【2022高考必備】2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)大題（精解精析）

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1、 2012-2021十年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)真題分類精編 導(dǎo)數(shù)大題 （精解精析） 一、解答題 1．(2021年高考全國(guó)甲卷理科)已知且，函數(shù)． (1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間； (2)若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍． 【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）． 解析：（1）當(dāng)時(shí)，, 令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，, ∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減； （2）,設(shè)函數(shù), 則,令，得, 在內(nèi),單調(diào)遞增； 在上,單調(diào)遞減； , 又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0， 所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是, 所以的取值范圍是． 【點(diǎn)睛】本

2、題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解． 2．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)． (1)求a； (2)設(shè)函數(shù)．證明:． 【答案】；證明見(jiàn)詳解 解析：（1）由，， 又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得； （2）由（1）得，，且， 當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得； 同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得； 令，再令，則，， 令，， 當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故； 當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；

3、 綜上所述，在恒成立 【點(diǎn)睛】本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問(wèn)解法并不唯一，分類討論對(duì)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問(wèn)題． 3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)． (1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍． 【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．（2） 【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，， 由于，故單調(diào)遞增，注意到，故： 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增． (2)由得，，其中， ①．當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合

4、題意； ②．當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，， 記，， 令， 則，， 故單調(diào)遞增，， 故函數(shù)單調(diào)遞增，， 由可得：恒成立， 故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； 因此，, 綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)

5、Ⅱ卷理科)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x． (1)討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性； (2)證明：； (3)設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析． 解析：(1)由函數(shù)的解析式可得：，則： ， 在上的根為：， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 (2)注意到， 故函數(shù)是周期為的函數(shù)， 結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：， ，， 據(jù)此可得：，， 即． (3)結(jié)合(2)的結(jié)論有： ． 【點(diǎn)睛

6、】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 5．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直． (1)求b． (2)若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1． 【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析 解析：（1）因?yàn)椋? 由題意，，即

7、則； （2）由（1）可得， ， 令，得或；令，得， 所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增， 且， 若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1零點(diǎn)，則或， 即或． 當(dāng)時(shí)，， 又， 由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)， 即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)， 此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾； 當(dāng)時(shí)，， 又， 由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)， 即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)， 此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾； 綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1． 【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯

8、推理能力，是一道有一定難度的題． 6．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性； (2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)或． 【官方解析】 (1)． 令，得或． 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 若時(shí)，在單調(diào)遞增； 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． (2)滿足題設(shè)條件的存在． (ⅰ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時(shí)滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即． (ⅱ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單

9、調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時(shí)滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即． (ⅲ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在的最小值為，最大值為或． 若，則，與矛盾． 若，則或或，與矛盾． 綜上，當(dāng)且僅當(dāng)或，在最小值為，最大值為1． 【點(diǎn)評(píng)】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算．思考量不大，計(jì)算量略大． 7．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科)已知函數(shù)． 討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)； 設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線． 【答案】函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析. 【官方解析】

10、的定義域?yàn)? 因?yàn)?，所以在和上是單調(diào)遞增. 因?yàn)椋? 所以在有唯一零點(diǎn)，即． 又，，故在有唯一零點(diǎn)． 綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)． 因?yàn)?，故點(diǎn)在曲線上． 由題設(shè)知，即， 故直線的斜率． 曲線在點(diǎn)處切線的斜率是，曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是，所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線． 【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性； 先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線切線的斜率與斜率相等時(shí)，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可. 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，因此函?shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)； 當(dāng)，時(shí)，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)

11、時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)?，所以函?shù)在必有一零點(diǎn)，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn) 綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)； 因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以 ，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，過(guò)切點(diǎn)為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為， 當(dāng)切線的斜率等于直線的斜率時(shí)，即， 切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 8

12、．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明： (1)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)； (2)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)． 【答案】解：（1）設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為． 則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點(diǎn)，即在存在唯一極大值點(diǎn)． （2）的定義域?yàn)椋? （i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點(diǎn)． （ii）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． 又，，所以當(dāng)時(shí)，．從而在沒(méi)有零點(diǎn)． （iii）當(dāng)時(shí)，，所

13、以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點(diǎn)． （iv）當(dāng)時(shí)，，所以<0，從而在沒(méi)有零點(diǎn)． 綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)． 9．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知函數(shù)． (1)若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，； (2)若是的極大值點(diǎn)，求． 【答案】【官方解析】當(dāng)時(shí)，， 設(shè)函數(shù)，則 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)遞增 又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． （2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)， 這與是的極大值點(diǎn)矛盾 （ii）若，設(shè)函數(shù) 由于當(dāng)時(shí)，，故與符號(hào)相同 又，故是的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn) 如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn) 如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大

14、值點(diǎn) 如果，則 則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn) 綜上． 【民間解析】（1）法一：當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí) 記 則 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而 所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí) 當(dāng)時(shí)，，此時(shí) 法二：當(dāng)時(shí)，， 則， ①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減 所以時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增 所以時(shí)， ②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增 所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增 所以當(dāng)時(shí)， 綜上所述若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． （2）法一：由 可得 所以 因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn) 所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 又 設(shè)，則， 所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 設(shè)，則 當(dāng)時(shí)，

15、；當(dāng)時(shí)， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增 所以任意時(shí)， 所以若時(shí)，，此時(shí)不存在極值，故 由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 顯然，當(dāng)時(shí)， ①當(dāng)時(shí)，則 若，則，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足題意，故，即 ②當(dāng)時(shí)，則 若，則，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意，故，即 綜上，，所以． 法二： 記， 當(dāng)，時(shí)， 所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即 所以在上單調(diào)遞增，與是的極大值點(diǎn)不符合； 當(dāng)時(shí)，，顯然可知遞減 ①，解得，則有，，遞增； 時(shí)，，遞減，所以，故遞減，又 則，，，遞增；，，，遞減 此時(shí)為的極大值點(diǎn)，符合題意 ②當(dāng)時(shí)，有， 所以在有唯一零點(diǎn)，記為，則，，遞增 則

16、，遞增，所以，即，遞增，不符合題意； ③當(dāng)時(shí)，有， 所以在有唯一零點(diǎn)，記為，則，，遞減 則，遞減，所以，即，遞減，不符合題意 綜上可知． 法三：（2）嘗試一：（極大值點(diǎn)的第二充要條件：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。） ， ， ，由得 下證：當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)， ，所以在單增，在單減 進(jìn)而有，從而在單減， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 從而在單增，在單減，所以是的極大值點(diǎn)。 點(diǎn)評(píng)：計(jì)算量很大，但不失為一種基本方法，激勵(lì)熱愛(ài)數(shù)學(xué)的學(xué)生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學(xué)習(xí)，學(xué)而致知?；诖耍€可以從大學(xué)的角度給出

17、一種解法。通過(guò)在階的帕德逼近可得，且兩個(gè)函數(shù)在處兩個(gè)函數(shù)可以無(wú)限制逼近，估計(jì)這也是考試中心構(gòu)造這個(gè)函數(shù)的方法。由此可以迅速得到，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對(duì)數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相應(yīng)的題目。嘗試一難點(diǎn)在于的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。 法四：引理1：若與在處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則在處導(dǎo)數(shù)為． 證明：， 因?yàn)椋?，代入化?jiǎn)即證： 引理2：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。 ， 令， 則易得，，， 由引理1知，等價(jià)于，從而迅速求得。 當(dāng)時(shí)， 嘗試二：若是的極大值點(diǎn)，注意到， 則存在充

18、分接近于的，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 得到一個(gè)恒成立問(wèn)題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。 對(duì)任意的，都有，進(jìn)而有 ①當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， ②當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 綜上：． 10．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)(12分) 已知函數(shù)． (1)若，證明：當(dāng)時(shí)，； (2)若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求． 【答案】解析：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于． 設(shè)函數(shù)，則． 當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即． （2）設(shè)函數(shù)． 在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)． （i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)． （ii）當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 故是在的最小值． ①若，

19、即，在沒(méi)有零點(diǎn)； ②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)； ③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)． 由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以． 故在有一個(gè)零點(diǎn)．因此在有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，． 11．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性； (2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：． 【答案】解:（1）的定義域?yàn)椋? （i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減． （ii）若，令得，或． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． （2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)． 由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則．由于 ， 所以等價(jià)于． 設(shè)函數(shù)，由

20、（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，． 所以，即． 12．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性; (2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍． 【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)． 【分析】(1)討論的單調(diào)性,首先進(jìn)行求導(dǎo),發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解,再對(duì)按、進(jìn)行討論,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)第(1)問(wèn),若,至多有一個(gè)零點(diǎn),若,當(dāng)時(shí),取得最小值,求出最小值,根據(jù),進(jìn)行討論,可知當(dāng)有個(gè)零點(diǎn),設(shè)正整數(shù)滿足,則,由于,因此在有一個(gè)零點(diǎn),所以的取值范圍為． 【解析】(1)的定義域?yàn)? (ⅰ)若,則,所以在單調(diào)遞減． (ⅱ)若,則由得． 當(dāng)時(shí),;

21、當(dāng)時(shí), 所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增． (2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一個(gè)零點(diǎn)． (ⅱ)若,由(1)知,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為． ①當(dāng)時(shí),由于,故只有一個(gè)零點(diǎn); ②當(dāng)時(shí),由于,即,故沒(méi)有零點(diǎn); ③當(dāng)時(shí),,即． 又,故在有一個(gè)零點(diǎn)． 設(shè)正整數(shù)滿足,則． 由于,因此在有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上,的取值范圍為． 【民間解析】:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?且 注意到 當(dāng)時(shí),,所以恒成立 此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減 當(dāng),由,由 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 綜上可知 ①時(shí),在上單調(diào)遞減; ②時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 (2)

22、由(1)可知,時(shí),在上單調(diào)遞減 此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn),不符合題意 當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 此時(shí)函數(shù)的最小值為 要使有兩個(gè)零點(diǎn),首先必須有即 令,則有,故在上單調(diào)遞增,而 所以 另一方面取 而,在單調(diào)遞增 所以函數(shù)在上有唯一一個(gè)零點(diǎn),在沒(méi)有零點(diǎn) 此時(shí)當(dāng)時(shí), 所以,而在上單調(diào)遞減 所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),在上有唯一零點(diǎn) 綜上可知當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． 【考點(diǎn)】含參函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍． 【點(diǎn)評(píng)】研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化．已知函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不

23、含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而求出的范圍;第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究,研究其單調(diào)性、極值、最值,注意點(diǎn)是:若有個(gè)零點(diǎn),且函數(shù)先減后增,則只需其最小值小于,且后面還需驗(yàn)證有最小值的兩邊存在大于的點(diǎn)． 13．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)(12分)已知函數(shù)． (1)若，求的值； (2)設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，，求的最小值． 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ), 則,且 當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)增,所以時(shí),,不滿足題意; 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增． ①若,在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)矛盾

24、 ②若,在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)矛盾 ③若,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴滿足題意 綜上所述． (Ⅱ)當(dāng)時(shí)即 則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 ∴, 一方面:, 即． 另一方面: 當(dāng)時(shí), ∵,, ∴的最小值為． 【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),所以在歷屆高考中,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ,本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來(lái)看,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行: (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相

25、聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 14．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(12分)已知函數(shù)且． (1)求 ； (2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且． 【答案】(1)；(2)證明略． 【命題意圖】本題考查函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用． 【基本解法】(1)法一． 由題知：，且 ， 所以：． 即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，成立． 令，，當(dāng)時(shí)，， 遞減，，所以：，即：．所以：； 當(dāng)時(shí)，， 遞增，，所以：，即：．所以：； 綜上：． 法二．洛必達(dá)法則

26、 由題知：，且 ， 所以：． 即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，成立． 令，． 令，． 當(dāng)時(shí)，,遞增，； 所以，遞減，． 所以：； 當(dāng)時(shí)，,遞減，； 所以，遞減，． 所以：； 故． （1） 由(1)知：，． 設(shè)，則． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以在遞減，在遞增． 又，，，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 又，所以是的唯一極大值點(diǎn)． 由得，故． 由得． 因?yàn)槭窃诘奈ㄒ粯O大值點(diǎn)，由，得 所以． 【考點(diǎn)】 利用 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)

27、中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度，從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 了單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)必；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的人優(yōu)化問(wèn)題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù),其中,記的最大值為. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求; (Ⅲ)證明. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見(jiàn)解析. 【解析】(Ⅰ). (Ⅱ)當(dāng)時(shí), 因此,. 當(dāng)時(shí),將變形為. 令

28、,則是在上的最大值 , 且當(dāng) 時(shí),取得極小值,極小值為. 令,解得(舍去),. (i)當(dāng)時(shí),在內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),,, 所以. (ii)當(dāng)時(shí),由,知. 又,所以. 綜上,. (Ⅲ)由(Ⅰ)得. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)時(shí),,所以. 當(dāng)時(shí),,所以. 16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本小題滿分12分)(I)討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，； (II)證明：當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域． 【答案】（1）略；（2）． 分析：（Ⅰ）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，證明結(jié)論； （Ⅱ）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解． 【解析】（Ⅰ

29、）的定義域?yàn)椋? 且僅當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增， 因此當(dāng)時(shí)， 所以 （II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意 因此，存在唯一使得即， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增． 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調(diào)遞增 所以，由得 因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當(dāng)時(shí)，有最小值，的值域是． 17．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本小題滿分12分)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． (I)求a的取值范圍； (II)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：． 【答案】 (I)； (II)見(jiàn)解析 【官方解答】(I)由已知得： ①若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合

30、題意； ②若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 又，，取b滿足且，則 ， 故存在兩個(gè)零點(diǎn)． ③設(shè)，由得或． 若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增． 又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)． 若，則，故當(dāng)時(shí) ；當(dāng)時(shí)， 因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上的取值范圍為． (II)不妨設(shè)．由(I)知 在單調(diào)遞減 所以，即． 由于，而 所以 設(shè)，則 所以當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)， 從而，故． 【民間解答】(I)由已知得： ①若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合題意； ②若，那么， 所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減 即：

31、 ↓ 極小值 ↑ 故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，在上至多一個(gè)零點(diǎn) 由于，，則， 根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)． 而當(dāng)時(shí)，，， 故 則的兩根，， 因?yàn)椋十?dāng)或時(shí)， 因此，當(dāng)且時(shí)， 又，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 此時(shí)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意． ③若，則， 當(dāng)時(shí)，，， 即，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，， 即，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增． 即： 0 0 + ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 而極大值 故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值 那么恒成立，即無(wú)解 而當(dāng)

32、時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn) 此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意． ④若，那么 當(dāng)時(shí)，，，即， 單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增 又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意． ⑤若，則 當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增 即： 0 0 ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值 那么恒成立，即無(wú)解 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn) 此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意． 綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，即的取值范圍為． (II) 由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，， 故可整

33、理得： 設(shè)，則 那么 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增． 設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式： 設(shè)， 則，故單調(diào)遞增，有． 因此，對(duì)于任意的，． 由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有 令，則有 而，，在上單調(diào)遞增，因此： 整理得：． 18．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)． (Ⅰ)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增； (Ⅱ)若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 解析：（Ⅰ）． 若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，． 若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，． 所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，對(duì)任意的，在單調(diào)遞減，在單

34、調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對(duì)于任意，的充要條件是：即①，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，即①式成立．當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，，即；當(dāng)時(shí)，，即．綜上，的取值范圍是． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 19．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)(本小題滿分12分) 已知函數(shù) (Ⅰ)當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線 的切線； (Ⅱ)用 表示中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)． 分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性

35、質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，若零點(diǎn)不容易求解，則對(duì)再分類討論． 解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得． 因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線． （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，從而， ∴在（1，+∞）無(wú)零點(diǎn)． 當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． （ⅰ）若或，則在（0,1）無(wú)零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無(wú)零點(diǎn)． （ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=． ①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無(wú)零點(diǎn)． ②若=0，即，則在（0

36、,1）有唯一零點(diǎn)； ③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn)．…10分 綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)． 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對(duì)新概念的理解；分段函數(shù)的零點(diǎn)；分類整合思想 20．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)=． (Ⅰ)討論的單調(diào)性； (Ⅱ)設(shè)，當(dāng)時(shí)，, 求的最大值； (Ⅲ)已知，估計(jì)ln2的近似值(精確到0．001) 【答案】解析： （Ⅰ），等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立 所以在上單調(diào)遞增． （Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以在上單調(diào)遞增，而

37、，故． 當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，，而，故，． 綜上的最大值為2． （Ⅲ）由（2）知， 當(dāng)時(shí)，，得 當(dāng)時(shí)， ，得 所以 考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題；（3）最值問(wèn)題 難度：D 備注：高頻考點(diǎn) 21．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線． (1)求; (2)證明:． 【答案】解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)? 由題意可得(),故． (2)由(1)知,從而等價(jià)于 設(shè)函數(shù),則,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而在上的最小值為(．

38、 設(shè)函數(shù),則,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),故在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,從而在的最小值為( ． 綜上:當(dāng)時(shí),,即． 考點(diǎn):(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切線方程問(wèn)題);(3)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題;(4)等價(jià)轉(zhuǎn)換思想 難度:D 備注:高頻考點(diǎn) 22．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知函數(shù)． (1)設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性； (2)當(dāng)時(shí)，證明． 【答案】（1）（2） 見(jiàn)解析； 解析：（1） 所以， ， 顯然在(－1,0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．

39、 （2）證明　令， 則． ， 所以是增函數(shù)，至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根， 又， 所以的唯一實(shí)根在區(qū)間內(nèi)， 設(shè)的根為t，則有， 所以，， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增； 所以， 當(dāng) 時(shí)，有， 所以． 考點(diǎn)：（1）3．2．4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值；（2）3．2．7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)放縮 難度： D 備注：高頻考點(diǎn)，典型題 23．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知函數(shù)＝，＝，若曲線和曲線都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線 (Ⅰ)求，，，的值 (Ⅱ)若≥－2時(shí)，≤，求的取值范圍。 【答案】（1）=4，=2，=2，=2　?。?）[1,]． 解析：（Ⅰ）由已知得， 而=，=

40、，∴=4，=2，=2，=2；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，， 設(shè)函數(shù)==（）， ==， 有題設(shè)可得≥0，即， 令=0得，=，=－2， （1）若，則－2＜≤0，∴當(dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而==≥0， ∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立， (2)若，則=， ∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0， ∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立， (3)若，則==＜0， ∴當(dāng)≥－2時(shí)，≤不可能恒成立， 綜上所述，的取值范圍為[1,]． 考點(diǎn)：（1）3．1．3導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）3．2．4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值；（3）3．3．1利用導(dǎo)數(shù)研究

41、“恒能恰”成立及參數(shù)求解問(wèn)題． 難度：Ｃ 備注：高頻考點(diǎn) 24．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知函數(shù)滿足滿足． (1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間； (2)若，求的最大值． 【答案】（１）增區(qū)間為,減區(qū)間為?。ǎ玻? 解析: (Ⅰ),令得,, 再由,令得． 所以的解析式為． ,易知是上的增函數(shù),且． 所以 所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為． (Ⅱ)若恒成立, 即恒成立， , (1)當(dāng)時(shí),恒成立, 為上的增函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,不合題意; (2)當(dāng)時(shí),恒成立, 則,; (3)當(dāng)時(shí), 為增函數(shù),由得, 故 當(dāng)時(shí), 取最小值． 依題意有, 即, ,, 令,則, , 所以當(dāng)時(shí), 取最大值． 故當(dāng)時(shí), 取最大值． 綜上, 若，則 的最大值為．