【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 三角小題（精解精析）

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1、 2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 三角小題 （精解精析） 一、選擇題 1．(2021年高考全國甲卷理科)若，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析： ， ，，，解得， ，． 故選：A． 【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出． 2．(2021年高考全國乙卷理科)魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高 (　　)

2、 (　　) A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 解析：如圖所示： 由平面相似可知，，而，所以 ，而， 即＝． 故選：A． 【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出． 3．(2021年高考全國乙卷理科)把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ） A． B． C． D．

3、 4．(2021年高考全國甲卷理科)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848．86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A．B．C三點，且A．B．C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A．C兩點到水平面的高度差約為() (　　) A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 解析： 過作，過作， 故， 由題，易知為等腰直角三角形，所以． 所以． 因為，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以， 所以．

4、 故選：B． 【點睛】本題關(guān)鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為． 5．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圖可得：函數(shù)圖象過點， 將它代入函數(shù)可得： 又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個交點， 所以，解得： 所以函數(shù)的最小正周期為 故選：C 【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題． 6．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)若α為第四象限角，則 (　　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．s

5、in2α>0 D．sin2α<0 【答案】D 解析：方法一：由α為第四象限角，可得， 所以 此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以 故選：D． 方法二：當(dāng)時，，選項B錯誤； 當(dāng)時，，選項A錯誤； 由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確； 故選：D． 【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力． 7．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知，且，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，得， 即，解得或（舍去）， 又． 故選：A． 【點睛】本題考查三角恒等變換

6、和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題． 8．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ= (　　) A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 解析：，， 令，則，整理得，解得，即． 故選：D． 【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題． 9．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB= (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：在中，，， 根據(jù)余弦定理： 可得 ，即 由 故． 故選：A． 【點

7、睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題． 10．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù)(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論： ①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點 ③在單調(diào)遞增④的取值范圍是 其中所有正確結(jié)論的編號是 (　　) A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【解析】在有且僅有3個極大值點，分別對應(yīng)，故①正確． 在有2個或3個極小值點，分別對應(yīng)和，故②不正確． 因為當(dāng)時，，由在有且僅有5個零點．則，解得，故④正確． 由，得，，所以在單調(diào)遞增，故③正確． 綜上所述，本題選D． 【點評】本題為

8、三角函數(shù)與零點結(jié)合問題，難度中等，可數(shù)形結(jié)合，分析得出答案，考查數(shù)形結(jié)合思想．在本題中，極小值點個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需認(rèn)真計算，易出錯． 11．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)已知，，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴.,∴，， ∴，又，∴，，又，∴，故選B． 【點評】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為關(guān)系得出答案．本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．

9、12．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A. 【點評】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；③函數(shù)，再利用降冪公式及三角函數(shù)公式法求三角函數(shù)的周期，例如，，所以周期. 13．(201

10、9年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論： ①是偶函數(shù)②在區(qū)間單調(diào)遞增 ③在有4個零點④的最大值為2 其中所有正確結(jié)論的編號是 (　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 解析：作出函數(shù)的圖象如圖所示， 由圖可知，是偶函數(shù)，①正確，在區(qū)間單調(diào)遞減，②錯誤， 在有3個零點，③錯誤；的最大值為2，④正確，故選C． 14．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：由余弦定理可得， 所以由 所以，而，所以，故選C． 15．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)

11、Ⅲ卷（理）)若，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：，故選B． 16．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)若在是減函數(shù)，則的最大值是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：由已知，得，即，解得，即，所以，得， 所以的最大值是，故選A． 17．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)在中，，，，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：因為， 所以，所以，故選A． 18．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知曲線,,則下面結(jié)論正確的是 (　　) A．把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單

12、位長度,得到曲線 B．把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線 C．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線 D．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線 【答案】 D 【解析】因為函數(shù)名不同,所以先將利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成與相同的函數(shù)名,則,則由上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍變?yōu)?再將曲線向左平移個單位得到,故選D． 【考點】三角函數(shù)圖像變換． 【點評】對于三角函數(shù)圖像變換問題,首先要將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù),利用誘導(dǎo)公式,需要重點

13、記住;另外,在進(jìn)行圖像變換時,提倡先平移后伸縮,而先伸縮后平移在考試中經(jīng)常出現(xiàn),無論哪種變換,記住每一個變換總是對變量而言． 19．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是 (　　) A．的一個周期為 B．的圖像關(guān)于直線對稱 C．的一個零點為 D．在單調(diào)遞減 【答案】 D 【解析】函數(shù)的周期為，，故A正確；又函數(shù)的對稱軸為，即，，當(dāng)時，得，故B正確；由，所以函數(shù)的零點為，當(dāng)時，，故C正確；由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，而，故D錯誤． 【考點】函數(shù)的性質(zhì) 【點評】（1）求最小正周期時可先把所給三角函數(shù)式化為或的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關(guān)鍵

14、是解析式是否為或的形式． （2）求的對稱軸，只需令，求；求的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令即可． 20．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在△ABC中,,邊上的高等于,則 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)邊上的高線為,則,所以,.由余弦定理,知,故選C. 21．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)若,則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由,得,或, 所以,故選A. 22．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)若，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，故選D． 23．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)若將函數(shù)的圖像

15、向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度的到 的圖像，令 則，故選B． 24．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)為的零點，為圖像的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為 (　　) (A)11(B)9(C)7(D)5 【答案】B 【解析】由題意知：，則，其中 在單調(diào)， 接下來用排除法：若，此時 在遞增，在遞減，不滿足在單調(diào) 若，此時，滿足在單調(diào)遞減 故選B． 25．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為 (　　) A． B． C． D．

16、【答案】D 解析：由五點作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D． 考點：三角函數(shù)圖像與性質(zhì) 26．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科) (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：原式= ==，故選D． 考點：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式． 27．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)設(shè)函數(shù)．若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：的極值為，即， ，解得，故選C。 考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；（2）正弦函數(shù)的圖像； （3）一元二次不等式恒能恰成立問題；。 28．

17、(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC= (　　) A．5 B． C．2 D．1 【答案】B 解析：有面積公式得：，解得，因為鈍角三角形，所以， 由余弦定理得：，所以，選B。 考點：（1）余弦定理；（2）三角形的面積公式。 難度：B 備注：常考題 29．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)設(shè),,且,則 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 解析:∵,∴ , ∴,即,選B 考點:(1)三角函數(shù)的基本關(guān)系式(2)兩角和與差的公式的應(yīng)用(3)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 (4)化歸于轉(zhuǎn)化思想 難度:B 備注:高頻考點

18、 30．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減。則的取值范圍是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：∵y=sinx在上單調(diào)遞減 ∴ ∴ 而函數(shù)在上單調(diào)遞減 ∴ 即得且，根據(jù)答案特征只能是k=0， 考點：（1）4．3．2三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性；（2）4．4．3y=Asin(wx+φ）的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用． 難度：B 備注：高頻考點 二、填空題 31．(2021年高考全國甲卷理科)已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________． 【答案】2 解析：由圖可知，即，所以； 由五點法可得，即； 所以． 因

19、為，； 所以由可得或； 因為，所以， 方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即， 解得，令，可得， 可得的最小正整數(shù)為2． 方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2． 故答案為：2． 【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點求解． 32．(2021年高考全國乙卷理科)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________． 【答案】 解析：由題意，， 所以， 所以，解得（負(fù)值舍去）． 故答案為：． 33．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖，在三棱錐P–A

20、BC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________． 【答案】 【解析】，，， 由勾股定理得， 同理得，， 在中，，，， 由余弦定理得， ， 在中，，，， 由余弦定理得． 故答案為：． 【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題． 34．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)關(guān)于函數(shù)f(x)=有如下四個命題： ①f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱． ②f(x)的圖像關(guān)于原點對稱． ③f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱． ④f(x)的最小值為2． 其中所有真命題的序號是________

21、__． 【答案】②③ 解析：對于命題①，，，則， 所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤； 對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱， ， 所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確； 對于命題③，， ，則， 所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確； 對于命題④，當(dāng)時，，則， 命題④錯誤． 故答案為：②③． 【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題． 35．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，，則的面積為　?。? 【答案】 【解析】由余弦定理得，所以，即， 解得（舍去

22、），所以， 【點評】本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運算求解能力的考查．本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯誤．解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計算． 36．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)函數(shù)在的零點個數(shù)為 ． 【答案】 解析：由，，解得， 由即 由，可得，故函數(shù)在的零點個數(shù)為． 37．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知，，則__________． 【答案】 解析：因為， 所以，

23、， 相加得，所以． 38．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)函數(shù)()的最大值是 ． 【答案】1 【命題意圖】本題考查三角函數(shù)同角基本關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)—最值，意在考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思 想和運算求解能力 【解析】解法一：換元法 ∵ ， ∴ 設(shè)，，∴ 函數(shù)對稱軸為，∴ 【點評】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，學(xué)科*網(wǎng)它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析。 【知識

24、拓展】此類問題屬于熱點題型，2016年二卷（文11）﹑2010年和2014廣西卷均出現(xiàn)此 題型，解決方法相同，但二卷近幾年不會再出了． 39．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移_____________個單位長度得到. 【答案】 【解析】因為，，所以函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移個單位長度得到. 40．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則 ． 【答案】 【解析】由平方關(guān)系可得： 所以 再由正弦定理得：． 41．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)在平面四邊形中，，B，則的取值范圍是

25、 ． 【答案】（，） 解析：如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，當(dāng)D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）． 考點：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想 42．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)函數(shù)的最大值為_________． 【答案】1 解析： 所以最大值為1 考點：（1）兩角和與差

26、的公式的應(yīng)用；（2）三角函數(shù)的最值。 難度：B 備注：?？碱} 43．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)已知分別為的三個內(nèi)角的對邊,=2,且,則面積的最大值為__________． 【答案】 解析:由且 , 即,由及正弦定理得: ∴,故,∴,∴ ,∴, 考點:(1)正(余)弦定理的應(yīng)用(2)三角形面積公式的應(yīng)用(3)化歸于轉(zhuǎn)化的思想 難度:B 備注:高頻考點 44．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)為第二象限角，若，則＝________． 【答案】 解析：由得到，解得，所以 考點：（1）4．5．3兩角和與差的公式的應(yīng)用；（2）4．2．1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用 難度： B 備注：高頻考點 45．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則 =______． 【答案】 解析：∵== 令=，，則==， 當(dāng)=，即=時，取最大值，此時=，∴===． 考點:（1）4．2．2三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用；（2）4．5．2兩角和與差的公式的應(yīng)用． 難度：Ｃ 備注：高頻考點、易錯題