2018年高考數(shù)學(xué) 專題13 概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)案 理

專題13 概率與統(tǒng)計(jì)【2018年高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)抽樣方法的選擇、與樣本容量相關(guān)的計(jì)算，尤其是分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算，A級要求(2)圖表中的直方圖、莖葉圖都可以作為考查點(diǎn)，尤其是直方圖更是考查的熱點(diǎn)，A級要求(3)特征數(shù)中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算都是考查的熱點(diǎn)，B級要求(4)隨機(jī)事件的概率計(jì)算，通常以古典概型、幾何概型的形式出現(xiàn)，B級要求.【重點(diǎn)、考點(diǎn)剖析】 1概率問題(1)求某些較復(fù)雜的概率問題時(shí)，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個(gè)彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件的概率，然后利用P(A)1P()可得解；(2)用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列出來，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)求出事件A的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好辦法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏；(3)求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件2統(tǒng)計(jì)問題(1)統(tǒng)計(jì)主要是對數(shù)據(jù)的處理，為了保證統(tǒng)計(jì)的客觀和公正，抽樣是統(tǒng)計(jì)的必要和重要環(huán)節(jié)，抽樣的方法有三：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣；(2)用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布一節(jié)的重點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，考點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用；(3)用莖葉圖優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會抹掉，能夠展開數(shù)據(jù)發(fā)布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了；(4)兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系中，主要能作出散點(diǎn)圖，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性或歸方程系數(shù)或公式建立線性回歸方程.【題型示例】題型一古典概型問題例1、【2017山東，理8】從分別標(biāo)有，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（A） （B） （C） （D）【答案】C 【變式探究】(2015·江蘇，5)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_解析這兩只球顏色相同的概率為，故兩只球顏色不同的概率為1.答案【變式探究】(2015·北京，16)A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位：天)記錄如下：A組：10，11，12，13，14，15，16B組：12，13，15，16，17，14，a假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙(1) 求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率；(2) 如果a25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長的概率；(3) 當(dāng)a為何值時(shí)，A，B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等？(結(jié)論不要求證明)解設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人”，事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人”，i1，2，7.由題意可知P(Ai)P(Bi)，i1，2，7.(1)由題意知，事件“甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天”等價(jià)于“甲是A組的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率是P(A5A6A7)P(A5)P(A6)P(A7).(2)設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長”由題意知，CA4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)P(A4B1)P(A5B1)P(A6B1)P(A7B1)P(A5B2)P(A6B2)P(A7B2)P(A7B3)P(A6B6)P(A7B6)10P(A4B1)10P(A4)P(B1).(3)a11或a18.【感悟提升】1古典概型的求解思路(1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列組合的相關(guān)知識(2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性(3)根據(jù)公式P(A)求出【變式探究】某班級的某一小組有6位學(xué)生，其中4位男生，2位女生，現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級志愿者小組，求下列事件的概率：(1)選取的2位學(xué)生都是男生；(2)選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生破題切入點(diǎn)先求出任取2位學(xué)生的基本事件的總數(shù)，然后分別求出所求的兩個(gè)事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率公式求解題型二幾何概型問題例2、【2017課標(biāo)1，理】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是ABCD【答案】B【變式探究】 (2016·課標(biāo)，4，易)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，小明在7：50至8：30 之間到達(dá)發(fā)車站，故他只能乘坐8：00或8：30發(fā)的車，所以他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率P.【變式探究】 (2015·陜西，11)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B.C. D.解析由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足yx的部分為如圖陰影所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為：P.答案B【變式探究】(2014·湖北)由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域記為2.在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意作圖，如圖所示，1的面積為×2×22，圖中陰影部分的面積為2××，則所求的概率P，故選 D.【感悟提升】幾何概型的求解思路概率中的幾何概型是一個(gè)重要內(nèi)容，高考時(shí)經(jīng)常考，題目不難，往往利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，?？疾閹缀螆D形的面積、體積等，有時(shí)要用到轉(zhuǎn)化的思想和對立事件求解概率的思維方法求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域其解析為：(1)判斷所求幾何概型的類型；(2)分別確定相關(guān)的區(qū)域長度(面積與體積)；(3)代入公式計(jì)算【變式探究】節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是()A.B.C.D.答案C解析設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為x、y，x、y相互獨(dú)立，由題意可知，如圖所示兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過2秒的概率為P(|xy|2).題型三、抽樣方法例3、【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.【答案】（）見解析;（）.【解析】（）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.，.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（）解：設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)， 表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為. 【變式探究】(2016·山東，3，易)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5，30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20)，20， 225)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A56 B60 C120 D140【答案】D【解析】由頻率分布直方圖可知，每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.160.080.04)×2.50.7，所以每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是200×0.7140.【變式探究】(2015·陜西，2)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為()A167 B137 C123 D93解析由題干扇形統(tǒng)計(jì)圖可得該校女教師人數(shù)為：110×70%150×(160%)137.故選B.答案B【變式探究】(1)(2014·湖南)對一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()Ap1p2<p3 Bp2p3<p1Cp1p3<p2 Dp1p2p3(2)(2014·廣東)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖和圖所示為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A200,20 B100,20C200,10 D100,10【命題意圖】(1)本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的抽樣及其概念，意在考查考生對抽樣方法概念的理解(2)本題主要考查樣本容量和分層抽樣的概念及計(jì)算要完成本題的計(jì)算需要從扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖中讀出相關(guān)數(shù)據(jù)并進(jìn)行計(jì)算，意在考查考生的數(shù)據(jù)處理能力【答案】(1)D(2)A【感悟提升】在解題時(shí)注意各種抽樣方法的特點(diǎn)及適用范圍，利用各種抽樣都是等概率抽樣(1)在系統(tǒng)抽樣的過程中，要注意分段間隔，需要抽取幾個(gè)個(gè)體，樣本就需要分成幾個(gè)組，則分段間隔即為(N為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個(gè)體的號碼數(shù)，再從后面的每組中按規(guī)則抽取每個(gè)個(gè)體(2)在分層抽樣中，要求各層在樣本中和總體中所占比例相同【變式探究】從編號為001,002，500的500個(gè)產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中編號最小的兩個(gè)編號分別為007,032，則樣本中最大的編號應(yīng)該為()A480B481C482D483【答案】C【解析】因?yàn)橄到y(tǒng)抽樣是等距抽樣，且抽樣的樣本中最小兩個(gè)編號的差為25，所以7(k1)·25500，解得k，即k取1,2,3，20，所以樣本中最大的編號為7(201)·25482.題型四頻率分布直方圖與莖葉圖例4【2017課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下：（1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；（2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）附： 【答案】（1）；（2）見解析；（3）.【解析】（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” ， 表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于” 由題意知 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于的頻率為故的估計(jì)值為0.62新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于的頻率為故的估計(jì)值為0.66因此，事件A的概率估計(jì)值為（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量箱產(chǎn)量舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466由于故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)（3）因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為【變式探究】 (2015·安徽，6)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x11，2x21，2x101的標(biāo)準(zhǔn)差為()A8 B15 C16 D32【變式探究】(2015·湖南，12)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示： 若將運(yùn)動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139，151上的運(yùn)動員人數(shù)是_解析由題意知，將135號分成7組，每組5名運(yùn)動員，落在區(qū)間139，151的運(yùn)動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名答案4題型五變量間的相關(guān)關(guān)系及統(tǒng)計(jì)案例例5(2015·新課標(biāo)全國，31)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖以下結(jié)論不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【變式探究】(2015·福建，4)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程x，其中0.76，yx據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A11.4萬元 B11.8萬元 C12.0萬元 D12.2萬元解析回歸直線一定過樣本點(diǎn)中心(10，8)，0.76，0.4，由0.76x0.4得當(dāng)x15萬元時(shí)，11.8萬元故選B.答案B【舉一反三】(2015·新課標(biāo)全國，19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值xyw46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，wi. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(2)令w，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于68，56368×6.8100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為100.668.14