考前三個(gè)月】高考數(shù)學(xué)（江蘇專用文科）高考必會(huì)題型：專題8 概率與統(tǒng)計(jì) 第35練

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1、 第35練　用樣本估計(jì)總體 題型一　頻率分布直方圖的應(yīng)用 例1　某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖，其中成績(jī)分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求圖中a的值； (2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分； (3)假設(shè)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比方下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù). 分?jǐn)?shù)段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4

2、 4∶5 破題切入點(diǎn)　(1)根據(jù)樣本頻率之和為1，求出參數(shù)a的值． (2)根據(jù)頻率分布直方圖和平均值的計(jì)算公式，求出樣本平均值． (3)由直方圖可計(jì)算語(yǔ)文成績(jī)?cè)诿糠侄紊系念l數(shù)，再根據(jù)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谕欢紊系娜藬?shù)比，便可計(jì)算數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之間的人數(shù)，進(jìn)而求解． 解　(1)由頻率分布直方圖知(2a)×10＝1，解得a＝0.005. (2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為55××10＋65××10＋75××10＋85××10＋95××10＝73(分)． (3)由頻率分布直方圖知語(yǔ)文成績(jī)?cè)赱50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)×10×1

3、00＝5,×10×100＝40,×10×100＝30,×10×100＝20. 由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谏鲜龈鞣謹(jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5,40×＝20,30×＝40,20×＝25. 故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù)為 100－(5＋20＋40＋25)＝10. 題型二　莖葉圖的應(yīng)用 例2　從甲、乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如下圖)．設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，那么它們的大小關(guān)系分別為_(kāi)_______． 破題切入點(diǎn)　由莖葉圖觀察求解比擬兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)． 答案　甲<乙，m甲

4、解析　由莖葉圖可知甲數(shù)據(jù)集中在10至20之間，乙數(shù)據(jù)集中在20至40之間，明顯甲＜乙，甲的中位數(shù)為20，乙的中位數(shù)為29，即m甲＜m乙． 題型三　用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 例3　甲、乙兩名射擊運(yùn)發(fā)動(dòng)參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，那么入選的最正確人選應(yīng)是________． 破題切入點(diǎn)　計(jì)算樣本的方差直接作為總體的方差． 答案　甲 解析　甲＝乙＝9環(huán)，s＝[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]

5、＝， s＝[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s，故甲更穩(wěn)定，故填甲． 總結(jié)提高　(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同 ①眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量． ②平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng)，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì)． ③眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)屢次出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題． ④中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)． (2)

6、莖葉圖刻畫(huà)數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn) ①所有數(shù)據(jù)信息都可以在莖葉圖中看到． ②莖葉圖便于記錄和表示，且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況． (3)利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征 ①中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值． ②平均數(shù)：平均數(shù)的頻率分布直方圖的“重心〞，等于圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． ③眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 1．某校對(duì)高三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體檢，現(xiàn)將高三男生的體重(kg)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分成五組，并繪制頻率分布直方圖(如圖)．根據(jù)一般標(biāo)準(zhǔn)，高三男生的體重超過(guò)65 kg屬于偏胖，

7、低于55 kg屬于偏瘦．圖中從左到右第一、第三、第四、,,,，第二小組的頻數(shù)為400，那么該校高三年級(jí)的男生總數(shù)和體重正常的頻率分別為_(kāi)_______． 答案　1 000, 解析　據(jù)題意，得第二小組的頻率為1－()＝0.40， 且其頻數(shù)為400，設(shè)高三年級(jí)男生總數(shù)為n， 那么有＝0.40，∴n＝1 000. 體重正常的學(xué)生所占的頻率為第二和第三小組頻率之和， 即0.20＋0.40＝0.60. 2. 記錄7名運(yùn)發(fā)動(dòng)選手身高(單位：cm)的莖葉圖如圖，其平均身高為177 cm，因有一名運(yùn)發(fā)動(dòng)的身高記錄看不清楚，設(shè)其末位數(shù)為x，那么推斷x的值為_(kāi)_______． 答案　8

8、 解析　據(jù)莖葉圖可知 ＝177， 解得x＝8. 3．在樣本的頻率分布直方圖中，一共有n個(gè)小矩形．假設(shè)中間一個(gè)小矩形的面積等于其余(n－1)個(gè)小矩形面積之和的，且樣本容量為240，那么中間一組的頻數(shù)是________． 答案　40 解析　設(shè)中間小矩形的面積為S，那么由題意知＝， 解得S＝，即頻率為， 所以中間一組的頻數(shù)為×240＝40. 4．樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3，假設(shè)該樣本的平均值為1，那么樣本方差為_(kāi)_______． 答案　2 解析　由題意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1， 所以樣本方差為s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－

9、1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 5．(2021·山東)為了研究某藥品的療效，選取假設(shè)干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，那么第三組中有療效的人數(shù)為_(kāi)_______． 答案　12 解析　志愿者的總?cè)藬?shù)為＝50， 所以第三組人數(shù)為50×0.36＝18， 有療效的人數(shù)為18－6＝12. 6．在樣本的頻率分布直方圖

10、中，共有4個(gè)小長(zhǎng)方形，這4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}，a2＝2a1，且樣本容量為300，那么小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為_(kāi)_______． 答案　160 解析　∵小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且a2＝2a1， ∴樣本的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，且公比為2， ∴a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝300，∴a1＝20， ∴小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為8a1＝160. 7．(2021·江蘇)為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如下圖，那么在抽測(cè)的60株樹(shù)木

11、中，有________株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm. 答案　24 解析　底部周長(zhǎng)在[80,90)×10＝0.15， 底部周長(zhǎng)在[90,100)×10＝0.25， 樣本容量為60，所以樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm的株數(shù)為()×60＝24. 8．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，那么甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)分別是________． 答案　18,23 解析　根據(jù)莖葉圖分別將甲、乙得分按從小到大順序排起來(lái)，根據(jù)中位數(shù)定義易知甲、乙中位數(shù)分別為18,23. 9．甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2) 品種

12、第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 10 乙 其中產(chǎn)量比擬穩(wěn)定的小麥品種是________． 答案　甲 解析　甲＝()＝10.0， 乙＝()＝10.0； s＝(2＋…2)－102＝0.02， s＝(2＋…2)－102＝0.244>0.02. 10．為了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重(單位：kg)情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為12，那么報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)是________． 答案　48 解析　據(jù)頻率分布直方圖可得第四與第五小

13、組的頻率之和為5×()×＝0.25，又其頻數(shù)為12，故總?cè)藬?shù)為＝48人． 11．(2021·北京)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖： 組號(hào) 分組 頻數(shù) 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合計(jì) 100 (1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12

14、小時(shí)的概率； (2)求頻率分布直方圖中的a，b的值； (3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組．(只需寫(xiě)出結(jié)論) 解　(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6＋2＋2＝10(名)， 所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1－＝0.9. 從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9. (2)課外閱讀時(shí)間落在組[4,6) 的有17人，頻率為0.17， 所以a＝＝＝0.085. 課外閱讀時(shí)間落在組[8,10)的有25人，頻率為0.25， 所以b

15、＝＝＝0.125. (3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組． 12．(2021·廣東)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表： (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 解　(1)這20名工人年齡的眾數(shù)為30；這20名工人年齡的極差為40－19＝21. (2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下： (3)這20名工人年齡的平均數(shù)為：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30； 所以這20名工人年齡的方差為： (30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.