2018年高考數學 命題角度5.6 圓錐曲線的探究、存在性問題大題狂練 理

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1、 命題角度5.6：圓錐曲線的探究、存在性問題 1.在平面直角坐標系中，直線不過原點，且與橢圓有兩個不同的公共點. （Ⅰ）求實數取值所組成的集合； （Ⅱ）是否存在定點使得任意的，都有直線的傾斜角互補.若存在，求出所有定點的坐標；若不存在，請說明理由. 【答案】（I）；（II）或. 【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線與橢圓的方程運用二次方程的判別式建立不等式進行求解；（2）充分利用題設條件建立方程，借助坐標之間的關系進行運算求解、推理論證： （II）假設存在定點使得任意的,都有直線的傾斜角互補， 即，令, 所以， 整理得：， 經檢驗，滿足題意， 所以存在定點使得任意的

2、,都有直線的傾斜角互補， 坐標為或. 點睛：橢圓是典型的圓錐曲線代表之一，也高考必考的重要考點之一。本題的設置旨在考查橢圓的標準方程及幾何性質等基礎知識和基本技能，同時檢測轉化化歸能力、運算求解能力及數形結合思想函數方程思想等數學思想和方法。求解第一問的思路是聯(lián)立直線與橢圓的位置關系的方程運用二次方程的判別式建立不等式進行求解；第二問的求解過程則充分利用題設條件進行運算求解、推理論證從而使得問題獲證。 2.已知橢圓 的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、， 為坐標原點，四邊形的面積為，且該四邊形內切圓的方程為． （Ⅰ）求橢圓的方程; （Ⅱ）若、是橢圓上的兩個不同的動點，直線、的斜率

3、之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由. 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）. 【解析】試題分析： (1)利用題意求得， ，則橢圓的方程為： ； (2)分別考查斜率存在和斜率不存在兩種情況，求得的面積為定值. （Ⅱ）若直線的斜率存在，設直線的方程為， ， ， 由得： 直線與橢圓相交于兩個不同的點， 得： ③ 由韋達定理： 直線的斜率之積等于， 滿足③ 又到直線的距離為, 所以的面積 若直線的斜率不存在， 關于軸對稱 設， ，則， 又 在橢圓上， ， 所以的面積 綜上可知， 的面積為定值. 3.已知動圓經過

4、點，并且與圓相切. （1）求點的軌跡的方程； （2）設為軌跡內的一個動點，過點且斜率為的直線交軌跡于兩點，當為何值時？ 是與無關的定值，并求出該值定值. 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）由橢圓定義易知軌跡為橢圓，確定， 即可； （2）設，直線，與橢圓聯(lián)立得，進而通過韋達定理建立根與系數的關系， ，由，代入化簡即可求定值. 試題解析： （1）由題設得： ，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓， 橢圓方程為. （2）設，直線， 由得， . . 的值與無關， ， 解得.此時. （方法：①當時，…；②當時，設直線，…；可以減少計算量.）

5、4. 在平面直角坐標系中，動點到點的距離與它到直線的距離之比為． （1）求動點的軌跡的方程； （2）設直線與曲線交于兩點，與軸、軸分別交于兩點（且在之間或同時在之外）．問：是否存在定值，對于滿足條件的任意實數，都有的面積與的面積相等，若存在，求的值；若不存在，說明理由． 【答案】（1） ；（2）存在，． 試題解析：（1）設，則，整理得， ∴軌跡的方程為 （2）聯(lián)立消去得， ，由得． 設，則， 由題意，不妨設， 的面積與的面積總相等恒成立線段的中點與線段的中點重合 ∴，解得， 即存在定值，對于滿足條件，且（據（*）的任意實數， 都有的面積與的面積相等． 考

6、點：橢圓的標準方程；直線與橢圓的位置關系． 【方法點晴】本題主要考查了直線與圓錐曲線問題，其中解答中涉及到橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，本題解答中利用直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用方程的根與系數的關系、韋達定理的應用是解答關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題． 5.已知橢圓： （）的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）已知點為動直線與橢圓的兩個交點，問:在軸上是否存在定點,使得為定值？若存在，試求出點的坐標和定值；若不存在,請說明理由. 【答案】

7、（Ⅰ）;（Ⅱ）. 【解析】試題分析：（1）由，以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑與直線相切，求出的值，由此可求出橢圓的方程； （2）由得，由此利用韋達定理、向量的數量積，結合已知條件能求出在軸上存在點，使為定值，定點為。 （Ⅱ）由得，且 設，則， 根據題意，假設軸上存在定點，使得為定值，則有 要使上式為定值，即與無關，則應， 即，此時為定值，定點為. 點睛：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的綜合應用，其中解答中涉及到橢圓的標準方程及其簡單的幾何性質，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，本題的解答中把直線方程

8、與橢圓方程聯(lián)立，轉化為方程的根與系數的關系、韋達定理的應用是解答的關鍵。 6.如圖，已知橢圓經過不同的三點在第三象限），線段的中點在直線上． （Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標； （Ⅱ）設點是橢圓上的動點（異于點且直線分別交直線于兩點，問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由． 【答案】（1）；（2）． 【解析】試題分析：（1）點的坐標代入橢圓的方程就可求得方程，設點的坐標，根據條件可得點的坐標代入橢圓方程，BC中點坐標代入直線的方程，兩方程聯(lián)立可求點的坐標；（2）設，根據三點共線，用點P的坐標表示，同理用點P的坐標表示。再求為定值，所以。 試題解析：（Ⅰ）由點在橢圓上，得解

9、得所以橢圓的方程為………………………3分 由已知，求得直線的方程為從而（1） 又點在橢圓上，故（2） 由（1）（2）解得（舍去）或從而 所以點的坐標為………………………………………6分 （Ⅱ）設 因三點共線，故整理得 因三點共線，故整理得……………10分 因點在橢圓上，故，即 從而 所以為定值． ………………………15分 【點睛】1.求點的坐標可由條件得關于坐標的兩個關系式，解方程組即可；2.因為兩點， 在直線上，設所以，再由條件找兩點的坐標與點的坐標的關系，根據點在橢圓上，可求為定值。 7.已知橢圓： 的左右焦點分別是，直線與橢圓交于兩點，當時， 恰為橢

10、圓的上頂點，此時的面積為6. （1）求橢圓的方程； （2）設橢圓的左頂點為，直線與直線分別相交于點，問當變化時，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由. 【答案】（1）；（2）弦長為定值6． 【解析】試題分析：（1）根據時，直線的傾斜角為，又的周長為6，即可求得橢圓方程；（2）利用特殊位置猜想結論：當時，直線的方程為： ，求得以為直徑的圓過右焦點，被軸截得的弦長為6 ，猜測當變化時，以為直徑的圓恒過焦點，被軸截得的弦長為定值6，再進行證明即可. 試題解析：（1）當時，直線的傾斜角為，所以： 解得： ，所以橢圓方程是：； （2）當

11、時，直線： ，此時，，，又點坐標是，據此 可得，，故以為直徑的圓過右焦點，被軸截得的弦長為6．由此猜測當變化時，以為直徑的圓恒過焦點，被軸截得的弦長為定值6．　 證明如下：設點點的坐標分別是，則直線的方程是： ，所以點的坐標是，同理，點的坐標是， 由方程組　得到：， 所以：，　　從而： =0， 所以：以為直徑的圓一定過右焦點，被軸截得的弦長為定值6． 【方法點睛】本題主要考查待定待定系數法橢圓標準方程方程、圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；② 直接推理、計算，并在計算

12、推理的過程中消去變量，從而得到定值. 8.已知， ，曲線上的任意一點滿足： . （1）求點的軌跡方程； （2）過點的直線與曲線交于， 兩點，交軸于點，設， ，試問是否為定值？如果是定值，請求出這個定值，如果不是定值，請說明理由. 【答案】（1）;（2）. 【解析】試題分析：（Ⅰ）求出向量的坐標，利用條件化簡，即可求點的軌跡方程； （Ⅱ）分類討論，利用， ，結合韋達定理，即可得出結論． 試題解析：（1）設，則， ， ， ∵，∴， 化簡得， 為所求點的軌跡方程. （2）設， . ①當直線與軸不重合時，設直線的方程為， 則，從而， ，由得 ， ， ， 同理由得， ∴.①

13、 由，得. ∴， ， 代入①式得，∴. ②當直線與軸重合時， ， ， . 由， ，得， ，∴， 綜上， 為定值. 點睛:定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn). 9.已知橢圓： （）的左焦點與拋物線的焦點重合，直線與以原點為圓心，以橢圓的離心率為半徑的圓相切． （Ⅰ）求該橢圓的方程； （Ⅱ）過點的直線交橢圓于， 兩點，線段的中點為， 的垂直平

14、分線與軸和軸分別交于， 兩點．記的面積為， 的面積為．問：是否存在直線，使得，若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析. 試題解析： （Ⅰ）由題意，得， ，即，∴， ∴所求橢圓的方程為． （Ⅱ）假設存在直線使，顯然直線不能與， 軸垂直． ∴直線的斜率存在，設其方程為（）， 將其代入整理得， 設， ， ， ， ∴， ∵，∴， 解得，即， ∵，∴，∴， 即，又∵，∴， ∴， 整理得因為此方程無解，故不存在直線滿足． 10. 已知橢圓，設為橢圓上一點，且 . （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，是否存在以為直角頂點的內接于橢圓的等腰直

15、角三角形？若存在，請求出共有幾個？若不存在，請說明理由. 【答案】（I）；（II）存在個，理由見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據橢圓定義及性質知，，在焦點三角形中，由余弦定理得：，得：，再有，得：；（Ⅱ）先分析特殊情況，當中一個斜率為零，一個斜率不存在顯然不符合題意， 設，不妨設，聯(lián)立直線和橢圓，利用直線和橢圓的位置關系得，從而，根據,可得：，化簡求解，故存在個． （Ⅱ）當中一個斜率為零，一個斜率不存在顯然不符合題意， 設，不妨設， 聯(lián)立直線和橢圓方程得， 解得兩根為， 所以，由，得 把中的換成，可得 由的，結合化簡得，整理得解得，均符合， 所以符合條件的的個數有個. 考點：1、橢圓的簡單幾何性質；2、直線和橢圓的位置關系． 【思路點晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，屬于難題．解決本類問題時，注意使用橢圓的定義，焦點三角形中余弦定理及三角形面積公式，即可求得；存在性問題一般先假設存在然后去處理，本題注意先設一條直線，利用兩條直線垂直得另一條直線的斜率，類比的的方式去計算，然后轉化為關于的方程，討論其解的問題． - 17 -