《正弦與余弦》教案北師版九下

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1、 1.1 銳角三角函數(shù) 第 2 課時 正弦與余弦 1．理解正弦與余弦的概念； (重點 ) 2．能用正弦、余弦的知識，根據(jù)三角 形中已知的邊和角求出未知的邊和角． (難 點 ) 一、情境導入 如圖，小明沿著某斜坡向上行走了 13m，他的相對位置升高了 5m. 如果他沿著該斜坡行走了 20m ，那么他 的相對位置升高了多少？行走了 am 呢？ 在上述情形中， 小明的位置沿水平方向又分別移動了多少？

2、根據(jù)相似三角形的性質可知， 當直角三角形的一個銳角的大小確定時， 它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也就確定了． 二、合作探究 探究點：正弦和余弦 【類型一】 直接利用定義求正弦和余 弦值 在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°， AB ＝ 13， BC＝ 5，求 sinA， cosA. 解析： 利用勾股定理求出 AC，然后根 據(jù)正弦和余弦的定義計算即可． 解： 由勾股定理得 AC ＝ AB2－ BC2＝ 132－ 52＝ 12，sinA＝ BC＝ 5 ，cosA＝AC＝ AB 13 AB 12 13. 

3、 方法總結： 在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊， 熟記三角函數(shù)的定義是解決問題的關鍵． 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓練” 第 1 題 【類型二】 已知一個三角函數(shù)值求另一個三角函數(shù)值 如圖，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， 點 D 在 BC 上，AD＝ BC＝ 5，cos∠ ADC＝ 35， 求 sinB 的值． 解析：先由 AD ＝ BC＝ 5，cos∠ ADC＝ 35 及勾股定理求出 AC 及 AB 的長，再由銳角三角函數(shù)的定

4、義解答． 解： ∵ AD＝ BC＝ 5，cos∠ ADC ＝3，∴ 5 CD ＝ 3.在 Rt△ ACD 中，∵ AD ＝ 5，CD＝ 3， ∴ AC ＝ AD 2－CD 2＝ 52－ 32 ＝ 4.在 Rt △ ACB 中，∵AC＝4， BC＝ 5， ∴AB＝ AC2＋ BC2＝ 42＋ 52＝ 41，∴sinB＝ AC＝ AB 4 ＝4 41. 41 41 方法總結： 在不同的直角三角形中， 要 根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關系，結合勾股定理是解答此類問題的關鍵． 變式訓練： 見《學練優(yōu)》 本課時練習 “課后鞏固提升”第 8 題

5、 【類型三】 比較三角函數(shù)的大小 sin70°，cos70°， tan70°的大小 第 1頁共3頁 關系是( ) A． tan70°＜ cos70 °＜sin70 ° B． cos70°＜ tan70 ＜°sin70 ° C． sin70°＜ cos70 °＜ tan70 ° D． cos70°＜ sin70 ＜°tan70 ° 解析： 根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知 sin70 °＜ 1 ， cos70°＜ 1， tan70°＞ 1.又 cos70 °＝ sin20 ，°銳角的正弦值隨著角的增 大

6、而增大，∴ sin70 °＞ sin20 °＝ cos70°.故選 D. 方法總結： 當角度在 0° <∠A<90 °間變化時， 0cosA>0. 當角度在 45° ＜ ∠ A＜90°間變化時， tanA＞1. 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 10 題 【類型四】 與三角函數(shù)有關的探究性 問題 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 為 BC 邊 (除端點外 )上的一點，設∠ ADC＝ α， ∠ B＝ β. (1)猜想 sinα 與 sinβ 的大小關系； (2)試證明你的結論． 解

7、析： (1) 因為在 △ ABD 中，∠ ADC 為 △ ABD 的外角，可知 ∠ ADC＞ ∠ B，可猜想 sin α＞ sinβ； (2)利用三角函數(shù)的定義可求 出 sinα， sinβ的關系式即可得出結論．解： (1)猜想： sinα ＞ sinβ ； (2)∵∠ C＝ 90°， ∴ sinα＝ ADAC ，sin β AC AC AC ＝ AB .∵ AD＜ AB，∴ AD ＞ AB，即 sin α ＞ sin β . 方法總結： 利用三角函數(shù)的定義把兩角的正弦值表示成線段的比， 然后進行比較是解題的關鍵． 【類型五】 三角函數(shù)的綜合應用

8、 (1) 求證： AC＝ BD； 12 (2) 若 sinC＝ 13，BC＝ 36，求 AD 的長． 解析： (1) 根據(jù)高的定義得到 ∠ ADB ＝ ∠ ADC ＝ 90°，再分別利用正切和余弦的定 義得到 tanB＝ AD ，cos∠ DAC ＝AD ，再利用 BD AC tanB＝ cos∠DAC 得到 AD ＝ AD，所以 AC＝ BD AC BD ；(2)在 Rt△ ACD 中，根據(jù)正弦的定義得 AD 12 sinC＝ AC ＝13，可設 AD ＝12k， AC＝ 13k，再根據(jù)勾股定理計算出 CD＝ 5k，由于

9、BD ＝ AC＝ 13k，于是利用 BC＝BD ＋CD 得到 13k＋ 5k＝ 36，解得 k＝ 2，所以 AD ＝ 24. (1) 證明：∵AD 是 BC 上的高， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝ 90°.在 Rt△ABD 中，tanB＝ ADBD， AD 在 Rt△ ACD 中， cos∠ DAC＝ AC .∵ tanB＝ AD AD cos∠ DAC，∴ BD ＝ AC ，∴ AC＝ BD； AD 12 (2) 解：在 Rt△ ACD 中， sinC＝ AC＝13.設 AD＝ 12k，AC＝13k，∴CD ＝ AC2－ AD2

10、 ＝ 5k.∵ BD ＝ AC＝ 13k，∴ BC ＝ BD ＋ CD ＝13k＋ 5k＝ 36，解得 k＝ 2，∴ AD ＝ 12×2＝ 24. 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課后鞏固提升”第 10 題 三、板書設計 正弦與余弦 1．正弦的定義 2．余弦的定義 3．利用正、余弦解決問題 如圖，在△ ABC 中， AD 是 BC 上的高， tanB＝ cos∠ DAC .  本節(jié)課的教學設計以直角三角形為主線， 力求體現(xiàn)生活化課堂的理念，讓學生在經歷 “問題情境——形成

11、概念 —— 應用拓展 —— 反思提高”的基本過程中， 體驗知識間的內在聯(lián)系，讓學生感受探究的樂趣，使學生在學中思，在思中學．在教學過程中，重 第 2頁共3頁 視過程，深化理解， 通過學生的主動探究來 體現(xiàn)他們的主體地位， 教師是通過對學生參 與學習的啟發(fā)、 調整、激勵來體現(xiàn)自己的引 導作用， 對學生的主體意識和合作交流的能 力起著積極作用 . 第 3頁共3頁