2018年高考數(shù)學 常見題型解法歸納反饋訓練 第92講 極坐標常見題型解法

第92講 極坐標常見題型解法【知識要點】一、在平面內(nèi)取一個定點為極點，引一條射線為叫做極軸，再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系.對于平面內(nèi)的點，設， ，稱、為點的極徑、極角，有序數(shù)對就叫做的極坐標.二、一般地，當極角的取值范圍是時，平面上的點(除去極點)就與極坐標建立一一對應的關(guān)系，否則點與極坐標就不是一一對應.極點的極坐標是，其中極角是任意角.三、負極徑的規(guī)定：在極坐標系中，極徑允許取負值，當時，點位于極角的終邊的反向延長線上，且，可以表示為，或 四、直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位.平面內(nèi)任意一點的直角坐標與極坐標分別為和，則由三角函數(shù)的定義可以得到： （求點的直角坐標的公式），（求點的極坐標的公式）.五、球坐標系：設是空間任意一點，在平面的射影為，連接，記， 與軸正向所夾的角為，在平面的射影為，軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到時所轉(zhuǎn)過的最小正角為，點的位置可以用有序數(shù)組表示，我們把建立上述對應關(guān)系的坐標系叫球坐標系(或空間極坐標系)，有序數(shù)組叫做點的球坐標，其中，.空間點的直角坐標與球坐標之間的變換關(guān)系為：；六、柱坐標系：設是空間任意一點，在平面的射影為，用 表示點在平面上的極坐標，點的位置可用有序數(shù)組，表示把建立上述對應關(guān)系的坐標系叫做柱坐標系，有序數(shù)組叫點的柱坐標，其中，空間點的直角坐標與柱坐標之間的變換關(guān)系為：.【題型講評】題型一求點的直角坐標解題步驟一般直接代入公式即可，代公式時注意“”與“”對應，“”與“”對應.其中經(jīng)常用到三角恒等變換的誘導公式“縱變橫不變，符號看象限”.【例1】點的極坐標為，則它的直角坐標為 .【點評】把極坐標化成直角坐標時，要求我們對三角函數(shù)的誘導公式很熟練很準備，否則就有可能計算出錯.如本題中的，就要計算準確.【反饋檢測1】若點的極坐標為，則點的直角坐標是（ ）A B C D 題型二求點的極坐標解題步驟一般直接代公式解出即可.注意兩點：（1）極角一般??；（2）求極角時，一定要先通過點定出極角所在的象限位置，再通過求出極角的大小.即先定位，后定量.如果點不在象限里面，則直接寫出它的極坐標.【例2】點的直角坐標是，則點的極坐標為（ ）A B C D【點評】這種題最容易出錯的是極角的大小，必須向定位，后定量.本題中極角和位置相同，所以極角在第二象限，又，所以極角【反饋檢測2】點，則它的極坐標是（ ）A B C D題型三求曲線直角方程的極坐標方程解題步驟一般先代入公式，再化簡整理即可.其中常用到輔助角公式.【例3】 把方程化為極坐標方程.【解析】 .【點評】把直角坐標方程化成極坐標方程時，一般要利用輔助角公式化簡,以達到最簡的目的.【反饋檢測3】已知圓的方程為，求該圓的極坐標方程.題型四求曲線的直角坐標方程解題步驟一般先代公式，再化簡整理即可.【例4】極坐標方程和參數(shù)方程 (為參數(shù))所表示的圖形分別為()A圓、直線 B直線、圓 C圓、圓 D直線、直線【點評】把極坐標方程化成直角坐標方程時，注意技巧，可以方程的兩邊同時乘以，得到，這樣便于代公式.【反饋檢測4】極坐標方程表示的曲線為（ ）A極點 B極軸 C一條直線 D兩條相交直線題型五求曲線的極坐標方程解題步驟方法一：一般先把已知條件中的所有條件化成直角坐標，求出曲線的直角坐標方程，再把求出的直角坐標方程化為極坐標方程.方法二：建系設點列式化簡.一般選第一種方法解答.【例5】 在極坐標系中，圓過極點，且圓心的極坐標是()，則圓的極坐標方程是（ ）A B C D【點評】本題選擇的是第一種方法，先把所有的條件化成直角坐標，求出直角坐標方程，再把直角坐標方程化成極坐標.【反饋檢測5】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線在點處的切線為.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程.【例6】在極坐標系中，已知圓的圓心，半徑，點在圓上運動.（I）求圓的極坐標方程；（II）若在直線上運動，且，求動點的軌跡方程.【解析】（I）QMCOX·P設圓上任意一點，則在三角形中，由余弦定理得即：整理即可得圓的極坐標方程為：（II）設,，依題意可知：代入得化簡得：動點的軌跡方程為：【點評】本題就是選擇的方法二求的曲線的極坐標方程.其中多涉及到解三角形的知識（正弦定理和余弦定理）.【反饋檢測6】在極坐標系中，已知圓的圓心半徑,求圓的極坐標方程.題型六極坐標和其它知識的綜合解題步驟一般先化成直角坐標，再利用涉及的相關(guān)知識分析解答.【例7】在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程是，射線與圓的交點為，與直線的交點為，求線段的長.【點評】（1）極坐標可以和很多知識整合，整合最多的是解析幾何.（2）本題的第二問比較巧妙，計算線段的長度時，沒有計算兩個端點的坐標，因為這樣的計算量比較大. 直接用兩個端點的極徑之差來求線段的長度，因為兩個端點的極角相等.【反饋檢測7】在直角坐標系中，直線（為參數(shù)， ）與圓相交于點，以為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系（1）求直線與圓的極坐標方程；（2）求的最大值【反饋檢測8】已知在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為則直線被圓所截得的弦長為 高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第92講：極坐標常見題型解法參考答案【反饋檢測1答案】【反饋檢測1詳細解答】，則點的直角坐標是.故選.【反饋檢測2答案】C【反饋檢測2詳細解答】,所以，故選C.【反饋檢測3答案】【反饋檢測3詳細解答】由題得【反饋檢測4答案】【反饋檢測4詳細解析】，即或，表示的是兩條相交直線.所以選擇.【反饋檢測5答案】【反饋檢測6答案】【反饋檢測6詳細解析】方法一：設點，在中，由余弦定理可知，即方法二：圓的圓心為直角坐標方程為即，將代入上式，得【反饋檢測7答案】（1）；（2）.【反饋檢測8答案】【反饋檢測8詳細解析】圓的普通方程為，直線的普通方程為 ，圓心到直線的距離，則直線被圓所截得的弦長為. 9