【名校資料】高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案15

13、1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若x∈[－1，e－1]時(shí)，f(x)

14、． 11．(14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)也在函數(shù)g(x)的圖象上，且在此點(diǎn)有公共切線． (1)求a、b的值； (2)對(duì)任意x>0，試比較f(x)與g(x)的大?。? 答案 自主梳理 1．(1)連續(xù)　(2)①極值　②端點(diǎn)值 自我檢測(cè) 1．B　2.D　3.C 4.　5.6 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，首先應(yīng)判斷函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后，再判斷函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性，在這里一般要用到分類討論的思想，討論的標(biāo)準(zhǔn)通常是極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的

15、大小關(guān)系，確定單調(diào)性或具體情況． 解　∵f(x)＝x2e－ax (a>0)， ∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)． 令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0， 得02時(shí)，f(x)在[1,2]上是減函數(shù)， ∴f(x)max＝f(1)＝e－a. ②當(dāng)1≤≤2，即1≤a≤2時(shí)，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， ∴f(x)max＝f＝4a－2e－2. ③當(dāng)>2，即0

16、＝4e－2a. 綜上所述， 當(dāng)02時(shí)，f(x)的最大值為e－a. 變式遷移1　解　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝a·(a>0)， 由f′(x)＝a·>0，得0e. 故f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)∵f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]min＝min{f(a)，f(2a)}．∵f(a)－f(2a)＝ln，

17、∴當(dāng)02時(shí)，[f(x)]min＝. 例2　解題導(dǎo)引　利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而解決不等式問(wèn)題． (1)解　f′(x)＝x－＝(x>0)， 若a≤0時(shí)，f′(x)>0恒成立， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)． 若a>0時(shí)，令f′(x)>0，得x>， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，＋∞)，減區(qū)間為(0，)． (2)證明　設(shè)F(x)＝x3－(x2＋ln x)， 故F′(x)＝2x2－x－. ∴F′(x)＝. ∵x>1，∴F′(x)>0. ∴F(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．

18、 又F(x)在(1，＋∞)上連續(xù)，F(xiàn)(1)＝>0， ∴F(x)>在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x)>0. ∴當(dāng)x>1時(shí)，x2＋ln x

19、極小值為 f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． (2)證明　設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R. 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知當(dāng)a>ln 2－1時(shí)， g′(x)最小值為g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0， 所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增，于是當(dāng)a>ln 2－1時(shí)， 對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)． 而g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>0， 即ex－x2＋2ax－1>0， 故ex>x2－2ax＋1. 例3　解　(1)分公司

20、一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]． (2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x) ＝(12－x)(18＋2a－3x)． 令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合題意，舍去)． ∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤. 在x＝6＋a兩側(cè)L′的值由正變負(fù)． ∴①當(dāng)8≤6＋a<9，即3≤a<時(shí)， Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)． ②當(dāng)9≤6＋a≤，即≤a≤5時(shí)， Lmax＝L(6＋a)＝(6＋a－3－a)[12－(6＋a)]2 ＝4(3－a)3. 所以Q(a)＝ 綜上，若3≤a

21、<，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(萬(wàn)元)； 若≤a≤5，則當(dāng)每件售價(jià)為(6＋a)元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)＝4(3－a)3(萬(wàn)元)． 變式遷移3　解　(1)因?yàn)橘r付價(jià)格為S元/噸， 所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)為ω＝2 000－St. 由ω′＝－S＝， 令ω′＝0，得t＝t0＝()2. 當(dāng)t0；當(dāng)t>t0時(shí)，ω′<0. 所以當(dāng)t＝t0時(shí)，ω取得最大值． 因此乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()2噸． (2)設(shè)甲方凈收入為v元，則v＝St－0.002t2. 將t＝()2代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價(jià)格S之間

22、的函數(shù)關(guān)系式： v＝－. 又v′＝－＋＝， 令v′＝0，得S＝20. 當(dāng)S<20時(shí)，v′>0； 當(dāng)S>20時(shí)，v′<0， 所以S＝20時(shí)，v取得最大值． 因此甲方向乙方要求賠付價(jià)格S＝20元/噸時(shí)，可獲得最大凈收入． 課后練習(xí)區(qū) 1．A　2.D　3.C　4.C　5.A 6.d 解析　如圖所示，為圓木的橫截面， 由b2＋h2＝d2， ∴bh2＝b(d2－b2)． 設(shè)f(b)＝b(d2－b2)， ∴f′(b)＝－3b2＋d2. 令f′(b)＝0，由b>0， ∴b＝d，且在(0，d)上f′(b)>0，在[d，d]上f′(b)<0. ∴函數(shù)f(b)在b＝d處取極

23、大值，也是最大值，即抗彎強(qiáng)度最大，此時(shí)長(zhǎng)h＝d. 7．300 解析　設(shè)長(zhǎng)為x m，則寬為(20－x)m，倉(cāng)庫(kù)的容積為V，則V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60， 令V′＝0得x＝10. 當(dāng)00；當(dāng)x>10時(shí)，V′<0， ∴x＝10時(shí)，V最大＝300 (m3)． 8．(－1,0] 解析　f′(x)＝≥0，解得－1≤x≤1. 由已知得(m,2m＋1)?[－1,1]，即， 解得－1－1)． ……………………………………………………

24、………………………………………(4分) ∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 在(－1,0)上單調(diào)遞減．…………………………………………………………………(6分) (2)令f′(x)＝0，即x＝0，則 x (－1,0) 0 (0，e－1) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  ……………………………………………………………………………………………(9分) 又∵f(－1)＝＋1，f(e－1)＝e2－1>＋1， 又f(x)e2－1.………………………………………………………………………………(12分)

25、10．解　(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)， 每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝，(2分) 再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，…………………………………………(4分) 而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.…………………………………………………………………(5分) 最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x ＝＋6x (0≤x≤10)．………………………………………………………………(6分) (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0， 即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．…………………………………………(8分) 當(dāng)0<

26、x<5時(shí)，f′(x)<0， 當(dāng)50，………………………………………………………………(10分) 故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)， 對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋＝70. 當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元． ……………………………………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)f(x)＝ln x的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)， 依題意，得g(1)＝a＋b＝0.①……………………………………………………………(2分) 又f′(x)＝，g′(x)＝a－， 且f(x)與g(x)在點(diǎn)(1,0)處有公共切線，

27、∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②……………………………………………………(4分) 由①②得a＝，b＝－.…………………………………………………………………(6分) (2)令F(x)＝f(x)－g(x)，則 F(x)＝ln x－(x－)＝ln x－x＋， ∴F′(x)＝－－＝－(－1)2≤0. ∴F(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．………………………………………………………(10分) 當(dāng)0F(1)＝0，即f(x)>g(x)； 當(dāng)x＝1時(shí)，F(xiàn)(1)＝0，即f(x)＝g(x)； 當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)g(x)； x＝1時(shí)，f(x)＝g(x)； x>1時(shí)f(x)