《三角函數(shù)的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案北師版

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1、 1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) (一 )教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問(wèn)題過(guò)程中的應(yīng)用 . 2.能夠把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能對(duì)結(jié)果的意義進(jìn)行說(shuō)明 . (二 )能力訓(xùn)練要求 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力 . (三 )情感與價(jià)值觀要求 1.在經(jīng)歷弄清實(shí)際問(wèn)題題意的過(guò)程中，畫(huà)出示意圖，培養(yǎng)獨(dú)立思考問(wèn)題的習(xí)慣和克服困難的勇氣 . 2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù) 學(xué)的欲望 .

2、 教具重點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用 . 2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力 . 教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語(yǔ)，準(zhǔn)確地畫(huà)出示意圖 . 教學(xué)方法 探索——發(fā)現(xiàn)法 教具準(zhǔn)備 多媒體演示 教學(xué)過(guò)程 Ⅰ .創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 [師 ]直角三角形就像一個(gè)萬(wàn)花筒， 為我們展現(xiàn)出了一個(gè)色彩斑瀾的世界 .我們?cè)谛蕾p了它神秘的“勾股” 、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系， 它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，都可迎刃而解 .它在航海、工程等測(cè)量

3、問(wèn)題中有著 廣泛應(yīng)用，例如測(cè)旗桿的高度、樹(shù)的高度、塔高等 . 下面我們就來(lái)看一個(gè)問(wèn)題 ( 多媒體演示 ). 海中有一個(gè)小島 A，該島四周 10 海里內(nèi)有暗礁 .今有貨輪由西向東航行， 開(kāi)始在 A 島南偏西55°的 B 處，往東行駛 20 海里后，到達(dá)該島的南偏西 25°的 C 處，之后，貨輪繼續(xù)往東 航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎 ?你是如何想的 ?與同伴進(jìn)行交流 . 下面就請(qǐng)同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決此問(wèn)題 .(板書(shū)：船有觸礁的危險(xiǎn)嗎 ) Ⅱ .講授新課 [師 ]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的 ?

4、 [生 ]應(yīng)該是“上北下南，左西右東” . [師 ]請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫(huà)出示意圖，然后說(shuō)明你是怎樣畫(huà)出來(lái)的 . [生 ]首先我們可將小島 A 確定，貨輪 B 在小島 A 的南偏西 55°的 B 處， C 在 B 的正東方，且在 A 南偏東 25°處 .示意圖如下 . 第 1頁(yè)共5頁(yè) [師 ]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，由誰(shuí)來(lái)決定 ? [生 ]根據(jù)題意，小島四周 10 海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向

5、東航行的方向如果到 A 的 最短距離大于 10 海里，則無(wú)觸礁的危險(xiǎn)， 如果小于 10 海里則有觸礁的危險(xiǎn) .A 到 BC 所在直 線的最短距離為過(guò) A 作 AD ⊥ BC ， D 為垂足，即 AD 的長(zhǎng)度 .我們需根據(jù)題意，計(jì)算出 AD 的長(zhǎng)度，然后與 10 海里比較 . [師 ] 這位同學(xué)分析得很好，能將實(shí)際問(wèn)題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題 .下面我們就來(lái)看 AD 如何求 .根據(jù)題意，有哪些已知條件呢 ? [生 ]已知 BC °＝ 20 海里，∠ BAD ＝ 55°，∠ CAD ＝ 25°. [師 ]在示意圖中， 有兩個(gè)直角三角形 Rt△ABD 和 R

6、t△ ACD. 你能在哪一個(gè)三角形中求出 AD 呢? [生 ]在 Rt△ ACD 中，只知道∠ CAD=25 °，不能求 AD. [生 ]在 Rt△ ABD 中，知道∠ BAD=55 °，雖然知道 BC ＝ 20 海里，但它不是 Rt△ ABD 的邊，也不能求出 AD. [師 ]那該如何是好 ?是不是可以將它們結(jié)合起來(lái)，站在一個(gè)更高的角度考慮 ? [生 ]我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形有聯(lián)系， AD 是它們的公共直角邊 .而且 BC 是這兩個(gè)直角三角 形 BD 與 CD 的差，即 BC＝ BD-CD.BD 、CD 的對(duì)角是已知的， BD 、CD 和邊 AD

7、都有聯(lián)系 . [師 ]有何聯(lián)系呢 ? BD [生 ]在 Rt△ ABD 中，tan55°＝ AD CD ＝ ADtan25 ° .  ，BD=ADtan55 °；在 Rt△ ACD 中，tan25°＝ CD ， AD [生 ]利用 BC ＝ BD-CD 就可以列出關(guān)于 AD 的一元一次方程，即 ADtan55 ° -ADtan25 ° ＝ 20. [師 ]太棒了 ! 沒(méi)想到方程在這個(gè)地方幫了我們的忙 .其實(shí)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，很多地方 都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一 . 下面我們一起完整地將這

8、個(gè)題做完 . [師生共析 ]解：過(guò) A 作 BC 的垂線，交 BC 于點(diǎn) D. 得到 Rt△ ABD 和 Rt△ ACD ，從而 BD=AD tan55°， CD ＝ ADtan25 °，由 BD-CD ＝BC ，又 BC＝ 20 海里 .得 ADtan55 °-ADtan25 °＝ 20. AD(tan55 ° -tan25° )＝ 20， AD= 20 ≈ 20.79(海里 ). tan 25 tan55 這樣 AD ≈ 20.79 海里 >10 海里，所以貨輪沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn). [師 ]接下來(lái)，

9、我們?cè)賮?lái)研究一個(gè)問(wèn)題 .還記得本章開(kāi)頭小明要測(cè)塔的高度嗎 ?現(xiàn)在我們來(lái) 看他是怎樣測(cè)的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度 . 多媒體演示 第 2頁(yè)共5頁(yè) 想一想你會(huì)更聰明： 如圖，小明想測(cè)量塔 CD 的高度 .他在 A 處 仰望塔頂，測(cè)得仰角 為 30°，再往塔的方 向前進(jìn) 50m 至 B 處 .測(cè)得仰角為 60° .那么該塔有多高 ?(小明的身高忽略不計(jì)， 結(jié)果精確到 1 m) [師 ] 我想請(qǐng)一位同學(xué)告訴我什么是仰角 ?在這個(gè)圖中， 30°的仰角、 60°的仰角分別

10、指 哪兩個(gè)角 ? [生 ] 當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角 .30°的仰角指∠ DAC ，60°的仰角指∠ DBC. [師 ]很好 !請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考解決這個(gè)問(wèn)題的思路，然后回答. (教師留給學(xué)生充分的思考時(shí)間，感覺(jué)有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo) ) [生 ]首先，我們可以注意到 CD 是兩個(gè)直角三角形 Rt△ ADC 和 Rt△BDC 的公共邊，在 Rt△ ADC 中， tan30° = CD ， AC 即 AC＝ CD 在 Rt △ BDC 中， tan60° = CD , ta

11、n30 BC 即 BC＝ CD ，又∵ AB=AC-BC ＝ 50 m ，得 tan60 CD CD - =50. tan 30 tan60 解得 CD ≈ 43(m) ， 即塔 CD 的高度約為 43 m. [生 ]我有一個(gè)問(wèn)題，小明在測(cè)角時(shí)，小明本身有一個(gè)高度，因此在測(cè)量 CD 的高度時(shí)應(yīng) 考慮小明的身高 . [師 ] 這位同學(xué)能根據(jù)實(shí)際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞 .在實(shí)際測(cè)量時(shí) .的確應(yīng)該考慮小 明的身高，更準(zhǔn)確一點(diǎn)應(yīng)考慮小明在測(cè)量時(shí)，眼睛離地面的距離 . 如果設(shè)小明測(cè)量時(shí)， 眼睛離地面的距離為 1.6 m，

12、其他數(shù)據(jù)不變， 此時(shí)塔的高度為多少 ? 你能畫(huà)出示意圖嗎 ? [生 ]示意圖如 右圖所示，由前面的 解答過(guò)程可知 CC′≈ 43 m ，則 CD ＝43+ 1.6＝ 44.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為 44.6 m. [師 ]同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了 .現(xiàn)在我手里有一個(gè)樓梯改造工程問(wèn)題， 想請(qǐng)同學(xué)們幫忙解決一 下 . 多媒體演示： 某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原來(lái) 樓梯的安全性能，把 傾角由 40°減至 35°， 已知原樓梯長(zhǎng)為 4 m， 調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少？樓梯多占多長(zhǎng)一段地面 ?(結(jié)果精確到 0.0l m)

13、 第 3頁(yè)共5頁(yè) 請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題， (先獨(dú)立完成，然 后相互交流，討論各自的想法 ) [生 ]在這個(gè)問(wèn)題 中，要注意調(diào)整前后 的梯樓的高度是一個(gè) 不變量 .根據(jù)題意可 畫(huà)㈩示意圖 (如右 圖 ).其中 AB 表示樓梯的高度 .AC 是原樓梯的長(zhǎng)， BC 是原樓梯的占地長(zhǎng)度； AD 是調(diào)整后的樓梯的長(zhǎng)度， DB 是調(diào)整后的樓梯的占地長(zhǎng)度 .∠ ACB 是原樓梯的傾角，∠ ADB 是調(diào)整后的樓梯的傾角 .轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題即為： 如圖， AB ⊥ DB ，∠ ACB ＝

14、40°，∠ ADB ＝35°， AC ＝4m.求 AD-AC 及 DC 的長(zhǎng)度 . [師 ] 這位同學(xué)把這個(gè)實(shí)際樓梯調(diào)整問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問(wèn)題 .大家從示意圖中不難看出這 個(gè)問(wèn)題是前面問(wèn)題的變式 .我相信同學(xué)們一定能用計(jì)算器輔助很快地解決它，開(kāi)始吧 ! AB [生 ]解：由條件可知，在 Rt△ABC 中 ,sin40°＝ AC 長(zhǎng) BC＝ 4cos40°m.  ，即 AB ＝ 4sin40°m，原樓梯占地 調(diào)整后 ,在 Rt△ADB 中， sin35°＝ 4 sin 40 DB= m. tan35 ∴調(diào)整后樓梯加長(zhǎng) AD-A

15、C ＝ 4sin 40 DB-BC= -4cos40°≈ 0.61(m). tan35  AB ，則 AD＝ AB 4sin 40 m. 樓梯占地長(zhǎng) AD sin 35 sin 35 4sin 40 -4 ≈ 0.48(m) ， 樓 梯 比 原 來(lái) 多 占 DC ＝ sin 35 Ⅲ .隨堂練習(xí) 1.如圖，一燈柱 AB 被 一鋼纜 CD 固定， CD 與地面 成 40°夾角，且 DB ＝ 5 m， 現(xiàn)再在 C 點(diǎn)上方 2m 處加固 另一條鋼纜 ED ，那么鋼纜 ED 的長(zhǎng)度為多少 ?

16、 解：在 Rt△ CBD 中，∠ CDB=40 °，DB=5 m ，sin40°= BC ，BC=DBsin40 °=5sin40 ° DB (m). 在 Rt△EDB 中， DB=5 m ， BE=BC+EC ＝ 2+5sin40° (m). 根據(jù)勾股定理，得 DE= DB 2 BE 2 52 (2 5sin 40 ) 2 ≈ 7.96(m). 所以鋼纜 ED 的長(zhǎng)度為 7.96 m. 2.如圖，水庫(kù)大壩的 截面是梯形 ABCD ，壩頂 AD ＝ 6 m，坡長(zhǎng) CD＝ 8 m.坡底 BC ＝ 30 m，∠ ADC=135 ° .

17、 第 4頁(yè)共5頁(yè) (1)求∠ ABC 的大?。? ?(結(jié)果精確到 0.01 m3) (2)如果壩長(zhǎng) 100 m.那么建筑這個(gè)大壩共需多少土石料 解：過(guò) A、D 分別作 AE ⊥BC，DF⊥BC，E、F 為垂足 . (1)在梯形 ABCD 中 .∠ ADC ＝ 135°， ∴∠ FDC＝ 45°， EF＝ AD=6 m. 在 Rt△ FDC 中， DC ＝ 8 m.DF ＝ FC＝ CD.sin45 ° =4 2 (m). ∴ BE=BC-CF-EF=30-4 2 -6=24-4 2 (m). 在 Rt△

18、AEB 中， AE ＝ DF=4 2 (m). tanABC ＝ AE 4 2 2 ≈ 0.308. BE 24 4 2 6 2 ∴∠ ABC ≈ 17° 8′ 21″ . 1 (AD+BC) × AE (2)梯形 ABCD 的面積 S＝ 1 2 2 =72 2 2 =(6+30) ×4 (m ). 2 壩長(zhǎng)為 100 m，那么建筑這個(gè)大壩共需土石料 100× 72 2 ≈ 10182.34(m 3). 綜上所述，∠ ABC ＝ 17° 8′ 21″，建筑大壩共需 10182.34 m3 土石料 . Ⅳ .課時(shí)小結(jié) 第 5頁(yè)共5頁(yè)