使OMI =2,貝&丘0,2兀)時點M的極坐標(biāo)為,它關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)為(p>o,0?2ti).if【解析】p = OM = 2,與OP終邊相同的角為一6+2后伙WZ) 0,2ti), :.k=l9 &=平， /11處.M2, 7，I o丿( 兀、M關(guān)于極軸的對稱點為2, &(11兀)(n【合案】2, z2, 7 u丿 I u丿/ 、5.在極軸上求與點彳4邁，刖距離為5的點M的坐標(biāo).【解】設(shè)時4辺，第(4a/2)2+r2 8/2 rcos=5, 即 r2 8r+7=0,解得r=l或r=7,點M的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0)> I A » p "一 r，- . 上個 “，'“三曰!ail_一fsE隆!W?勵志艙歸我還有這些不足：(1) 我的課下提升方案：(1)