中考數學總復習 第二部分 熱點專題突破 專題八 解題之金鑰匙—數學思想方法課件

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1、專題八解題之金鑰匙數學思想方法著名的生物學家達爾文曾經說過:“最有價值的知識,就是關于方法的知識”.數學思想方法是數學知識的靈魂,是數學知識、數學技能的本質體現,是解決數學問題的金鑰匙,具有“四兩撥千斤”之效.因此掌握基本的數學思想方法,不僅是學習數學的基本要求,而且能夠使數學能力不斷提高,從而在中考中取得好成績.安徽中考常用到的數學思想方法有:整體思想、轉化思想、方程思想、數形結合思想、分類思想等.在中考復習備考階段,應系統總結這些數學思想與方法,掌握了它的實質,就可以把所學的知識融會貫通,解題時可以舉一反三,預計2017年安徽中考仍將對數學思想方法進行重點考查. 1.整體思想:整體是與局部

2、對應的,按常規(guī)不容易求某一個(或多個)未知量時,可打破常規(guī),根據題目的結構特征,把一組數或一個代數式看作一個整體,從而使問題得到解決.2.分類思想:體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.分類的原則:分類中的每一部分是相互獨立的;一次分類按一個標準;分類討論應逐級進行.正確的分類必須是周全的,既不重復,也不遺漏.3.轉化思想:在研究數學問題時,我們通常是將未知問題轉化為已知的問題,將復雜的問題轉化為簡單的問題,將抽象的問題轉化為具體的問題,將實際問題轉化為數學問題.4.數形結合思想:從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質研究數量關系,尋求代數問題的解決方法(以形助數),或利用數量關系來研

3、究幾何圖形的性質,解決幾何問題(以數助形).數形結合思想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來,使問題得以解決.5.方程思想:用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程(組).這種思想在代數、幾何及實際生活中有著廣泛的應用. 6.構造思想:用運動和變化的觀點,集合與對應的思想,去分析和研究數學問題中的數量關系,構造函數或幾何圖形,運用函數性質或圖形性質分析問題、轉化問題,從而使問題得到解決.運用構造思想要善于抓住事物在運動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質. 方法2方法1方法3方法4方法5方法6方法1整體思想典例1(2016四川雅安)已知a2+3a=1,則代數式2a2+6a-1

4、的值為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】直接利用已知將原式變形,進而代入代數式求出答案.a2+3a=1,2a2+6a-1= 2(a2+3a)-1=21-1=1.【答案】 B 【規(guī)律總結】整體思想是指把研究對象的某一部分(或全部)看成一個整體,通過觀察與分析,找出整體與局部的聯系,從而在客觀上尋求解決問題的新途徑.求代數式的值,一般是在知道字母取值的條件下進行的,但有些代數式,字母的值不知道或不易求出時,靈活變形,采用整體代入的方法,往往使問題簡便獲解. 方法2方法1方法3方法4方法5方法6方法2分類思想典例2(2016哈爾濱)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,點P為邊

5、BC的三等分點,連接AP,則AP的長為. 方法2方法1方法3方法4方法5方法6【歸納總結】在解答某些數學問題時,有時會遇到多種情況,需要對各種情況加以分類,并逐類求解,然后綜合得解,這就是分類討論法.分類的原則:(1)分類中的每一部分是相互獨立的;(2)一次分類按一個標準;(3)分類討論應逐級進行.正確的分類必須是周全的,既不重復、也不遺漏. 方法2方法1方法3方法4方法5方法6方法3轉化思想典例3(2016淮南模擬)按下列程序進行運算(如圖).規(guī)定:程序運行到“判斷結果是否大于244”為一次運算.若x=5,則運算進行次才停止;若運算進行了5次才停止,則x的取值范圍是.【解析】本題為程序信息題

6、,通過轉化借用一元一次不等式組求解問題.(1)x=5,第一次: 53-2=13;第二次:133-2=37;第三次:373-2=109;第四次:1093-2=325244,停止.(2)第1次,結果是3x-2;第2次,結果是3(3x-2)-2=9x-8;第3次,結果是3(9x-8)-2=27x-26;第4次,結果是3(27x-26)-2=81x-80;第5次,結果是3(81x-80)-2=243x-242, 解得2x4,即運行5次才停止,x的取值范圍是2x4.【答案】 4,2x4 方法2方法1方法3方法4方法5方法6【方法指導】轉化思想是解決數學問題的一種最基本的數學思想.在研究數學問題時,我們通

7、常是將未知問題轉化為已知的問題,將復雜的問題轉化為簡單的問題,將抽象的問題轉化為具體的問題,將實際問題轉化為數學問題.轉化的內涵非常豐富,已知與未知、數量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過轉化來獲得解決問題的轉機. 方法2方法1方法3方法4方法5方法6方法4數形結合思想典例4(2016亳州模擬)數形結合是數學中常用的思想方法,試運用這一思想方法確定函數y=x2+1與y= 的交點的橫坐標x0的取值范圍是 ()A.0 x01 B.1x02C.2x03 D.-1x00【解析】本題考查二次函數圖象、反比例函數圖象.如圖,函數y=x2+1與y= 的交點在第一象限,橫坐標x0的取值范圍是1x02.【答案】

8、B 方法2方法1方法3方法4方法5方法6方法5方程思想典例5(2016廣西河池)如圖的三角形紙片中,AB=AC,BC=12 cm,C=30,折疊這個三角形,使點B落在AC的中點D處,折痕為EF,那么BF的長為cm. 方法2方法1方法3方法4方法5方法6【解析】本題考查翻折變換(折疊問題).過點D作DHBC于點H,過點A作ANBC于點N,ANDH,AB=AC,B=C=30,根據折疊可得:DF=BF,EDF=B=30,AB=AC,BC=12cm,BN=NC=6cm,點B落在AC的中點D處,ANDH,NH=HC=3cm,DH=3tan30= 方法2方法1方法3方法4方法5方法6【規(guī)律總結】從分析問題

9、的數量關系入手,適當設定未知數,把所研究的數學問題中已知量和未知量之間的數量關系,轉化為方程或方程組的數學模型,從而使問題得到解決的思維方法,這就是方程思想.用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程(組).這種思想在代數、幾何及實際生活中有著廣泛的應用. 方法2方法1方法3方法4方法5方法6方法6構造思想典例6為有效開發(fā)海洋資源,保護海洋權益,我國對南海諸島進行了全面調查.一測量船在A島測得B島在北偏西30,C島在北偏東15,航行100海里到達B島,在B島測得C島在北偏東45.求B,C兩島及A,C兩島的距離.( 2.45,結果保留到整數)【解析】本題考查解直角三角形的

10、應用方向角問題.過點B作BDAC于點D,由等腰直角三角形的性質求出AD的長,再由直角三角形的性質即可得出結論. 方法2方法1方法3方法4方法5方法6【答案】由題意知,BAC=45,FBA=30,EBC=45,AB=100海里.過點B作BDAC于點D,BAD為等腰直角三角形, 21345671.(2016貴州黔南州)王杰同學在解決問題“已知A,B兩點的坐標為A(3,-2),B(6,-5),求直線AB關于x軸的對稱直線AB的解析式”時,解法如下:先是建立平面直角坐標系(如圖),標出A,B兩點,并利用軸對稱性質求出A,B的坐標分別為A(3,2),B(6,5);然后設直線AB的解析式為y=kx+b(k

11、0),并將A(3,2),B(6,5)代入y=kx+b中,得方程組最后求得直線AB的解析式為y=x-1.則在解題過程中他運用到的數學思想是 ( D )A.分類討論與轉化思想B.分類討論與方程思想C.數形結合與整體思想D.數形結合與方程思想 2134567【解析】第一步:建立平面直角坐標系,標出A,B兩點,并利用軸對稱性質求出A,B的坐標分別為A(3,2),B(6,5),這是依據軸對稱的性質求得點的坐標(有序實數對),運用了數形結合的數學思想;第二步:設直線AB的解析式為y=kx+b(k0),并將A(3,2),B(6,5)代入y=kx+b中,得方程組 最后求得直線AB的解析式為y=x-1,這里根據

12、一次函數圖象上點的坐標特征,列出方程求得待定系數,運用了方程思想. 21345672.(2016山東青島)輸入一組數據,按下列程序進行計算,輸出結果如表:分析表格中的數據,估計方程(x+8)2-826=0的一個正數解x的大致范圍為 ( C )A.20.5x20.6B.20.6x20.7C.20.7x20.8D.20.8x20.9【解析】由表格可知,當x=20.7時,(x+8)2-826=-2.31,當x=20.8時,(x+8)2-826=3.44,故(x+8)2-826=0時,20.7x20.8. 21345673.(2016廣東深圳)給出一種運算:對于函數y=xn,規(guī)定y=nxn-1.例如:

13、若函數y=x4,則有y=4x3.已知函數y=x3,則方程y=12的解是 ( B )A.x1=4,x2=-4B.x1=2,x2=-2C.x1=x2=0【解析】由函數y=x3得n=3,則y=3x2,3x2=12,x2=4,x=2,x1=2,x2=-2. 21345674.(2016四川達州)如圖,在55的正方形網格中,從在格點上的點A,B,C,D中任取三點,所構成的三角形恰好是直角三角形的概率為 ( D )【解析】從點A,B,C,D中任取三點能組成三角形的一共有4種可能,其中ABD, ADC, ABC是直角三角形,所構成的三角形恰好是直角三角形的概率為 . 21345675.(2016貴州遵義)如

14、圖,四邊形ABCD中,ABCD,ADC=90,動點P從A點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度,按ABCD的順序在邊上勻速運動,設點P的運動時間為t秒, PAD的面積為S,S關于t的函數圖象如圖所示,當P運動到BC中點時,PAD的面積為 5 . 【解析】由圖象可知,AB+BC=6,AB+BC+CD=10,CD=4,根據題意可知,當P點運動到C點時,PAD的面積最大,SPAD=21345676.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題,要在某河道建一座水泵站,分別向河的同一側張村A和李村B送水.經實地勘查后,工程人員設計圖紙時,以河道上的大橋O為坐標原點,以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系(如圖),兩村的坐標分別為A

15、(2,3),B(12,7).(1)若從節(jié)約經費考慮,水泵站建在距離大橋O多遠的地方可使所用輸水管最短?(2)水泵站建在距離大橋O多遠的地方,可使它到張村、李村的距離相等? 2134567解:(1)如圖,作點B關于x軸的對稱點E,連接AE,則點E為(12,-7).設直線AE的函數表達式為y=kx+b,則直線AE的表達式為y=-x+5.當y=0時,x=5,水泵站建在距離大橋5 km的地方,可使所用輸水管最短.2134567(2)如圖,作線段AB的垂直平分線GF,交AB于點F,交x軸于點G,作ADx軸于點D,BCx軸于點C.設點G的坐標為(x,0),在RtAGD中,AG2=AD2+DG2=32+(x

16、-2)2,在RtBCG中,BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2,AG=BG,32+(x-2)2=72+(12-x)2,解得x=9.水泵站建在距離大橋9 km的地方,可使它到張村、李村的距離相等. 21345677.(2016湖北黃石)科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園.如圖所示,圖中點的橫坐標x表示科技館從8:30開門后經過的時間(分鐘),縱坐標y表示到達科技館的總人數.圖中曲線對應的函數解析式為y= 10:00之后來的游客較少可忽略不計.(1)請寫出圖中曲線對應的函數解析式;(2)為保證科技館內游客的游玩質量,館內人數不超過684人,后來的人在館外休息區(qū)等待.從10:30開始到12:00館內陸續(xù)有人離館,平均每分鐘離館4人,直到館內人數減少到624人時,館外等待的游客可全部進入.請問館外游客最多等待多少分鐘? 2134567