《正切與坡度》教案北師版九下

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1、B1，測 1． 1 銳角三角函數(shù) 第 1 課時 正切與坡度 能說明臺階的傾斜程度． 你覺得上面的方法正確嗎？ 二、合作探究 1．理解正切的意義， 并能舉例說明； (重 探究點一：正切 點 ) 【類型一】 根據(jù)正切的概念求正切值 2．能夠根據(jù)正切的概念進行簡單的計 分別求出圖中∠ A、∠ B 的正切值 算； (重點 ) (其中∠ C＝ 90° )． 3．能運用正切、 坡度解決問題． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入 觀察與思考： 某

2、體育館為了方便不同需求的觀眾， 設(shè)計了不同坡度的臺階． 問題 1：圖①中的臺階哪個更陡？你是怎么判斷的？ 問題 2：如何描述圖②中臺階的傾斜程度？除了用∠ A 的大小來描述，還可以用什么方法？ 方法一：通過測量 BC 與 AC 的長度算 出它們的比，來說明臺階的傾斜程度； 方法二： 在臺階斜坡上另找一點 出 B1C1 與 AC1 的長度，算出它們的比，也  由上面的例子可以得出結(jié)論： 直角三角 形的兩個

3、銳角的正切值互為 ________． 解析： 根據(jù)勾股定理求出需要的邊長， 然后利用正切的定義解答即可． 解： 如圖①， tan∠ A＝ 16＝ 4， tan∠ B 12 3 ＝ 12＝ 3；如圖②， BC＝ 732－ 552＝ 48，tan 16 4 ∠ A＝ 48， tan∠ B＝ 55 55 48. 因而直角三角形的兩個銳角的正切值互為倒數(shù)． 方法總結(jié)： 求銳角的三角函數(shù)值的方 法：利用勾股定理求出需要的邊長， 根據(jù)銳 角三角函數(shù)的定義求出對應(yīng)三角函數(shù)值即 可．

4、 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課后鞏固提升” 第 1 題 【類型二】 在網(wǎng)格中求正切值 第 1頁共3頁 已知：如圖，在由邊長為 1 的小 正方形組成的網(wǎng)格中，點 A、 B、 C、D 、 E 都在小正方形的頂點上， 求 tan∠ADC 的值． 解析： 先證明 △ ACD ≌△ BCE，再根據(jù) tan∠ADC ＝ tan∠ BEC 即可求解． 解：根據(jù)題意可得 AC＝ BC＝ 12＋ 22＝5，CD ＝CE＝ 12＋ 32＝ 10，AD ＝BE ＝5， ∴ △ ACD ≌ △ BCE(SSS) ． ∴∠ ADC ＝

5、 1 ∠ BEC .∴ tan∠ ADC＝ tan∠ BEC＝3. 方法總結(jié)： 三角函數(shù)值的大小是由角度的大小確定的， 因此可以把求一個角的三角函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為另一個與其相等的角的三角函數(shù)值． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升” 第 3 題 【類型三】 構(gòu)造直角三角形求三角函 數(shù)值 如圖，在 Rt△ ABC 中，∠C＝ 90°， BC ＝AC，D 為 AC 的中點，求 tan∠ ABD 的 值． 解析： 設(shè) AC＝BC ＝2a，根據(jù)勾股定理可求得 AB＝ 2 2a，再根據(jù)等腰直角三角形的

6、性質(zhì)，可得 DE 與 AE 的長，根據(jù)線段的和差，可得 BE 的長，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，可得答案． 解：如圖，過 D 作 DE⊥AB 于 E.設(shè) AC ＝ BC＝ 2a，根據(jù)勾股定理得 AB＝ 2 2a.由 D 為 AC 中點，得 AD ＝ a.由∠ A＝∠ ABC ＝ 45°， 又 DE ⊥AB，得△ ADE 是等腰直角三 2a 角形，∴ DE ＝ AE＝ 2 .∴ BE＝ AB－ AE＝ 3 2a ， tan∠ ABD ＝ DE 1 2 BE ＝ . 3 方法總結(jié)： 求三角函數(shù)值必須在直角三角形中解答， 當(dāng)

7、所求的角不在直角三角形內(nèi)時，可作輔助線構(gòu)造直角三角形進行解答． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課  后鞏固提升”第 7 題 探究點二：坡度 【類型一】 利用坡度的概念求斜坡的坡度 (坡比 ) 堤的橫斷面如圖．堤高 BC 是 5 米，迎水斜坡 AB 的長是 13 米，那么斜坡 AB 的坡度是 ( ) A． 1∶3 B．1∶2.6 C． 1∶2.4 D ．1∶ 2 解析： 由勾股定理得 AC＝ 12 米．則斜 坡 AB 的坡度＝ BC∶ AC＝ 5∶12＝ 1∶ 2.4.故選

8、 C. 方法總結(jié)： 坡度是坡面的鉛直高度 h 和水平寬度 l 的比，又叫做坡比，它是一個比 值，反映了斜坡的陡峭程度， 一般用 i 表示，常寫成 i ＝1∶ m 的形式． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第 9 題 【類型二】 利用坡度解決實際問題 已知一水壩的橫斷面是梯形 ABCD ，下底 BC 長 14m，斜坡 AB 的坡度為 3∶ 3，另一腰 CD 與下底的夾角為 45°， 且長為 4 6m ，求它的上底的長 ( 精確到 0.1m，參考數(shù)據(jù)： 2≈ 1.414， 3≈1.732)．

9、 解析： 過點 A 作 AE⊥ BC 于 E，過點 D 作 DF ⊥ BC 于 F，根據(jù)已知條件求出 AE＝ DF 的值，再根據(jù)坡度求出 BE，最后根據(jù) EF＝ BC－ BE－ FC 求出 AD . 解： 過點 A 作 AE⊥BC ，過點 D 作 DF ⊥ BC，垂足分別為 E、 F.∵ CD 與 BC 的夾角為 45°，∴∠ DCF ＝ 45°，∴∠ CDF ＝ 45° .∵ CD ＝ 4 6m ，∴ DF ＝ CF ＝ 4 6＝ 2 第 2頁共3頁 4 3(m)，∴ AE＝ DF ＝ 4 3m.∵斜坡

10、AB 的坡 度為 3∶ 3，∴ tan∠ ABE＝AE＝ 3 ＝ 3， BE 3 ∴ BE ＝ 4m.∵ BC＝ 14m，∴ EF ＝ BC－ BE－ CF ＝ 14－ 4 － 4 3＝ 10－ 4 3(m) ．∵ AD ＝ EF ，∴ AD＝ 10－ 4 3≈3.1(m) ． 所以，它的上底的長約為 3.1m. 方法總結(jié)： 考查對坡度的理解及梯形的 性質(zhì)的掌握情況． 解決問題的關(guān)鍵是添加輔 助線構(gòu)造直角三角形． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課 后鞏固提升”第 8 題 三、板書設(shè)計 正切與坡度 1．正切的概

11、念 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， tanA ＝ ∠ A的對邊 ∠ A的鄰邊 . 2．坡度的概念 坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的 比，也就是坡角的正切值． 在教學(xué)中， 要注重對學(xué)生進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法 的指導(dǎo)．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中， 有一些學(xué)生往往不 注重基本概念、 基礎(chǔ)知識，認(rèn)為只要會做題 就可以了， 結(jié)果往往失分于選擇題、 填空題 等一些概念性較強的題目． 通過引導(dǎo)學(xué)生進 行知識梳理，教會學(xué)生如何進行知識的歸 納、總結(jié)， 進一步幫助學(xué)生理解和掌握基本 概念、基礎(chǔ)知識 第 3頁共3頁