《二次函數(shù)》教案北師版九下

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1、 2.1 二次函數(shù) 1．理解、掌握二次函數(shù)的概念和一般形式； (重點 ) 2．會利用二次函數(shù)的概念解決問題； (重點 ) 3． 列二次函數(shù)表達式解決實際問題． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入 已知長方形窗戶的周長為 6m，窗戶面積為 y m2，窗戶寬為 x m，你能寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？它是什么函數(shù)呢？ 二、合作探究 探究點一：二次函數(shù)的概念 【類型一】 二次函數(shù)的識別 下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有

2、 ( ) ① y＝ x＋ 1；② y＝ 3(x－ 1)2＋ 2；③y＝ (x x 2 2 1 ＋ 3) －2x ；④ y＝ x2＋ x. A．4 個 B．3 個 C．2 個D．1 個 解析： ① y＝ x＋ 1，④ y＝ 12＋ x 的右邊 x x 不是整式，故 ①④ 不是二次函數(shù)； ②y＝ 3(x － 1)2 ＋2，符合二次函數(shù)的定義； ③ y＝(x＋ 3)2 － 2x2＝－ x2＋ 6x＋ 9，符合二次函數(shù)的定 義．故選 C. 方法總結(jié)： 判定一個函數(shù)是否是二次函數(shù)常有三個標準： ① 所表示

3、的函數(shù)關(guān)系式為整式； ② 所表示的函數(shù)關(guān)系式有唯一的自變  量； ③ 所含自變量的關(guān)系式最高次數(shù)為 2， 且函數(shù)關(guān)系式中二次項系數(shù)不等于 0. 變式訓練： 見《學練優(yōu)》 本課時練習 “課堂達標訓練” 第 1 題 【類型二】 利用二次函數(shù)的概念求字母的值 當 k 為何值時， 函數(shù) y＝ (k－ 1)xk2 ＋ k＋ 1 為二次函數(shù)？ 解析： 根據(jù)二次函數(shù)的概念，可得 k2 ＋ k＝ 2 且同時滿足 k－ 1≠0 即可解答． 解： ∵函數(shù) y＝ (k－ 1)xk2＋ k＋1 為二次 函數(shù)，∴ k2＋ k＝ 2， k＝ 1或－

4、 2， 解得 ∴ k k－ 1≠0， k≠ 1， ＝－ 2. 方法總結(jié)： 解答本題要考慮兩方面： 一是 x 的指數(shù)等于 2；二是二次項系數(shù)不等于 0. 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓練” 第 2 題 【類型三】 二次函數(shù)相關(guān)量的計算 已知二次函數(shù) y＝－ x2＋ bx＋ 3， 當 x＝ 2 時， y＝ 3.則 x＝ 1 時，y＝ ________． 解析： ∵二次函數(shù) y＝－ x2＋ bx＋ 3，當x＝ 2 時， y＝3，∴ 3＝－ 22＋ 2b＋3，解得 b ＝ 2. ∴ 這個二次函數(shù)的表達式是 y＝－ x2＋2x＋

5、 3.將 x＝ 1 代入得 y＝ 4.故答案為 4. 方法總結(jié)： 解題的關(guān)鍵是先確定解析式，再代入求值． 【類型四】 二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān) 系 已知函數(shù) y＝ (m2－ m) x2＋(m－ 1)x ＋ m＋ 1. (1) 若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求 m 的值； (2) 若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則 m 的值應(yīng)怎樣？ 解析：根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義解答． 解：(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義， 得 m2－m＝ 0，解得 m＝ 0 或 m＝1.又∵ m－ 1≠ 0，即 m≠1，∴當 m＝ 0 時，這個函數(shù)是一次函數(shù)； 第 1

6、頁共3頁 (2)根據(jù)二次函數(shù)的定義， 得 m2－m≠ 0，解得 m≠ 0 或 m≠ 1，∴當 m≠0 或 m≠ 1 時，這個函數(shù)是二次函數(shù)． 方法總結(jié)： 熟記二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，另外要注意二次函數(shù)的二次項的系數(shù)不等于零． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 5 題 探究點二： 從實際問題中抽象出二次函數(shù)解析式 【類型一】 從幾何圖形中抽象出二次函數(shù)解析式 如圖， 用一段長為 30 米的籬笆圍成一個一邊靠墻 ( 墻的長度不限 )的矩形菜園 ABCD ，設(shè) AB 邊長為 x 米，則菜園的面

7、積y(單位：米 2)與 x(單位：米 )的函數(shù)關(guān)系式為 多少？ 解析： 根據(jù)已知由 AB 邊長為 x 米可以 1 推出 BC＝ 2(30－x) ，然后根據(jù)矩形的面積公 式即可求出函數(shù)關(guān)系式． 解： ∵AB 邊長為 x 米，而菜園 ABCD 1 是矩形菜園，∴ BC＝ 2(30－x)，∴菜園的面 1 積＝ AB× BC＝ 2(30－ x) ·x，則菜園的面積 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y＝－ 1 2 x ＋ 15x. 2 方法總結(jié)： 函數(shù)與幾何知識的綜合問題，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化． 有些題目是以幾何知識為背

8、景， 從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 10 題 【類型二】 從生活實際中抽象出二次函數(shù)解析式 某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分 為 10 個檔次，第 1 檔次 (最低檔次 )的產(chǎn)品一  天能生產(chǎn) 95 件，每件利潤 6 元．每提高一個檔次，每件利潤增加 2 元，但一天產(chǎn)量減少 5件． (1) 若生產(chǎn)第 x 檔次的產(chǎn)品一天的總利 潤為 y 元(其中 x 為正整數(shù)，且 1≤x≤ 10)， 求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； (2) 若生產(chǎn)第 x

9、 檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為 1120 元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次． 解析： (1)每件的利潤為 6＋ 2(x－ 1)，生 產(chǎn)件數(shù)為 95－ 5(x－ 1) ，則 y＝ [6 ＋ 2(x－ 1)][95 － 5(x－ 1)]； (2) 由題意可令 y＝1120，求出 x 的實際值即可． 解： (1)∵第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn) 95 件，每件利潤 6 元，每提高一個檔次， 每件利潤加 2 元，但一天產(chǎn)量減少 5 件，∴第 x 檔次，提高的檔次是 (x－ 1)檔，利潤增加了 2(x－ 1)元．∴ y＝ [6＋ 2(x－ 1)][95 － 5(x－ 1)]，即 y

10、＝－ 10x2＋180x＋ 400(其中 x 是正整數(shù)，且 1≤ x≤10)； (2) 由題意可得－ 10x2 ＋ 180x＋ 400 ＝1120，整理得 x2－ 18x＋ 72＝0，解得 x1＝ 6，x2＝ 12(舍去 )． 所以，該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6 檔． 方法總結(jié)： 解決此類問題的關(guān)鍵是要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型． 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課后鞏固提升”第 8 題 三、板書設(shè)計 二次函數(shù) 1．二次函數(shù)的概念 2．從實際問題中抽象出二次函數(shù)解析 式 二次函數(shù)是一種常見的函數(shù)，應(yīng)用非常廣泛，它是

11、客觀地反映現(xiàn)實世界中變量之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種非常重要的數(shù)學模型． 許多實際問題往往可以歸結(jié)為二次函數(shù)加以研究． 本節(jié)課是學習二次函數(shù)的第 一節(jié)課，通過實例引入二次函數(shù)的概念， 并學習求一些簡單的實際問題中二次函數(shù)的 解析式． 在教學中要重視二次函數(shù)概念的形成和建構(gòu)， 在概念的學習過程中，讓學生體 第 2頁共3頁 驗從問題出發(fā)到列二次函數(shù)解析式的過程， 體驗用函數(shù)思想去描述、 研究變量之間變化 規(guī)律的意義 . 第 3頁共3頁