浙江高考數學理二輪專題訓練：第1部分 專題二 第2講 三角恒等變換與解三角形選擇、填空題型

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 考 點 考 情 三角函數的概念及誘導公式 　　1.對三角變換公式注重基礎考查，并在綜合試題中作為一種工具考查，主要考查利用各種三角公式進行求值與化簡，其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點，切化弦、角的變換是常考的三角變換思想．如浙江T6等． 2.正弦定理和余弦定理及解三角形問題是高考考查的重點，單獨命題的頻率較高，主要涉及以下幾個問題：(1)邊和角的計算；(2)三角形形狀的判斷；(3)面積的計算；(4)有關范圍的問題．如遼寧T6，

2、天津T6等. 同角三角函數基本關系式 兩角和與差的三角函數 倍角公式 解三角形問題 三角恒等變換與向量相結合問題 1．(20xx·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝(　　) A.　　　　　　　　 　B. C．－ D．－ 解析：選C　兩邊平方，再同時除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝，得到tan 2α＝－. 2．(20xx·遼寧高考)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，則∠B＝(　

3、　) A. B. C. D. 解析：選A　由正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin C·sin Bcos A＝sin B，因為sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，故sin B＝，因為a>b，所以∠B＝. 3．(20xx·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin ∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝. 4．(20xx·福建高考)如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥

4、AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________． 解析：因為sin∠BAC＝，且AD⊥AC， 所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，得 BD＝ ＝ ＝. 答案： 1．兩組三角公式 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. ③tan(α±β)＝ . (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝

5、1－2sin2α. ③tan 2α＝. 2．兩個定理 (1)正弦定理 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C; sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (2)余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.

6、 熱點一 三角變換與求值 [例1]　(1)(20xx·重慶高考)4cos 50°－tan 40°＝(　　) A.　　　　　　　　　 　B. C. D．2－1 (2)若tan＝，且－<α<0，則＝(　　) A．－ B．－ C．－ D. (3)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，則α＋β的值為________． [自主解答]　(1)4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－ ＝－＝ ＝＝ ＝ ＝＝＝. (2)由tan＝＝，得tan α＝－. 又－<α<0，所以sin α＝－. 故＝＝2sin α＝－. (3

7、)∵cos(2α－β)＝－且<2α－β<π， ∴sin(2α－β)＝. ∵sin(α－2β)＝且－<α－2β<， ∴cos(α－2β)＝. ∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－×＋×＝. ∵<α＋β <，∴α＋β＝. [答案]　(1)C　(2)A　(3) —————————————————規(guī)律·總結—————————————— 1．化簡求值的方法與思路 三角函數式的化簡求值可以采用“切化弦”“弦化切”來減少函數的種類，做到三角函數名稱的統一，通過三角恒等變換，化繁為

8、簡，便于化簡求值，其基本思路為：找差異，化同名(同角)，化簡求值． 2．解決條件求值應關注的三點 (1)分析已知角和未知角之間的關系，正確地用已知角來表示未知角． (2)正確地運用有關公式將所求角的三角函數值用已知角的三角函數值來表示． (3)求解三角函數中給值求角的問題時，要根據已知求這個角的某種三角函數值，然后結合角的取值范圍，求出角的大小． 1．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，則cos C的值是(　　) A．－　 　 B.　 　　 C.　 　 　 D．－ 解析：選B　由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即t

9、an(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，則C＝，cos C＝. 2．已知cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，則cos ＝________. 解析：因為<α<π，0<β<，則<<， －<－β<0，－<－<0， 所以<α－<π，－<－β<. 又cos＝－<0，sin＝>0， 所以<α－<π，0<－β<. 則sin＝ ＝， cos＝ ＝， 故cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝. 答案： 熱點二 利用正弦、余弦定理解三角形 [例2]　(1)(20xx·湖南高考)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B＝b，

10、則角A等于　　(　　) A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. (2)已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，則此三角形(　　) A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是鈍角三角形 D．可能是直角三角形，也可能是銳角三角形 (3)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4sin2 －cos 2C＝，且a＋b＝5，c＝，則△ABC的面積為________． [自主解答]　(1)由已知及正弦定理得2sin Asin B＝sin B，因為sin B>0，所以sin A＝.又A∈，所以A＝. (2)

11、依題意得＝，sin B＝＝＝<，因此0°90°，此時△ABC是鈍角三角形；若120°

12、absin C＝×6×＝. [答案]　(1)A　(2)C　(3) 將本例(1)中“2asin B＝b”改為“2bcos B＝acos C＋ccos A，且b2＝3ac，角C所對的邊長為c”，如何求解？ 解：因為2bcos B＝acos C＋ccos A，根據正弦定理可得，2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A，即sin 2B＝sin(A＋C)＝sin B，故B＝.因為b2＝3ac，所以sin2B＝3sin Asin C，即2＝3××[cos(A－C)－cos(A＋C)]＝，得cos(A－C)＝0，即A－C＝或C－A＝，又A＋C＝，得A＝或.　　　　　

13、 ——————————————————規(guī)律·總結—————————————— 解三角形問題的方法 (1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應采用正弦定理； (2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應采用余弦定理． 3．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，若acos C＋asin C＝b＋c，則角A的值為(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：選C　由acos C＋asin C＝b＋c及正弦定理，得sin Acos C＋×sin Asin C＝sin B＋sin C，由三角形內角和定理知，

14、sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，化簡得sin A－cos A＝1，即sin(A－30°)＝.由于0°

15、＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，即sin Bcos C－cos BsinC＝0，所以sin(B－C)＝0，即B＝C，所以△ABC是等腰三角形．若△ABC是等腰三角形，當A＝B時，a＝2bcos C不一定成立，所以“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要條件． 熱點三 解三角形與實際應用問題 [例3]　(1)(20xx·青島模擬)如圖所示，長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tan α等于(　　) A.　　　　　　　　 　B. C.

16、 D. (2)如圖所示，為了測量正在海面勻速行駛的某航船的速度，在海岸上選取距離為1 km的兩個觀察點C，D，在某天10：00觀察到該航船在A處，此時測得∠ADC＝30°，3 min后該船行駛至B處，此時測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，則船速為__________km/min. [自主解答]　(1)由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5，AC＝1.4，BC＝2.8，且α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos ∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝.所以sin α＝

17、.所以tan α＝＝. (2)法一：(常規(guī)思路)在△ACD中， 有＝， 得AD＝. 在△BCD中，有＝， 得BD＝1. 在△ABD中，有AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos 60°＝ 2＋12－2××1×＝， 所以AB＝，故船速為 km/min. 法二：(特殊思路) 由題意，得∠BDC＝30°＋60°＝90°， 又因為∠BCD＝45°，所以BC＝CD＝. 因為∠ACB＝∠ADB＝60°，所以A，B，C，D四點共圓，且以BC為直徑，所以AB＝BC·sin 60°＝， 故船速為 km/min. [答案]　(1)A　(2) 四步解決解三角形中的實際問題 (1

18、)分析題意，準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關名詞、術語，如坡度、仰角、方位角等； (2)根據題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出； (3)將所求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識正確求解； (4)檢驗解出的結果是否具有實際意義，對結果進行取舍，得出正確答案． 5．一船向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是(　　) A．15海里/時 B．5海里/時 C．10海里/時 D．20海

19、里/時 解析：選C　如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在 直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是10海里/時． 6．如圖所示，福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC，現在又新架設了一條索道AC.在山腳B處看索道AC，此時張角∠ABC＝120°；從B處攀登200米到達D處，回頭看索道AC，此時張角∠ADC＝150°；從D處再攀登300米即到達C處，則石竹山這條索道AC的長度為________米． 解析：在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°，由∠ADB＝30°，得∠DAB＝30°. 因為＝，即＝， 所以AD＝＝200 米． 在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°， 所以AC2＝AD2＋DC2－2×AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000.所以AC＝100 米． 答案：100