第二章 回顧與思考教學設計

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1、2019學年北師大版數(shù)學精品資料 第二章 一元二次方程 回顧與思考 一、學生知識狀況分析 學生的知識技能基礎：學生在七年級和八年級已經(jīng)學習了一元一次方程、二元一次方程以及一次函數(shù)的相關知識及應用，在本章中，又學習了一元二次方程的相關解法，初步體會了一元二次方程在解決實際問題中的具體應用，具備了利用數(shù)學知識解決實際問題的能力； 學生活動經(jīng)驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了由具體問題抽象出數(shù)學模型的過程，初步積累了一定的數(shù)學建模方法；同時在以往的數(shù)學學習中學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的機會，具有一定的合作學習經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力. 二、教學任務分析

2、本節(jié)課是一元二次方程的復習課，對于本章的基礎知識，學生已大致掌握.本節(jié)課以梳理、鞏固基礎知識為起點，重點解決在學生中存在的易錯點與混淆點；實際應用是方程建模思想的具體體現(xiàn)，學生往往感到有一定的難度，本節(jié)課以此為重點，從簡單的實際問題入手，逐步加深對建模思想的理解.為此，設置本節(jié)課的教學目標如下： 1、知識與技能： ①經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型； ②能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，幫助學生認識到運用方程解決實際問題的關鍵是確定題目中蘊含的等量關系；并且能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題

3、、解決問題的意識和能力； ③了解一元二次方程及其相關概念，會用配方法、公式法、因式分解法解簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想； 2、過程與方法： ①通過讓學生經(jīng)歷將多種實際問題抽象成數(shù)學問題的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型； ②通過小組合作學習，經(jīng)歷一題多解等過程，發(fā)展學生多角度思考問題的方法. 情感與態(tài)度： ①通過對方程的認識、一題多解的思維展示，發(fā)展學生勇于展示自己的品質(zhì)； ②在解決富有挑戰(zhàn)性的問題的過程中，培養(yǎng)學生敢于直面困難、勇于挑戰(zhàn)的良好品質(zhì)，鼓勵學生大膽嘗試，體會成功的喜悅，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

4、三、教學過程分析 本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：課前準備---構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)；第二環(huán)節(jié)：基礎知識重現(xiàn)；第三環(huán)節(jié)：情境中合作學習；第四環(huán)節(jié)：鞏固提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè). 第一環(huán)節(jié)：課前準備----構(gòu)建知識結(jié)構(gòu) 活動內(nèi)容：在授完本章新課知識后，讓學生重新回顧本章內(nèi)容，整理出本章的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡，理清各板塊內(nèi)容間的聯(lián)系.此活動內(nèi)容在上課前一天布置，讓每一位學生都提前做好準備.上課時，選取有代表性的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡進行全班展示，其他同學對照自己的總結(jié)查缺補漏.同時，教師展示一下本章的框架，指出本節(jié)課的重點是：利用一元二次方程解決實際問題. 活動目的：學生在整理本章知識結(jié)

5、構(gòu)的同時，可以回顧本章的重點內(nèi)容，細細體會解一元二次方程的“轉(zhuǎn)化”思想，找尋利用方程解決實際問題的關鍵. 活動的實際效果：基于對學生兩年來的不間斷訓練，絕大分學生可以對本章的主要內(nèi)容以及注意點詳細地總結(jié)出來，只是呈現(xiàn)形式略微不同.但也有少數(shù)同學只是泛泛地停留在書本上的定義、黑體字上，對于更深入的內(nèi)容總結(jié)不到位，這部分同學在教學中往往也是需要特別關注的同學，需要我們教師從各方面來激發(fā)他們對數(shù)學學習的興趣. 附部分學生的作業(yè)： 學生A的本章知識結(jié)構(gòu) ㈠ 問題情景---- —元二次方程 1、定義：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a

6、≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程. ⑴ 直接開平方法 ⑵ 配方法 ⑶ 公式法 ax2+bx+c=0 (a≠0，b2-4ac≥0)的解為： ⑷因式分解法 2、解法： 3、應用 ：其關鍵是能根據(jù)題意找出等量關系. ㈡本章的重點：一元二次方程的解法和應用. ㈢本章的難點：應用一元二次方程解決實際問題的方法. 學生B的本章知識結(jié)構(gòu)： 本章的知識體系包括三大部分： （一）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.在

7、這里應注意的問題是：⑴只含有一個未知數(shù)；⑵未知數(shù)的最高指數(shù)必須是2；(3)二次項系數(shù)不為0） （二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴ 直接開平方法；⑵ 配方法；⑶ 公式法；⑷因式分解法.（注意：在運用配方法解一元二次方程時，一般先將二次項系數(shù)化為1；在運用公式法解一元二次方程時，必須先將方程化為ax2+bx+c=0 (a≠0)的形式，同時判斷b2-4ac是否≥0，如果b2-4ac≥0，才可用公式求解），并由此推導出如何判斷一元二次方程的根的情況的方法。 （三）一元二次方程的應用：花邊、道路寬度（P42 引例）；梯子滑動（P43 引例）；養(yǎng)雞場問題（P56 2）；古算題（P6

8、5 1）；簡單動點問題（P66 2）；利潤問題（P66 例2）（其關鍵是能找出題目中的等量關系，列出方程） 本章的重點和難點是：一元二次方程的解法和應用. 第二環(huán)節(jié)：基礎知識重現(xiàn) 內(nèi)容：以投影形式展示一組基礎題目，內(nèi)容涉及一元二次方程的定義和解法.其中，1、2小題采取口答形式，第3、4小題對比來做，體會其中的方法，第5小題采取3個同學分別板演、其他同學糾錯、教師集中規(guī)范的方式來解決. 1、當m 時，關于x的方程(m－1)+5+mx=0是一元二次方程. 2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，當m 時，是一元二次方程；當m 時，是一元一次方程.

9、 3、將一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是 ；此方程的根是 . 4、用配方法解方程x2+8x+9=0時，應將方程變形為 ( ) A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=－9 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=－7 5、解下列一元二次方程 (1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解) (3) (x＋1)(2－x)=1 (選擇適當?shù)姆椒ń? 目的：上述這一組題目主要目的是

10、鞏固對一元二次方程定義的理解、熟練地解一元二次方程.其中，第1、2小題對比，加深學生對一元二次方程和一元一次方程定義的理解；第3、4小題均是對一元二次方程配方法掌握程度的檢驗，同時，這部分內(nèi)容所涉及的方法也是后續(xù)“二次函數(shù)”學習的基礎，此處，也為二次函數(shù)的學習奠定一定的基礎；第5小題設置三道小題，分別限定方法讓學生來解一元二次方程，讓學生熟練方程的解法. 實際效果：對于第1題，學生普遍掌握比較好，但對于與之對比的第2題，有部分同學存在一定的問題，尤其是對于何時是一元一次方程，更是沒有思路，通過這兩道題的對比，使學生對方程的定義更加深了理解，也明確了判斷一個方程是何類方程時，不僅要關注未知數(shù)的

11、次數(shù)，還要注意系數(shù)；對于第5小題中的第（3）小題，部分學生直接用分解因式法來做，這也是本題設置的一個重要意圖：當方程中等式右側(cè)不為0時，不可以直接用分解因式法來做，而要先化成一般形式，再具體選用方法.通過這幾道題，讓學生關注了方程中的易錯點，對于今后的學習也作了部分鋪墊. 第三環(huán)節(jié)：情境中合作學習 內(nèi)容：在本環(huán)節(jié)中，選擇具有代表性的三類實際問題：利潤問題、簡單動點問題、周長一定的面積問題作為例題及小組合作學習的題目，其中的1、3小題作為例題，2、4小題作為小組合作學習的題目，仿照例題的分析方式小組合作完成，第5題作為師生互動的題目.選擇第1題作為例題規(guī)范板書，其余題目只需分析、列方程即

12、可. 對于第1題，可以從以下幾個方面提出問題，幫助學生分析問題、解決問題： （1）成本為多少？（2）“如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支”在本題中的作用是什么？（3）“售價每上漲1元就少賣10支”的作用？（4）利潤的表達形式有哪幾種？（5）本題中的等量關系是什么？ 在用一種方法解決完本題之后，可以讓學生嘗試其它的思路，進行一題多解. 對于第3題，可以從以下幾個方面入手分析： （1）題目中的等量關系是什么？（2）點P、Q移動的過程中，哪個量是相同的？（3）如何求出△PCQ的面積？（4）如何求出Rt△ACB面積？ 對于第5題，著重于第（4）（5）兩個小問題，需要借助于一定

13、的經(jīng)驗加以解決.同時，此題是典型的二次函數(shù)最值問題，放在此處，給學生一個直觀的感受. 1、新竹文具店以16元/支的價格購進一批鋼筆，根據(jù)市場調(diào)查，如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支；而這種鋼筆的售價每上漲1元就少賣10支.現(xiàn)在商店店主希望銷售該種鋼筆月利潤為1350元，則該種鋼筆該如何漲價？此時店主該進貨多少？ A B C P Q 2、新新商場以16元/件的價格購進一批襯衫，根據(jù)市場調(diào)查，如果以20元/件的價格銷售，每月可以售出200件；而這種襯衫的售價每上漲1元就少賣10件.現(xiàn)在商場經(jīng)理希望銷售該種襯衫月利潤為1350元，而且，經(jīng)理希望用于購進這批襯衫的資金不多于

14、1500元，則該種襯衫該如何定價？此時該進貨多少？ 3、如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，已知點P移動的速度是20cm/s，點Q移動的速度是10cm/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的？ C B P Q A 4、如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°， AC=6m，BC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？ A B C D 5、新苑小區(qū)的物業(yè)管理部門為了美化環(huán)境，在小

15、區(qū)靠墻的一側(cè)設計了一處長方形花圃(墻長25m)，三邊外圍用籬笆圍起，栽上蝴蝶花，共用籬笆40m， (1) 花圃的面積能達到180m2嗎？ (2) 花圃的面積能達到200m2嗎？ (3) 花圃的面積能達到250m2嗎？ 如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由． (4) 你能根據(jù)所學過的知識求出花圃的最大面積嗎？此時，籬笆該怎樣圍？ A B C D (5) 如果想在花圃中栽種兩種不同的蝴蝶花，需要在花圃中再加一道籬笆，若不想改變籬笆的總長度，那么，此時花圃的最大面積會是多少，籬笆該怎樣圍？ 目的：讓學生熟悉一元二次方程應用中的幾種主要模型，明確解決各類問題的關鍵是找

16、尋題目中蘊含的等量關系；另外，這幾種問題情景也是在二次函數(shù)中頻繁出現(xiàn)的實際問題，若在此處有一個良好的基礎，勢必會對學習二次函數(shù)的學習起到事半功倍的效果. 實際效果：將1、3兩道小題作為例題，學生徹底理解透徹后，本章的基本應用學生已大致掌握，數(shù)學建模思想初步形成.在第2題的合作學習過程中，呈現(xiàn)出了不同的思維形式，各組針對“用于購進這批襯衫的資金不多于1500元”展開了討論，有的同學認為這是一個無用的條件；有的同學認為在解題之初，要結(jié)合進價來用；有的同學認為按常規(guī)思路解決完問題之后，用來確定最終的解的合理性.各種想法的提出，真正展現(xiàn)了學生開闊的思維，真正體現(xiàn)了合作學習的優(yōu)勢. 第四環(huán)節(jié)：鞏

17、固提高 內(nèi)容：重點放在一元二次方程的實際應用上，內(nèi)容呈現(xiàn)形式多樣化，設置實際背景比較全面.其中3、4小題表面上看類似，實際有一定的差異，可以對比來看；第5小題為后續(xù)學習的二次函數(shù)作鋪墊；第7題為一道經(jīng)典的中考真題，讓學生感受一下中考的氛圍. 1、新園小區(qū)計劃在一塊長為40米，寬為26米的矩形場地上 修建三條同樣寬的甬路(兩條縱向、一條橫向，且橫向、縱向 互相垂直)，其余部分種花草.若要使甬路的面積占矩形場地面 積的.則甬路寬為多少米？設甬路寬為x米，則根據(jù)題意， 可列方程為 . 2、由于家電市場的迅速成長，某品牌的電視機為了贏得消費者

18、，在半年之內(nèi)連續(xù)兩次降價，從4980元降到3698元，如果每次降低的百分率相同，設這個百分率為x，則根據(jù)題意，可列方程： . 3、王老師假期中去參加高中同學聚會，聚會時，所有到會的同學都互相握了一次手，王老師發(fā)現(xiàn)共握手435次，則參加聚會的同學共有多少人？設參加聚會的同學共有x人，則根據(jù)題意，可列方程： . 4、初三、三班同學在臨近畢業(yè)時，每一個同學都將自己的照片向全班其他同學各送一張以表示紀念，全班共送了1640張照片，如果設全班有x名學生，則根據(jù)題意，可列方程( ) A.x(x+1)=1

19、640 B. x(x－1)=1640 C.2x(x+1)=1640 D.x(x－1)=2×1640 5、某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，若每件商品售價為x元，則每天可賣出(350－10x)件，但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20%，商店要想每天賺400元，需要賣出多少件商品？每件商品的售價應定為多少元？ 6、用一塊面積為888cm2的矩形材料做一個無蓋的長方體盒子，要求盒子的長為25cm，寬為高的2倍，盒子的寬和高應為多少？ 實際效果：通過對這些題目的具體分析，學生再次經(jīng)歷在實際問題中抽象出一元二次方程

20、的過程，發(fā)展他們分析問題、解決問題的意識和能力，也為下學期二次函數(shù)的學習奠定一定的基礎，體現(xiàn)了教材螺旋式上升的設計意圖. 第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié) 內(nèi)容：師生共同總結(jié)本節(jié)課的收獲，內(nèi)容主要設計以下幾個方面： （1）整節(jié)課的感悟：如在解決概念性題目時，要注意領會概念的實質(zhì)含義；在計算時要做到細心；對于學過的內(nèi)容，自己要及時進行梳理等等； （2）解決問題時所用到的方法； （3）對于某個知識點的困惑； （4）通過本節(jié)課的學習，自己的最大收獲. 目的：關注學生對數(shù)學知識的理解、數(shù)學方法的掌握和數(shù)學情感的感悟，力爭使每個層次的學生在本節(jié)課學有所獲. 實際效果：學生暢所欲言自己的切身感受與實

21、際收獲，每個同學的感受也揭示了各自的良好學習方法，為其他同學的學習、聽講等方面提供了有效的借鑒. 第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 1、本節(jié)課中涉及的所有題目在課下進行分類整理，留作資料； 2、針對自己對本章的理解，每名同學命制一份試卷，要求時間在60分鐘左右，重點突出，難度適宜，并配有答案（此作業(yè)不要求第二天必須上交，給學生一定的收集資料時間）. 四、教學反思 1、作為一章的復習課，本節(jié)課設置的內(nèi)容較為全面細致，重點突出，課堂容量相對來說較大，學生的分組討論從時間上來看較為緊張，因而，應該更好地規(guī)劃對某些題目的處理. 2、通過課前知識網(wǎng)絡的整理、課堂展示講解的過程，為學生提供展示自己的機會，更利于教師在此過程中發(fā)現(xiàn)學生的閃光點以及思維的誤區(qū)，以便指導今后的教學. 3、學生的學習合作小組也應該是動態(tài)的，所學知識的不同，學生的反應也不相同，在分組時，應該將思維形態(tài)類似的同學放在一組，這樣，可以避免讓一些思維活躍的學生代替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問.同時，教師應對小組討論給予適當?shù)闹笇?，包括知識的啟發(fā)引導、學生交流合作中注意的問題及對困難學生的幫助等，使小組合作學習更具實效性. 此外，作為一個較大的章節(jié)復習課，希望一節(jié)課完成上面所有的任務，是比較困難的，因此，建議根據(jù)學生狀況靈活選擇其中部分例習題，如有可能，將例習題分解成兩個課時。