高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí):課時達(dá)標(biāo)檢測(五十八)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

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1、 課時達(dá)標(biāo)檢測(五十八) 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 一、全員必做題 1.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個,從袋中任取3個小球,每個小球被取出的可能性都相等,X表示取出的3個小球上的最大數(shù)字,求: (1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率; (2)隨機(jī)變量X的分布列及均值E(X). 解:(1)“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,則P(A)==. (2)由題意,X所有可能的取值為2,3,4,5. P(X=2)==; P(X=3)==; P(X=4)==; P(X=5)==. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 2 3 4

2、5 P E(X)=2×+3×+4×+5×=. 2.為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運(yùn)動員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率; (2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及均值E(X). 解:(1)由已知得,P(A)==. 所以事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,

3、4). 所以,隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P E(X)=1×+2×+3×+4× =+++==. 3.國慶節(jié)期間,某旅行社組織了14人參加“國家旅游常識”知識競賽,每人回答3個問題,答對題目個數(shù)及對應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果見下表: 答對題目個數(shù) 0 1 2 3 人數(shù) 3 2 5 4 根據(jù)上表信息解答以下問題: (1)從14人中任選3人,求3人答對題目個數(shù)之和為6的概率; (2)從14人中任選2人,用X表示這2人答對題目個數(shù)之和,求隨機(jī)變量X的分布列及E(X). 解:(1)記“3人答對題目個數(shù)之和為6”為事件A, 事件A包含“3

4、人分別答對2題”,“3人分別答對1,2,3題”和“3人分別答對0,3,3題”. 則P(A)===, 即3人答對題目個數(shù)之和為6的概率為. (2)依題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6. 則P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===, P(X=3)===, P(X=4)===, P(X=5)===, P(X=6)===. 從而X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×===. 1.拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且六個面上分別標(biāo)有1,2,3,

5、4,5,6的正方體,記上底面上的數(shù)字分別為x,y.若[a]表示a的整數(shù)部分,如:[2.6]=2,設(shè)ξ為隨機(jī)變量,且ξ=. (1)求P(ξ=0); (2)求ξ的分布列,并求其均值E(ξ). 解:(1)依題意,實(shí)數(shù)對(x,y)共有36種情況,使ξ==0的實(shí)數(shù)對(x,y)有以下15種情況:(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6), 所以P(ξ=0)==. (2)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0,1,2. ξ=1的情況有以下18種:(1,1),(2,1),(

6、3,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(6,6), 所以P(ξ=1)==. ξ=2的情況有以下3種:(4,1),(5,1),(6,1),所以P(ξ=2)==. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 均值E(ξ)=0×+1×+2×=. 2.某商場中的20件不同的商品中有是進(jìn)口商品,其余的是國產(chǎn)商品.在進(jìn)口商品中有是高端商品,在國產(chǎn)商品中有是高端商品. (1)從該批商品中隨機(jī)抽取3件,求恰有1件進(jìn)口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2

7、件的概率; (2)若銷售1件國產(chǎn)高端商品獲利80元,1件國產(chǎn)非高端商品獲利50元,當(dāng)銷售該批國產(chǎn)商品3件時,獲利為ξ元,求ξ的分布列及均值E(ξ). 解:(1)設(shè)事件B為“從該批商品中隨機(jī)抽取3件,恰有1件進(jìn)口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2件”,事件A1為“抽取的3件商品中,有1件進(jìn)口高端商品,0件國產(chǎn)高端商品”,事件A2為“抽取的3件商品中,有1件進(jìn)口高端商品,1件國產(chǎn)高端商品”. 因?yàn)檫@20件商品中,進(jìn)口高端商品有20××=5(件),國產(chǎn)高端商品有20××=3(件). 所以P(B)=P(A1)+P(A2)=+=, 即從該批商品中隨機(jī)抽取3件,恰有1件進(jìn)口高端商品且國產(chǎn)高端商品少于2

8、件的概率是. (2)由于本批商品中僅有5件國產(chǎn)商品,其中3件是高端商品,故銷售該批國產(chǎn)商品3件時,可能有1件高端商品,2件非高端商品,或2件高端商品,1件非高端商品,或3件都是高端商品,于是ξ的可能取值為180,210,240. P(ξ=180)==,P(ξ=210)===, P(ξ=240)==. 所以ξ的分布列為 ξ 180 210 240 P 故E(ξ)=180×+210×+240×=204. 三、沖刺滿分題 1.袋中裝有黑色球和白色球共7個,從中任取2個球都是白色球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出1個球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……,摸后均

9、不放回,直到有一人摸到白色球后終止.每個球在每一次被摸出的機(jī)會都是等可能的,用X表示摸球終止時所需摸球的次數(shù). (1)求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X); (2)求甲摸到白色球的概率. 解析:設(shè)袋中白色球共有x個,x∈N*且x≥2,則依題意知=,所以=, 即x2-x-6=0,解得x=3(x=-2舍去). (1)袋中的7個球,3白4黑,隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5. P (X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==. 隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P 所以E(X)=1×+2

10、×+3×+4×+5×=2. (2)記事件A為“甲摸到白色球”,則事件A包括以下三個互斥事件: A1=“甲第1次摸球時摸出白色球”; A2=“甲第2次摸球時摸出白色球”; A3=“甲第3次摸球時摸出白色球”. 依題意知,P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==, 所以甲摸到白色球的概率為P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=. 2.某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運(yùn)至城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且運(yùn)費(fèi)由廠商承擔(dān).若廠商恰能在約定日期(×月×日)將牛奶送到,則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠20萬元;若在約定日期前送到,每提前一天銷售商將多支付

11、給牛奶廠1萬元;若在約定日期后送到,每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠1萬元.為保證牛奶新鮮度,汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送牛奶,已知下表內(nèi)的信息: 統(tǒng)計 信息 汽車行 駛路線   在不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時間(天) 在堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時間(天) 堵車的概率 運(yùn)費(fèi)(萬元) 公路1 2 3 1.6 公路2 1 4 0.8 (1)記汽車選擇公路1運(yùn)送牛奶時牛奶廠獲得的毛收入為ξ(單位:萬元),求ξ的分布列和均值E(ξ); (2)選擇哪條公路運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多? (注:毛收入=銷售商支付給

12、牛奶廠的費(fèi)用-運(yùn)費(fèi)) 解:(1)若汽車走公路1, 不堵車時牛奶廠獲得的毛收入ξ=20-1.6=18.4(萬元); 堵車時牛奶廠獲得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4(萬元), ∴汽車走公路1時牛奶廠獲得的毛收入ξ的分布列為 ξ 18.4 17.4 P E(ξ)=18.4×+17.4×=18.3(萬元). (2)設(shè)汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入為η,則 不堵車時牛奶廠獲得的毛收入η=20-0.8+1=20.2(萬元); 堵車時牛奶廠獲得的毛收入η=20-0.8-2=17.2(萬元). ∴汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入η的分布列為 η 20.2 17.2 P E(η)=20.2×+17.2×=18.7(萬元). ∵E(ξ)

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