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1、
高考數學精品復習資料
2019.5
組合增分練7 解答題組合練C
組合增分練第9頁 ?
1.(20xx河南鄭州三模,理17)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知sin B+sin C=msin A(m∈R),且a2-4bc=0.
(1)當a=2,m=時,求b,c的值;
(2)若角A為銳角,求m的取值范圍.
解 (1)∵sin B+sin C=msin A,由正弦定理得b+c=ma,又已知a2-4bc=0,當a=2,m=時,b+c=,bc=1.
解得
(2)cos A==2m2-3∈(0,1
2、).
∴0,∴
3、+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;當n為奇數時,n+1為偶數,
Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.
綜上,Tn=
3.(20xx山東煙臺一模,理17)在如圖所示的三棱柱中,側面ABB1A1為邊長等于2的菱形,且∠AA1B1=60°,△ABC為等邊三角形,平面ABC⊥平面ABB1A1.
(1)求證:A1B1⊥AC1;
(2)求側面A1ACC1和側面BCC1B1所成的二面角的余弦值.
(1)證明 取A1B1的中點O,連接OA,OC1,
∵△ABC為等邊三角形,∴C1O⊥A1B1.
∵側面ABB1A1為邊長等于2的菱形,
∴△AA1
4、B1是等邊三角形,可得OA⊥OA1,
∴A1B1⊥C1O,A1B1⊥OA,OA∩OC1=O,
∴A1B1⊥平面AOC1.而AC1?平面AOC1,∴A1B1⊥AC1.
(2)解 ∵平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,且C1O⊥A1B1,∴C1O⊥平面ABB1A1,OA?平面ABB1A1,∴AO⊥OC1.由(1)知OA⊥OA1,OA1⊥OC1,故建立坐標系O-xyz如下圖.
則A1(1,0,0),A(0,,0),C1(0,0,),B1(-1,0,0),C(-1,),
=(-1,0,),=(0,-).
設m=(x,y,z)為平面A1ACC1的法向量,
則令y=1可得m=(,1,1)
5、.
=(1,0,),=(-1,,0).
設n=(a,b,c)為平面BCC1B1的法向量,
則令b=1,可得n=(,1,-1).
∴cos=,故側面A1ACC1和側面BCC1B1所成的二面角的余弦值為.
4.(20xx黑龍江大慶三模,理19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點.
(1)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
(1)證明 ∵PC⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥PC,
∵A
6、B=2,AD=CD=1,∴AC=BC=,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,
∵AC?平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)解 如圖,以C為原點,分別為x軸、y軸、z軸正向,建立空間直角坐標系,
則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).
設P(0,0,a)(a>0),則E,
=(1,1,0),=(0,0,a),,
取m=(1,-1,0),則m·=m·=0,m為面PAC的法向量.
設n=(x,y,z)為面EAC的法向量,則n·=n·=0,
即取x=a,y=-a,z=-2,
則n=(a,-a,-2
7、),
依題意,|cos|=,則a=1.
于是n=(1,-1,-2),=(1,1,-1).
設直線PA與平面EAC所成角為θ,
則sin θ=|cos<,n>|=,即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為. ?導學號16804250?
5.(20xx山西晉中二模,理20)已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點,點D在橢圓C上,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,P兩點,與x軸、y軸分別相交于點N和M,且|PM|=|MN|,點Q是點P關于x軸的對稱點,QM的延長線交橢圓于點B,過點A,B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1,B1.
(1)
8、求橢圓C的方程.
(2)是否存在直線l,使得點N平分線段A1B1?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.
解 (1)由題意得解得a2=4,b2=3,
故橢圓C的方程為=1.
(2)假設存在這樣的直線l:y=kx+m,
∴M(0,m),N,
∵|PM|=|MN|,∴P,Q,
∴直線QM的方程為y=-3kx+m.
設A(x1,y1),由
得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0,
∴x1+=-,∴x1=-.
設B(x2,y2),由
得(3+36k2)x2-24kmx+4(m2-3)=0,
∴x2+,∴x2=-.
∵點N平分線段A1B1,∴x1+x2=
9、-,
∴-=-,∴k=±,
∴P(±2m,2m),∴=1,解得m=±,
∵|m|=0,符合題意,
∴直線l的方程為y=±x±. ?導學號16804251?
6.(20xx四川成都二診,理20)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓E:=1(a>b>0),圓O:x2+y2=r2(0
10、
∴=1,解得m=,
即切線l:y=-x+,∴A,B(,0).
∴a=,b=,
故橢圓E的方程為=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立
得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.
Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2).
x1+x2=,x1x2=.
∵以AB為直徑的圓經過坐標原點O,
∴=x1x2+y1y2=0.
則(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
∴m2(a2+b2)=(k2+1)a2b2.①
又∵圓O的一條切線l:y=kx+m,
∴原點O到切線l:y=kx+m的距離為半徑r,即m2=(1+k2)r2.②
由①②得r2(a2+b2)=a2b2,
∴以AB為直徑的圓經過坐標原點O,則a,b,r之間的等量關系為r2(a2+b2)=a2b2. ?導學號16804252?
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