安徽省安慶市重點(diǎn)高中2022屆高三10月月考 數(shù)學(xué)(理)試題(含答案)
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1、 2022屆高三10月月考數(shù)學(xué)試卷(理數(shù)) 一、單選題(本大題共12小題,共60分) 1. 已知全集,集合,集合,則陰影部分所示集合為 A. B. C. D. 2. 已知命題p:,命題q:若,則,下列命題為真命題的是 A. B. C. D. 3. 設(shè),,,則 A. B. C. D. 4. 函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)圖象的大致形狀是 A. B. C. D. 5. 函數(shù)在單調(diào)遞增,求a的取值范圍 A. B. C. D. 6. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.
2、有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位:天的Logistic模型:,其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情,則約為 A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 7. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足關(guān)系式,則的值等于 A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),成立,若,,則a,b,c的大小關(guān)系是? ? ? A. B. C. D. 9. 對任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算““:,設(shè),若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個(gè)交點(diǎn),則k的取值范圍是 A. B. C. D. 10. 已知函數(shù),函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,若
3、,則的最小值為 A. 2 B. C. ln2 D. 11. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù),若關(guān)于x的方程有無數(shù)個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,但只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,,,則 A. B. C. 3 D. 2 12. 對于任意的實(shí)數(shù),總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù),使得成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A. B. C. D. 二、單空題(本大題共4小題,共20.0分) 13. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為a,則______. 14. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,且滿足,又,,則______. 15. 已知函數(shù),正實(shí)數(shù)m,n滿足,且,若在區(qū)間上
4、的最大值為2,則______. 16. 已知偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,關(guān)于x的不等式在上有且只有300個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______. 三、解答題(本大題共7小題,共84.0分) 17. 已知函數(shù).若的解集為,求實(shí)數(shù)k的值; 若,都,使成立,求實(shí)數(shù)m的取值范 18. 如圖,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,,平面平面ABCD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn). Ⅰ在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使得平面PCE,并說明理由; Ⅱ當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求直線PB與平面ABCD所成角的余弦值. 19. 設(shè),函數(shù)為常數(shù),.若
5、,求證:函數(shù)為奇函數(shù); (2) 若.用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性;若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 20. 如圖,A為橢圓的左頂點(diǎn),過A的直線交拋物線于B、C兩點(diǎn),C是AB的中點(diǎn). 求證:點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是定值,并求出該定值;若直線m過C點(diǎn),且傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ),交橢圓于M、N兩點(diǎn),求p的值,使的面積最大. 21. 數(shù)學(xué)中,我們把僅有變量不同,而結(jié)構(gòu),形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式,相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程,相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于a的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程. (1) 求ab的值; 函數(shù)若
6、斜率為k的直線與曲線相交于,兩點(diǎn),求證:. 選做題 22. 直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度.已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù),,曲線C的極坐標(biāo)方程為. 求曲線C的直角坐標(biāo)方程;設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求的最小值. 23. 已知函數(shù),M為不等式的解集. 求集合M;若a,,求證:. 10月月考(理數(shù))答案 一、單選題(本大題共12小題,共60.0分) 24. 已知全集,集合,集合,則陰影部分所示集合為 A. B. C.
7、 D. 解:集合,,集合, 圖形陰影部分為,故選:B. 25. 已知命題p:,命題q:若,則,下列命題為真命題的是 A. B. C. D. 解:命題p:,使成立.故命題p為真命題; 當(dāng),時(shí),成立,但不成立,故命題q為假命題, 故命題,,均為假命題;命題為真命題,故選B.?? 26. 設(shè),,,則 A. B. C. D. 解:,,,.故選:A.?? 27. 函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)圖象的大致形狀是 A. B. C. D. 解:,. 為奇函數(shù),排除A,C;當(dāng)時(shí),,,,排除D,故選:B.?? 28. 函數(shù)在單調(diào)遞增,求a的取值范圍
8、A. B. C. D. 解:令,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,解可得,.故選:C. 29. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位:天的Logistic模型:,其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情,則約為 A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 解:由已知,,當(dāng)時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情,可得,解得,兩邊取對數(shù)有,解得,故選:C.?? 30. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足關(guān)系式,則的值等于 A. B. C. D. 解:,,令,則, 即,.故選:D.?? 31. 已知函
9、數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),成立,若,,則a,b,c的大小關(guān)系是? ? ? A. B. C. D. 解:令,,,,即為奇函數(shù), 當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增, 又因?yàn)闉槠婧瘮?shù),函數(shù)在R上為增函數(shù), ,,, 即..故選:A.?? 32. 對任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算““:,設(shè),若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個(gè)交點(diǎn),則k的取值范圍是 A. B. C. D. 解:當(dāng)時(shí),解得,,, 當(dāng)時(shí),解得或,,或, 函數(shù)的圖象如圖所示: 由圖象得:,函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn), 即函數(shù)的圖象與x軸恰有三個(gè)公共點(diǎn);故答案選:A.?? 33. 已知函數(shù),函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,若,則的最小值為 A. 2
10、B. C. ln2 D. 解:設(shè)函數(shù)上任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為, 則,即, 依題意,,則,設(shè),則, 知函數(shù)在單減,在單增,,即最小值為.故選:D. 34. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù),若關(guān)于x的方程有無數(shù)個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,但只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,,,則 A. B. C. 3 D. 2 解:當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則關(guān)于x的方程在內(nèi)至多只有兩個(gè)解, 所以必為其中一解,即, 故當(dāng)時(shí),,此時(shí)由函數(shù)得,, 若關(guān)于x的方程有無數(shù)個(gè)不同的實(shí)數(shù)解, 則當(dāng)時(shí),也一定滿足方程,此時(shí)有, 由可得,,, 當(dāng)時(shí),,由即,得,解得或,解得,或,故選:A. 35. 對于任意的實(shí)數(shù),總存在三個(gè)不同
11、的實(shí)數(shù),使得成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A. B. C. D. 解:可化為:,設(shè),則, 即函數(shù)在,為減函數(shù),在為增函數(shù), 又,,,設(shè),, 即函數(shù)在為增函數(shù),所以, 對于任意的實(shí)數(shù),總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù),使得成立, 即對于任意的實(shí)數(shù),總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù),使得成立, 即對于任意的實(shí)數(shù)恒成立,即,即,故選:B. 二、單空題(本大題共4小題,共20分) 36. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為a,則______. 解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,可得圖象在點(diǎn)處的切線斜率為, 可得,解得.故答案為:. 37. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,且滿足,又,,則______.
12、解:,,周期,又,, ,, 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,,又, ,, ,.故答案為2.?? 38. 若函數(shù),正實(shí)數(shù)m,n滿足,且,若在上最大值為2,則______. 解:,且, 若在區(qū)間上的最大值為2, 故答案為: 39. 已知偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,關(guān)于x的不等式在上有且只有300個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______. 解:是偶函數(shù),, ,,的周期為. 當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 又,,且是以8為周期的偶函數(shù),當(dāng)x為整數(shù)時(shí),, 在上有300個(gè)整數(shù)解, 在上有3個(gè)整數(shù)解,顯然這三個(gè)整數(shù)解為1,2,3, 即在上有三個(gè)整數(shù)解1,2,3.
13、 ,即,解得:.故答案為: 三、解答題(本大題共7小題,共70分) 40. 已知函數(shù).若的解集為,求實(shí)數(shù)k的值; 若,都,使成立,求實(shí)數(shù)m的取值范 解:由得,整理得, 因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋苑匠痰膬蓚€(gè)根是,;得,即; 由已知,只需, 因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),由于, 所以函數(shù)在上的最小值為, 因?yàn)殚_口向上,且對稱軸為, 故當(dāng),即時(shí),,解得; 當(dāng),即時(shí),, 解得或,所以; 當(dāng),即時(shí),,解得,所以. 綜上所述,m的取值范圍是. 41. 如圖,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,,平面平面ABCD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn).Ⅰ在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,
14、使得平面PCE,并說明理由;Ⅱ當(dāng)二面角的余弦值為時(shí),求直線PB與平面ABCD所成的角余弦值. 解:Ⅰ在棱AB上存在點(diǎn)E,使得平面PCE,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn). 理由如下:取PC的中點(diǎn)Q,連接EQ、FQ,由題意,且,且, 故AE且.所以,四邊形AEQF為平行四邊形.所以,, 又平面PEC,平面PEC,所以,平面PEC; Ⅱ由題意知為正三角形,所以,亦即,又,所以, 且平面平面ABCD,平面平面,平面ADP,所以平面ABCD, 故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 設(shè),則由題意知0,,0,,2,,1,, 2,,,設(shè)平面FBC的法向量為y,, 則由令,則,,則,易知平面DFC的
15、法向量0,, 二面角的余弦值為,,解得. 由于平面ABCD,所以PB在平面ABCD內(nèi)的射影為BD,所以為直線PB與平面ABCD所成的角, 題意知中,,從而,所以直線PB與平面ABCD所成的角余弦值為. 42. 設(shè),函數(shù)為常數(shù),.若,求證:函數(shù)為奇函數(shù); 若.定義法證明函數(shù)的單調(diào)性;若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:當(dāng)時(shí),函數(shù),因?yàn)椋瑒t,所以定義域?yàn)椋? 對任意,,所以是奇函數(shù). 當(dāng)時(shí),為R上的單調(diào)增函數(shù),證明如下: 證明:時(shí),恒成立,故函數(shù)定義域?yàn)镽.任取,且,則, 因?yàn)椋詾镽上的單調(diào)增函數(shù).? 設(shè)命題存在,使得成立. 下面研究命題p的否定:恒成立. 若為
16、真命題,由,為R上的單調(diào)增函數(shù),故恒成立. 設(shè),,解得. p為真,則假,a的取值范圍為. 43. 如圖,A為橢圓的左頂點(diǎn),過A的直線交拋物線于B、C兩點(diǎn),C是AB的中點(diǎn). 求證:點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是定值,并求出該定值; 若直線m過C點(diǎn),且傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ),交橢圓于M、N兩點(diǎn),求p的值,使的面積最大. 解:由題意可知,設(shè),, 過A的直線l交拋物線于兩點(diǎn),直線l的斜率存在且不為0,設(shè)l:, 聯(lián)立方程,消去x得,,,, 點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),,,,,,, ,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為定值1; 直線m的傾斜角和直線l的傾斜角互補(bǔ),所以直線m的斜率和直線l的斜率互為相反數(shù), 又點(diǎn),所以設(shè)直線m的
17、方程為:,即,設(shè),, 聯(lián)立方程,消去x得,,, ,解得,, , 點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),,設(shè)點(diǎn)到直線MN的距離為d,則, ,令, ,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),等號成立, ,. 44. 數(shù)學(xué)中,我們把僅有變量不同,而結(jié)構(gòu),形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式,相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程,相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于a的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程.求ab的值;已知函數(shù)若斜率為k的直線與曲線相交于,兩點(diǎn),求證:. 解:對兩邊取自然對數(shù),得. 對兩邊取自然對數(shù),得,即. 因?yàn)榉匠蹋瑸閮蓚€(gè)同構(gòu)方程,所以,解得. 設(shè),,則,所以在單調(diào)遞增,故方程的解只有一個(gè). 所以,,故. 由知,. 所以
18、,,要證,即證明,等價(jià)于. 令,則只要證即可.由,知,故等價(jià)于證. 設(shè),則,在單增,故,即. 設(shè),則,即在單調(diào)遞增,故, 即.由可知成立,則. 45. 直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度.已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù),,曲線C的極坐標(biāo)方程為. 求曲線C的直角坐標(biāo)方程;設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求的最小值. 解:由,得,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為. 將直線l的參數(shù)方程代入,得.則,, ,當(dāng)時(shí),取最小值2. 46. 若函數(shù),M為解集.求集合M;若a,,證:. 解: 當(dāng)時(shí),,由解得,; 當(dāng)時(shí),,恒成立,; 當(dāng)時(shí),,由解得, 綜上,的解集; 證明: 由a,得,,,, ,.
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