《圓內(nèi)接正多邊形》教案北師版九下

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1、 3.8 圓內(nèi)接正多邊形 1．了解圓內(nèi)接正多邊形的有關概念； (重點 ) 2．理解并掌握圓內(nèi)接正多邊形的半徑 和邊長、邊心距、中心角之間的關系； (重 點 ) 3．掌握圓內(nèi)接正多邊形的畫法． (難點 ) 一、情境導入 這些美麗的圖案， 都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的． 你能從這些圖案中找出正多邊形來嗎？ 1 邊形，∴∠ BOC＝ × 360°＝ 60°，∴中心 角是 60° .∵ OB＝ OC，∴△ OBC 是等邊三 角形，∴ BC＝ OB＝ O

2、C.∵ OH ＝ 3， sin ∠ OH＝ 3，∴ OB ＝ BC ＝ 2.∴內(nèi)角為 OBC＝ OB 2 180°×（ 6－ 2） 6 ＝ 120°，外角為 60°， 周長為 2×6＝ 12，S 正六邊形 ABCDEF ＝ 6S△ OBC ＝ 6× 1× 2× 3＝6 3. 2 方法總結(jié)： 圓內(nèi)接正六邊形是一個比較特殊的正多邊形，它的半徑等于邊長，對于它的計算要熟練掌握． 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓練”第 11 題 【類型二】 圓內(nèi)接正多邊形的畫法 如圖，已知半徑為 R 的⊙ O，用多種工具、

3、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形． 二、合作探究 探究點：圓內(nèi)接正多邊形 【類型一】 圓內(nèi)接正多邊形的相關計 算 已知正六邊形的邊心距為 3，求正六邊形的內(nèi)角、外角、中心角、半徑、邊長、周長和面積． 解析：根據(jù)題意畫出圖形，可得 △ OBC 是等邊三角形， 然后由三角函數(shù)的性質(zhì)， 求 得 OB 的長，繼而求得正六邊形的周長和面積． 解： 如圖，連接 OB， OC，過點 O 作 OH ⊥ BC 于 H，∵六邊形 ABCDEF 是正六 

4、 解析： 度量法： 用量角器量出圓心角是 120 度的角；尺規(guī)作圖法：先將圓六等分，然后再每兩份合并成一份，將圓三等分． 解： 方法一： (1) 用量角器畫圓心角 ∠ AOB＝ 120°，∠ BOC＝120°； (2) 連接 AB， BC， CA，則△ ABC 為圓內(nèi)接正三角形． 方法二： (1) 用量角器畫圓心角∠ BOC ＝ 120°； ︵ ︵ (2) 在⊙ O 上用圓規(guī)截取 AC＝ AB； (3) 連接 AC， BC， AB，則△ ABC 為圓內(nèi)接正三角形． 方法三： (1)作直徑 AD ； (2) 以 D 為圓心，

5、以 OA 長為半徑畫弧，交⊙ O 于 B，C； (3) 連接 AB， BC， CA，則△ ABC 為圓內(nèi)接正三角形． 第 1頁共3頁 方法四： (1)作直徑 AE； (2)分別以 A， E 為圓心， OA 長為半徑畫弧與⊙ O 分別交于點 D ， F， B，C； (3)連接 AB，BC ，CA(或連接 EF，ED， DF )，則△ ABC(或△ EFD )為圓內(nèi)接正三角形．  π a2； (2) 只需測出弦 BC(或 AC， AB)的長； (3) 結(jié)果一樣，即 S 圓環(huán) ＝π a2； (4)

6、 S 圓環(huán) ＝π a2. 方法總結(jié)： 正多邊形的計算，一般是過中心作邊的垂線， 連接半徑，把內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、邊心距，中心角之間的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形． 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課后鞏固提升”第 4 題 方法總結(jié)： 解決正多邊形的作圖問題， 【類型四】 圓內(nèi)接正多邊形的實際運 通?？梢允褂玫姆椒ㄓ袃纱箢悾? 度量法、 尺 用 規(guī)作圖法； 其中度量法可以畫出任意的多邊 如圖①，有一個寶塔，它的地基 形，而尺規(guī)作圖只能作出一些特殊的正多邊 邊緣是周長為 26m 的正五邊形 ABCDE (如圖 形，如邊數(shù)是 3、 4 的整數(shù)

7、倍的正多邊形． ②)，點 O 為中心 ( 下列各題結(jié)果精確到 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課 0.1m) ． 后鞏固提升”第 5 題 (1) 求地基的中心到邊緣的距離； 【類型三】 正多邊形外接圓與內(nèi)切圓 (2) 已知塔的墻體寬為 1m，現(xiàn)要在塔的 的綜合 底層中心建一圓形底座的塑像， 并且留出最 窄處為 1.6m 的觀光通道，問塑像底座的半 徑最大是多少？ 如圖，已知正三角形的邊長為 2a. (1) 求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積； (2

8、)根據(jù)計算結(jié)果， 要求圓環(huán)的面積， 只 解析： (1) 構(gòu)造一個由正多邊形的邊心 需測量哪一條弦的大小就可算出圓環(huán)的面 距、半邊和半徑組成的直角三角形． 根據(jù)正 積？ 360° (3) 將條件中的“正三角形”改為“正 五邊形的性質(zhì)得到半邊所對的角是 10 ＝ 方形”、“正六邊形”你能得出怎樣的結(jié) 36°，再根據(jù)題意中的周長求得該正五邊形 論？ 的半邊是 26÷10＝ 2.6，最后由該角的正切值 (4)已知正 n 邊形的邊長為 2a，請寫出 進行求解； (2) 根據(jù) (1) 中的結(jié)論，塔的墻體 它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積．

9、 寬為 1m 和最窄處為 1.6m 的觀光通道，進 解析： 正多邊形的邊心距、半徑、邊長 行計算． 的一半正好構(gòu)成直角三角形， 根據(jù)勾股定理 解： (1)作 OM ⊥AB 于點 M，連接 OA、 就可以求解． OB，則 OM 為邊心距， ∠ AOB 是中心角． 由 解： (1)設正三角形 ABC 的中心為 O， 正五邊形性質(zhì)得∠ AOB＝ 360 °÷ 5＝ 72°， BC 切⊙O 于點 D ，連接 OB、 OD ，則 1 OD ⊥ BC，BD＝ DC＝ a.則 S 圓環(huán) ＝π· OB2－ ∴∠ AOM ＝ 36° .∵ AB＝

10、 5×26＝ 5.2 ，∴ AM π· OD2＝π OB2－ OD2 ＝π· BD2＝ 第 2頁共3頁 AM ＝ 2.6.在 Rt△ AMO 中，邊心距 OM ＝ tan36° 2.6 ＝ ≈ 3.6(m) ．所以，地基的中心到邊 tan36° 緣的距離約為 3.6m ； (2)3.6－ 1－1.6＝ 1(m)． 所以，塑像底座的半徑最大約為 1m. 方法總結(jié)： 解決問題關鍵是將實際問題 轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解答． 熟悉正多邊形各個 元素的算法． 三、板書設計 圓內(nèi)接正多

11、邊形 1．正多邊形的有關概念 2．正多邊形的畫法 3．正多邊形的有關計算 本節(jié)課新概念較多， 對概念的教學要注意從 “形”的角度去認識和辨析， 但對概念的嚴 格定義不能要求過高．在概念教學中，要重 視運用啟發(fā)式教學， 讓學生從“形”的特征 獲得對幾何概念的直觀認識， 鼓勵學生用自 己的語言表述有關概念， 再進一步準確理解 有關概念的文字表述，促進學生主動學 習．所以在教學的過程中應盡量使用多媒體 教學手段 . 第 3頁共3頁