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五年級下冊數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練奧數(shù)第十二講容斥原理全國版 (含答案

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五年級下冊數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練奧數(shù)第十二講容斥原理全國版 (含答案

第十二講 容斥原埋家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境,為了與家長配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作,孩子一入園就召開家長會,給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長,要求孩子回家向家長朗誦兒歌,表演故事。我和家長共同配合,一道訓(xùn)練,幼兒的閱讀能力提高很快。 在很多計數(shù)問題中常用到數(shù)學(xué)上的一個包含與排除原理,也稱為容斥原理.為了說明這個原理,我們先介紹一些集合的初步知識。這個工作可讓學(xué)生分組負責(zé)收集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴大學(xué)生的知識面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會,熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價值、理想、學(xué)習(xí)、成長、責(zé)任、友誼、愛心、探索、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多則材料。如果學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動的材料,寫起文章來還用亂翻參考書嗎? 在討論問題時,常常需要把具有某種性質(zhì)的同類事物放在一起考慮.如:A=五(1)班全體同學(xué).我們稱一些事物的全體為一個集合.A五(1)班全體同學(xué)就是一個集合。課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死”的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一則名言警句即可??梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄”上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個人搜集,每天往筆記本上抄寫,教師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多則名言警句,日積月累,終究會成為一筆不小的財富。這些成語典故“貯藏”在學(xué)生腦中,自然會出口成章,寫作時便會隨心所欲地“提取”出來,使文章增色添輝。 例1 B全體自然數(shù)=1,2,3,4,是一個具體有無限多個元素的集合。例2 C=在1,2,3,100中能被3整除的數(shù)(3,6,9,12,99是一個具有有限多個元素的集合。集合通常用大寫的英文字母A、B、C、表示.構(gòu)成這個集合的事物稱為這個集合的元素.如上面例子中五(1)班的每一位同學(xué)均是集合A的一個元素.又如在例1中任何一個自然數(shù)都是集合B的元素.像集合B這種含有無限多個元素的集合稱為無限集.像集合C這樣含有有限多個元素的集合稱為有限集.有限集合所含元素的個數(shù)常用符號|A|、|B|、|C|、表示。記號AB表示所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合.就是右邊示意圖中兩個圓所覆蓋的部分.集合AB叫做集合A與集合B的并集.“”讀作“并”,“AB”讀作“A并B”。例3 設(shè)集合A=1,2,3,4,集合B=2,4,6,8,則AB=1,2,3,4,6,8.元素2、4在集合A、B中都有,在并集中只寫一個。記號AB表示所有既屬于集合A也屬于集合B中的元素的全體.就是上頁圖中陰影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所組成的集合.它稱為集合A、B的交集.符號“”讀作“交”,“AB”讀作“A交B”.如例3中的集合A、B,則AB=2,4。下面再舉例介紹補集的概念。例4 設(shè)集合I=1,3,5,7,9,集合A=3,5,7。補集(或余集),如圖中陰影部分表示的集合(整個長方形表示集合I).對于兩個沒有公共元素的集合A和B,顯然有|AB|=|A|+|B|。例如,A=1,2,100,B=101,則所以|AB|1011001=|A|B|。如果集合A與B有公共元素,例如A1,2,100,B90,91,101,則AB(90,91,100,AB=1,2,101.此時,|AB|與|A|+|B|有什么關(guān)系呢?在這個例中,|AB|=101,|A|B|10012=112。所以|AB|=|A|+|B|-11我們注意到,11恰為AB的元素個數(shù).這是合理的,因為在求|AB|時,90,91,100這11個數(shù)各被計入一次,而在求|A|B|時,這11個數(shù)各被計入兩次(即多算了一次),并且這11個數(shù)組成的集合恰為AB.因此得到|AB|=|A|+|B|-|AB|,(1)這就是關(guān)于兩個集合的容斥原理:集合A與B的并的元素個數(shù),等于集合A的元素個數(shù)與集合B的元素個數(shù)的和,減去集合A與B的交的元素個數(shù)。(1)是容斥原理的第一個公式.我們還可以用右圖來說明.如圖我們用N1、N2、N3分別表示AB中互不重疊的部分的元素個數(shù)??梢姡簗A|=N1N3,|B|=N2N3,|AB|=N3.因此|AB|=N1N2N3(N1N3)+(N2N3)-N3=|A|+|B|-|AB|。我們知道,當集合A與B沒有公共元素時,有|AB|A|+|B|.實際上這是公式(1)的特殊情形,因為此時例5 桌上有兩張圓紙片A、B.假設(shè)圓紙片A的面積為30平方厘米,圓紙片B的面積為20平方厘米.這兩張圓紙片重疊部分的面積為10平方厘米.則這兩張圓紙片覆蓋桌面的面積由容斥原理的公式(1)可以算出為:AB=3020-1040(平方厘米)。例6 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個數(shù)。分析 解這類問題時首先要知道在一串連續(xù)自然數(shù)中能被給定整數(shù)整除的數(shù)的個數(shù)規(guī)律是:在n個連續(xù)自然數(shù)中有且僅有一個數(shù)能被n整除.根據(jù)這個規(guī)律我們可以很容易地求出在1至100中能被3整除的數(shù)的個數(shù)為33個,被7整除的數(shù)的個數(shù)為14個,而其中被3和7都能整除的數(shù)有4個,因而得到解:設(shè)A=在1100的自然數(shù)中能被3整除的數(shù),B在1100的自然數(shù)中能被7整除的數(shù),則AB=在1100的自然數(shù)中能被21整除的數(shù)。100÷3331,A33。100÷7142,B=14。100÷21416,AB=4。由容斥原理的公式(1):AB3314-4=43。答:在1100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)有43個。例7 求在1100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個?分析 如果在1100的自然數(shù)中去掉5的倍數(shù)、6的倍數(shù),剩下的數(shù)就既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù),即問題要求的結(jié)果。解:設(shè)A在1100的自然數(shù)中5的倍數(shù)的數(shù),B=在1100的自然數(shù)中6的倍數(shù)的數(shù),數(shù).為此先求AB。100÷50=20,A=20又100÷6164,B=16100÷30310,AB=3,AB=A+B-AB=2016-333。答:在1100的自然數(shù)中既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)共67個。我們也可以把公式(1)用于求幾何圖形的面積.這時,A和B是平面上的兩個點集(即點的集合),都是幾何圖形.A,B,分別表示A的面積,B的面積,。例8 設(shè)下面圖中正方形的邊長為1厘米,半圓均以正方形的邊為直徑,求圖中陰影部分的面積。分析 如圖,四個直徑為1厘米的半圓不但蓋住了正方形,還有四個重疊部分.這正好是要求的陰影部分的面積.或者,用A表示上、下兩個半圓,用B表示左、右兩個半圓,則AB為邊長為1厘米的正方形,AB為圖中陰影部分.由(1)可得AB=A+B-AB,因此可求出陰影部分的面積。解法1:大正方形面積=4個直徑為1厘米的半圓面積-陰影圖形面積-1×10.57(平方厘米)。上頁圖(a)中陰影面積=0.57(平方厘米)。答:陰影面積為0.57平方厘米。上面的例子是把一組事物按兩種不同的性質(zhì)來分類后,求具有其中一種性質(zhì)的元素個數(shù)問題.如果把一組事物按三種不同性質(zhì)來分類后,求具有其中一種性質(zhì)的元素個數(shù)的公式該是什么樣的呢?我們?nèi)杂脠D形來說明它具有與公式(1)類似的公式:ABC=ABC-AB-AC-BCABC, (2)其中ABC=A(BC),ABC=A(BC).圖中三個圓A、B、C分別表示具有三種不同性質(zhì)的集合,并如圖用M1、M2、M3、M7表示由三個圓形成的內(nèi)部互不重疊的部分所含元素的個數(shù),可見:ABCM1M2+M7(M1M4M6M7)+(M2M4M5M7)+(M3M5M6M7)-(M4+M7)+(M5+M7)+(M6M7)M7ABC-AB-BC-AC+ABC,即公式(2)成立。事實上這個規(guī)律還可推廣到按多種性質(zhì)來分類的情形.設(shè)集合M中的每個元素至少具有t種性質(zhì)中的一種,用n1表示各個具有1種性質(zhì)的集合中的元素個數(shù)的和,n2表示各個具有2種性質(zhì)的集合中元素個數(shù)的和,nt表示具有t種性質(zhì)的集合中元素的個數(shù),則集合M中元素的個數(shù)m為:m=n1-n2n3-n4+±nt最后一項當t為偶數(shù)時取“-”號,否則取“”號。例9 某校有學(xué)生960人,其中510人訂閱“中國少年報”,330人訂閱“少年文藝”,120人訂閱“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報”;其中有270人訂閱兩種報刊,有58人訂閱三種報刊.問這個學(xué)校中沒有訂閱任何報刊的學(xué)生有多少人?解:設(shè)A訂“中國少年報”的學(xué)生,B=訂“少年文藝”的學(xué)生,C=訂“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報”的學(xué)生,I=全校學(xué)生,=212(人)。答:全校有212名學(xué)生沒訂閱任何報刊。解:如右圖,設(shè)這次競賽共有k道題,用集合A、B分別表示甲、乙答錯的題目.圖中字母a、b、c、d分別表示集合A、B在全部題目作成的集合I中形成的各個無重復(fù)部分的元素個數(shù),可見d為問題所求.依題意列方程:注意到a、b、c、d均表示題目的道數(shù),應(yīng)為自然數(shù)或零,因此k為12的倍數(shù):12、24、.k=12,b1,c2,a=1,d=12-(abc)=12-(121)=8(道)。答:甲、乙兩人都對的題共8道。習(xí)題十二1. 某班有50人,會游泳的有27人,會體操的有18人,都不會的有15人.問既會游泳又會體操的有多少人?2. 在11000這1000個自然數(shù)中,不能被2、3、5中任何一個數(shù)整除的數(shù)有多少個?3. 五環(huán)圖中每一個環(huán)內(nèi)徑為4厘米,外徑為5厘米.其中兩兩相交的小曲邊四邊形(圖中陰影部分)的面積相等.已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5平方厘米.求每個小曲邊四邊形的面積。4. 某班全體學(xué)生進行短跑、游泳和籃球三項測驗,有4個學(xué)生這三項均未達到優(yōu)秀,其余每人至少一項達到優(yōu)秀,這部分學(xué)生達到優(yōu)秀的項目及人數(shù)如下表:問這個班有多少名學(xué)生?5有100位學(xué)生回答A、B兩題.A、B兩題都沒回答對的有10人,有75人答對A題,83人答對B題,問有多少人A、B兩題都答對?第 6 頁

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