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第一章 §2
一、選擇題
1.6位選手依次演講,其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講,則不同的演講次序共有( )
A.240種 B.360種
C.480種 D.720種
[答案] C
[解析] 本題考查了排列問題的應用.由題意,甲可從4個位置選擇一個,其余元素不限制,所以所有不同次序共有AA=480.利用特殊元素優(yōu)先安排的原則分步完成得到結論.
2.由1、2、3、4、5組成沒有重復數字的四位數,按從小到大的順序排成一個數列{an},則a72等于( )
A.1543 B.2543
C.3542 D.4532
[答案] C
[解
2、析] 容易得到千位為1時組成四位數的個數為A=24,則千位為2,3,4,5時均有四位數24個,由于24×3=72,四位數由小到大排列,可知第72個數為千位為3的最大的四位數即3542,故選C.
3.(2014·遼寧理,6)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數為( )
A.144 B.120
C.72 D.24
[答案] D
[解析] 采用插空法.任兩人隔1椅,共有2A=12,
有兩個隔2椅,共有A·A=12,
共有12+12=24(種)方法.
二、填空題
4.2014年南京青奧運火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能
3、從甲、乙、丙三人中產生,最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生,則不同的傳遞方案共有________種(用數字作答).
[答案] 96
[解析] 先安排最后一棒,有A種方案;再安排第一棒,有A種方案;最后安排中間四棒,有A種方案.所以不同的傳遞方案共有A·A·A=96種.
5.(2013·北京理,12)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數是________.
[答案] 96
[解析] 5張參觀券分為4堆,有2個連號的有4種分法,每一種分法中的不同排列有A種,因此共有不同的分法4A=4×24=96種.
4、三、解答題
6.書架上某層有6本書,新買了3本書插進去,要保持原來6本書原有順序,問有多少種不同插法?
[解析] 解法一:9本書按一定順序排在一層,考慮到其中原來的6本書保持原有順序,原來的每一種排法都重復了A次.
所以有A÷A=504(種).
解法二:把書架上的這一層欲排的9本書看作9個位置,將新買的3本書放入這9個位置中的3個,其余的6本書按著原來順序依次放入.
則A=504(種).
解法三 將新買來的3本書逐一插進去.空檔中選1個,有7種選法,第2本書可從現(xiàn)在的7本書的8個空檔中選1個,有8種選法,最后1本可從現(xiàn)在的8本書9個空檔中選1個有9種選法;3本書都插進去,這件事才算
5、做完,根據乘法原理,共有7×8×9=504(種)不同的插入方法.
一、選擇題
1.(2014·鄭州網校期中聯(lián)考)從6個人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽,要求每個城市有一人游覽,每人只游覽一個城市,且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽,則不同的選擇方案共有( )
A.300種 B.240種
C.144種 D.96種
[答案] B
[解析] 先從除甲、乙外的4人中選取1人去巴黎,再從其余5人中選3人去倫敦、悉尼、莫斯科,共有不同選擇方案,A·A=240種.
2.在由數字1,2,3,4,5組成的沒有重復數字的5位數中,大于23 145且小于43 521的數共有
6、( )
A.56個 B.57個
C.58個 D.60個
[答案] C
[解析] 首位為3時,有A=24;
首位為2時,千位為3,則有AA+1=5,
千位4或5時,AA=12;
首位為4時,千位為1或2,則AA=12,
千位為3,則有AA+1=5,
∴共有24+5+12+12+5=58.
3.某臺小型晚會由6個節(jié)目組成,演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前兩位,節(jié)目乙不能排在第一位,節(jié)目丙必須排在最后一位,該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有( )
A.36種 B.42種
C.48種 D.54種
[答案] B
[解析] 分兩類解決:
第一類:甲排在第一位,共有A=
7、24種排法.
第二類:甲排在第二位,共有A·A=18種排法.
所以節(jié)目演出順序的編排方案共有24+18=42種.
4.(2012·全國大綱理,11)將字母a,a,b,b,c,c排成三行兩列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,則不同的排列方法共有( )
A.12種 B.18種
C.24種 D.36種
[答案] A
[解析] 本題考查了分步計數原理的應用.利用分步計數原理,先填寫最左上角的數,有C=3種;再填寫右上角的數為2種;再填寫第二行第一列的數有2種,一共有3×2×2=12種.故選A.
解題的關鍵是正確地利用分步計數原理合理地分步計算.
5.(2014·四川理
8、,6)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( )
A.192種 B.216種
C.240種 D.288種
[答案] B
[解析] 分兩類:最左端排甲有A=120種不同的排法,最左端排乙,由于甲不能排在最右端,所以有CA=96種不同的排法,由加法原理可得滿足條件的排法共有216種.解決排列問題,當有限制條件的問題要注意分類討論,做到不重、不漏.
二、填空題
6.(2014·遼寧省協(xié)作聯(lián)校三模)航空母艦“遼寧艦”在某次飛行訓練中,有5架殲-15飛機準備著艦.如果甲、乙兩機必須相鄰著艦,而甲、丁兩機不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有_____
9、___種.
[答案] 36種
[解析] ∵甲、乙相鄰,∴將甲、乙看作一個整體與其他3個元素全排列,共有2A=48種,其中甲乙相鄰,且甲丁相鄰的只能是甲乙丁看作一個整體,甲中間,有AA=12種,∴共有不同著艦方法48-12=36種.
7.(1)若A=7A,則n=________;
(2)若=4,則n=________.
[答案] (1)7 (2)5
[解析] (1)將A=7A按排列數公式展開得n(n-1)=7(n-4)(n-5)(n≥6,n為正整數),解得n=7.
(2)將=4改寫為階乘形式為=+=(n-3)(n-4)+(n-3)=4(n≥5,n為正整數),解得n=5.
三、解答
10、題
8.從7名運動員中選出4人參加4×100米接力,求滿足下述條件的安排方法的種數:(1)甲、乙二人都不跑中間兩棒;(2)甲、乙二人不都跑中間兩棒.
[分析] 這是排列和體育項目的綜合題目,應在理解4×100米接力方式的同時,合理運用排列知識確定安排的方法.
[解析] (1)從甲、乙之外的5人中選2人安排在中間兩棒有A種方法,再從所有余下5人中安排首、末棒有A種方法,故符合要求的共有A·A=400(種)方法.
(2)從7人中選4人安排到各接力區(qū)有A種方法,去掉甲、乙兩人都跑中間兩棒的種數為A·A.即得甲、乙二人不都跑中間兩棒的有A-A·A=800(種)方法.
[點評] 本題主要考查了
11、體育中4×100米接力的要求和排列知識,考查了應用數學知識的能力,解決此類問題的關鍵在于從題目情景中提煉出“序”的實質.
9.由0,1,2,3,4,5共六個數字組成沒有重復數字的六位數,其中小于50萬又不等于5的倍數的數有多少個?
[分析] 依題意,有兩個特殊元素,即數字“0”和“5”,不能放入兩個特殊的盒子,即“首位”和“個位”,解題的基本策略有3種:
(1)以元素即數字為主,先排特殊元素再排其他元素;
(2)可以以盒子即數位為主,先排特殊位置,再排其他位置;
(3)將全排列數減去不符合要求的數的個數.
[解析] 解法一:因為0和5不能排在首位或個位,先將它們排在中間4個位置上有
12、A種排法,再排其他4個數有A種排法,由分步乘法計數原理,共有A·A=12×24=288個符合要求的六位數.
解法二:因為首位和個位上不能排0和5,所以先從1,2,3,4中任選2個排在首位和個位,有A種排法,再排中間4位數有A種排法,由分步乘法計數原理,共有A·A=12×24=288個符合要求的六位數.
解法三:六個數字的全排列共有A個,其中有0排在首位或個位上的有2A個,還有5排在首位或個位上的也有2A個,它們都不合要求應減去,但這種情況都包含0和5分別在首位或個位上的排法2A種,所以有A-4A+2A=288個符合要求的六位數.
10.從數字0,1,3,5,7中取出不同的三個數作系數,可
13、以組成多少個不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有實根的方程有多少個?
[分析] 第一問隱含的限制條件是a≠0,可轉化為由0,1,3,5,7排成沒有重復數字的三位數.
第二問的限制條件等價于Δ≥0,即受不等式b2-4ac≥0的制約,需分類討論.
[解析] 先考慮組成一元二次方程的問題:
首先確定a,只能從1,3,5,7中選一個,有A種,然后從余下的4個數中任選兩個作b、c,有A種,
∴由分步乘法計數原理知,組成一元二次方程共有A·A=48(個).
方程要有實根,必須滿足Δ=b2-4ac≥0.
分類討論如下:
當c=0時,a,b可在1,3,5,7中任取兩個排列,有A個;
當c≠0時,分析判別式知,b只能取5,7.當b取5時,a,c只能取1,3這兩個數,有A種;當b取7時,a,c可取1,3或1,5這兩組數,有2A種.此時共有A+2A個.
由分類加法計數原理知,有實根的一元二次方程共有
A+A+2A=18(個).
[點評] 對于這類由數字組成方程(或函數或不等式)個數、直線、二次曲線條數等實際問題,可以轉化為排數問題求解,但要搞清哪些是特殊元素(或位置),再根據問題進行合理分類、分步,選擇合適的解法.
專心---專注---專業(yè)