空氣動(dòng)力學(xué)：2 課本習(xí)題答案

第二章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2-1 什么叫流線、流管？流線與跡線有什么區(qū)別？答：流線是某瞬時(shí)在流場(chǎng)中的一條空間幾何曲線，該曲線上任意一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度方向平行。由通過空間某封閉曲線（非流線）的所有流線圍成的管叫做流管。流線是歐拉觀點(diǎn)下描述流動(dòng)的曲線，是由同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)組成的；跡線是拉格朗日觀點(diǎn)下描述流動(dòng)的曲線，是給定質(zhì)點(diǎn)在空間走過的軌跡。2-2 在直角坐標(biāo)系中，流場(chǎng)速度分量的分布為試證明過點(diǎn)（1,7）的流線方程為證明：流線的控制方程為（1）將題中的表達(dá)式帶入（1）中，有（2）對(duì)（2）進(jìn)行整理，可得（3）對(duì)（3）進(jìn)行積分，可得（4）將點(diǎn)（1,7）的坐標(biāo)帶入（4）式可得。從而過點(diǎn)（1,7）的流線方程為（5）2-3設(shè)流場(chǎng)中的速度大小及流線的表達(dá)式為求速度的分量的表達(dá)式。解：對(duì)流線表達(dá)式兩端取全微分，有（1）整理（1）式可得（2）（3）流線的控制方程為（4）結(jié)合（3）式與（4）式，可得（5）對(duì)速度大小表達(dá)式兩邊取平方，可得（6）聯(lián)立求解方程（5）和（6），可得兩組速度分量的表達(dá)式（7）2-4求第23題中速度分量的最大變化率及方向。解：速度分量的方向?qū)?shù)為（1）則其最大的變化率為，最大變化率的方向?yàn)椤?-5試證在柱坐標(biāo)系下，速度的散度表達(dá)式為證明一（利用數(shù)學(xué)上散度的定義）：在柱坐標(biāo)系下選取一個(gè)微元幾何體，其中心坐標(biāo)為，中心點(diǎn)的速度為，三邊的長(zhǎng)度為，利用泰勒展開計(jì)算速度矢量通過控制體表面的通量為（1）利用數(shù)學(xué)上散度的定義，則有（2）證明二（利用流體力學(xué)中拉格朗日觀點(diǎn)框架下散度的物理含義）：流體力學(xué)中拉格朗日觀點(diǎn)框架下散度的物理含義：流體微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率，即單位體積在單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)量。在柱坐標(biāo)系下選取一個(gè)流體微團(tuán)，在時(shí)刻，其中其一點(diǎn)的坐標(biāo)為，速度為，三邊的長(zhǎng)度為，經(jīng)過時(shí)刻后該流體微團(tuán)的三個(gè)邊的長(zhǎng)度變?yōu)椋ɡ锰├照归_）（1）則流體微團(tuán)單位體積在單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)量為（2）證明三（根據(jù)數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)變換）：速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為（1）坐標(biāo)之間的變換關(guān)系式為（2）將（1）（2）兩式分別代入速度偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式(3)(4)將（3）（4）兩式帶入直角坐標(biāo)系下的速度散度表達(dá)式中，有（5）2-6在不可壓流中，下列哪幾個(gè)流動(dòng)滿足質(zhì)量守恒條件？解：對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，質(zhì)量守恒方程簡(jiǎn)化為（a），該流動(dòng)滿足質(zhì)量守恒；（b），該流動(dòng)不滿足質(zhì)量守恒；（c），該流動(dòng)不滿足質(zhì)量守恒；（d）對(duì)流線方程兩邊取微分，可得（1）整理（1）可得（2）已知條件可轉(zhuǎn)換為（3）聯(lián)立求解（2）（3），可得（4）則速度場(chǎng)的梯度為（5）該流動(dòng)滿足質(zhì)量守恒。2-7流體運(yùn)動(dòng)具有分速度試問流場(chǎng)是否有旋？若無旋，求出其速度位函數(shù)。解：（1）所以流動(dòng)是無旋的，假設(shè)速度位函數(shù)為，則有（2）可得，速度位函數(shù)為（3）2-8有不可壓流體做定常運(yùn)動(dòng)，其速度場(chǎng)為其中為常數(shù)，求（1） 線變形率，角變形率；（2） 流場(chǎng)是否有旋；（3） 是否有速度位函數(shù)存在。解：（1） 線變形率為（1）角變形率為（2）（2） 角速度為（3）所以流場(chǎng)是無旋的。（3） 因?yàn)榱鲌?chǎng)是無旋的，所以存在速度位函數(shù)，則有（4）可得，速度位函數(shù)為（5）2-9二維位流流場(chǎng)為，求曲線上點(diǎn)（2,-1）處的切向速度分量。解：將曲線進(jìn)行變換，可得（1）將（1）式的兩段對(duì)求全導(dǎo)數(shù)，可得（2）則曲線在點(diǎn)（2,-1）處的切向量為（4）流場(chǎng)在曲線上該點(diǎn)處的速度分量為（5）2-10設(shè)下列幾種函數(shù)分別代表流動(dòng)的3個(gè)分速度：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。其中是常數(shù)。問哪幾種情況可以代表不可壓流動(dòng)？解：（1）（2）（3）（4）（5）可見，（1）（2）（4）為不可壓縮流動(dòng)。2-11某一個(gè)流場(chǎng)可以描述為。問應(yīng)具有什么形式，流場(chǎng)才能滿足連續(xù)條件？為什么？解：對(duì)流線方程兩端取全微分，可得（1）已知條件可轉(zhuǎn)換為（3）聯(lián)立求解（2）（3），可得（4）則速度場(chǎng)的梯度為（5）2-12：二維點(diǎn)渦誘導(dǎo)的無旋流場(chǎng)為：利用柱坐標(biāo)系下散度公式：可得：滿足連續(xù)條件。2-13：對(duì)流線表達(dá)式兩端取全微分，有（1）整理（1）式可得（2）（3）流線的控制方程為（4）結(jié)合（3）式與（4）式，可得（5）對(duì)速度大小表達(dá)式兩邊取平方，可得（6）聯(lián)立求解方程（5）和（6），可得兩組速度分量的表達(dá)式（7）其旋度為，暗影面積為2，故面積分為環(huán)量積分：2-14：速度為：180km/h=50m/s2-15：水不可壓，由質(zhì)量守恒知體積流量守恒。入口速度：出口速度： 動(dòng)量定理：水平方向動(dòng)量變化=水平方向外力：